全国初中数学联合竞赛初三年级组.doc

2014年全国初中数学联合竞赛（初三年级组）试题参考答案及评分标准
说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.
第一试
一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）
1．已知为整数，且满足，则的可能的值有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答】 C.
由已知等式得，显然均不为0，所以＝0或.
若，则.又为整数，可求得或所以或.
因此，的可能的值有3个.
2．已知非负实数满足，则的最大值为 （ ）
A． B． C． D．
【答】 A.

，
易知：当，时，取得最大值.
3．在△中，，为的中点，于，交于，已知，，则＝ （ ）
A． B． C． D．
【答】 B.
因为，，所以四点共圆，所以，又，所以，所以.
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又易知△∽△，所以，从而可得.
4．6张不同的卡片上分别写有数字2，2，4，4，6，6，从中取出3张，则这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是 （ ）
A． B． C． D．
【答】 B.
若取出的3张卡片上的数字互不相同，有2×2×2＝8种取法；若取出的3张卡片上的数字有相同的，有3×4＝12种取法.所以，从6张不同的卡片中取出3张，共有8＋12＝20种取法.
要使得三个数字可以构成三角形的三边长，只可能是：（2，4，4），（4，4，6），（2，6，6），（4，6，6），由于不同的卡片上所写数字有重复，所以，取出的3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的情况共有4×2＝8种.
因此，所求概率为.
5．设表示不超过实数的最大整数，令.已知实数满足，则
（ ）
A． B． C． D．1
【答】 D.
设，则，所以，因式分解得，所以.
由解得，显然，所以1.
6．在△中，，，，在上，在上，使得△为等腰直角三角形, ,则的长为 （ ）
A．　　　B．　　　 C．　　　　 D．
【答】 A.
过作于，易知△≌△，△∽△.
设，则，，，，故，即.又，故可得.
故.
二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）
1．已知实数满足，，则____．
【答】 0.
由题意知，所以

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整理得，所以0.
2．使得不等式对唯一的整数成立的最大正整数为 ．
【答】144.
由条件得，由的唯一性，得且，所以，所以.
当时，由可得，可取唯一整数值127.
故满足条件的正整数的最大值为144.

3．已知为等腰△内一点，，，为的中点，与交于点，如果点为△的内心，则 ．
【答】.
由题意可得，
而，
所以，
从而可得.
又，所以，从而.
所以，
，
所以.

4．已知正整数满足:，，，则 ．
【答】36.
设的最大公约数为，，，均为正整数且，，则，所以，从而，设（为正整数），则有，而，所以均为完全平方数，设，则，均为正整数，且，.
又，故，即.
注意到，所以或.
若，则，验算可知只有满足等式，此时，不符合题意，故舍去.
若，则，验算可知只有满足等式，此时，符合题意.
因此，所求的.

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第二试 （A）
一、（本题满分20分）设实数满足，，求的值．
解 由已知条件可得，.
设，，则有，， ……………………5分
联立解得或. ……………………10分
若，即，，则是一元二次方程的两根，但这个方程的判别式，没有实数根； ……………………15分
若，即，，则是一元二次方程的两根，这个方程的判别式，它有实数根.所以
. ……………………20分
二．（本题满分25分）如图，在平行四边形中，为对角线上一点，且满足, 的延长线与△的外接圆交于点. 证明：．
证明 由是平行四边形及已知条件知.
……………………5分
又A、B、F、 D四点共圆，所以，所以△∽△， ……………………15分
所以. ……………………20分
又，所以△∽△，故
. ……………………25分

三．（本题满分25分）设是整数，如果存在整数满足，则称具有性质.在1，5，2013，2014这四个数中，哪些数具有性质，哪些数不具有性质？并说明理由.
解 取，，可得，所以1具有性质.
取，，可得，所以5具有性质.…………………5分
为了一般地判断哪些数具有性质，记，则

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＝

.
即 ①
……………………10分
不妨设，
如果，即，则有；
如果，即，则有；
如果，即，则有；
由此可知，形如或或（为整数）的数都具有性质.
因此，1，5和2014都具有性质. ……………………20分
若2013具有性质，则存在整数使得.注意到，从而可得，故，于是有，即，但2013＝9×223＋6，矛盾，所以2013不具有性质. ……………………25分