高一数学上学期周清-第18周-空间向量的数量积空间向量坐标运算-理.doc

理科第18周 空间向量的数量积、空间向量坐标运算
核心知识
1、空间向量的数量积及运算律
(1)数量积及相关概念
①两向量的夹角
已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.
②两向量的数量积
已知空间两个非零向量a，b则|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)空间向量数量积的运算律
①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
2、基本定理
(1)共线向量定理：空间任意两个向量a、b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，p与向量a，b共面的充要条件是存在实数x，y使p＝xa＋yb.
(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc.
3、空间向量的坐标表示及运算
(1)数量积的坐标运算
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
则①a±b＝(a1±b1，a2±b2，a3±b3)；
②λa＝(λa1，λa2，λa3)；
③a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.
(2)共线与垂直的坐标表示
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
则a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)，
a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量)．
(3)模、夹角和距离公式
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
则|a|＝＝，
cos〈a，b〉＝＝.
设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，
则dAB＝||＝.
自我测评
1．在空间四边形ABCD中，·＋·＋·＝________.

解析　如图，设＝a，＝b，＝c，
·＋·＋·
＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)＝0
2．两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2,0,2)，则l1与l2的位置关系是________.
解析　∵v2＝－2v1，∴v1∥v2.
3．已知a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)，则下列结论正确的是(　　)．
A．a∥c，b∥c B．a∥b，a⊥c
C．a∥c，a⊥b D．以上都不对
解析　∵c＝(－4，－6,2)＝2(－2，－3,1)＝2a，∴a∥c，
又a·b＝－2×2＋(－3)×0＋1×4＝0，∴a⊥b.
答案　C