2018高考数学理冲刺模拟试题一山东湖北有答案.docx

齐鲁名校教科研协作体 山东、湖北部分重点中学2018年高考冲刺模拟试卷（一） 数学（理科）试题 命题：湖北随州一中(刘丽) 审题：山东临沂一中 山东临朐一中 山东沂水一中
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.(原创，容易)已知全集 （ ） A.{3} B.{0，3，5} C.{3，5} D.{0，3} [答案]D [解析]全集U={0，1，2，3，4}，则CuA={0，3} [考点]分式不等式及集合运算. 2.(原创，容易)已知i为虚数单位，现有下面四个命题 p1：复数z1=a+bi与z2=－a+bi，（a，b ）在复平面内对应的点关于实轴对称； p2：若复数z满足(1-i)z=1+i，则z为纯虚数； p3：若复数z1，z2满意z1z2 ，则z2= ； p4：若复数z满足z2+1=0，则z＝±i. 其中的真命题为（ ） A.p1，p4 B.p2，p4 C.p1，p3 D.p2，p3 [答案]B [解析]对于p1：z1与z2关于虚轴对称，所以p错误；对于p2：由(1－i)z=1+i z= ，则z为纯虚数，所以p2正确；对于p3：若z1=2，z2=3，则z1z2=6，满足z1z2 ，而它们实部不相等，不是共轭复数，所以p3不正确；p4正确. [考点]复数与命题真假的综合. 3.(原创，容易)已知 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [答案]A [解析] 使 是真命题， [考点]二次不等式及充分、必要条件. 4.(原创，容易)在某次学科知识竞赛中（总分100分），若参赛学生成绩 服从N（80， 2）( >0)，若 在(70，90)内的概率为0.8，则落在[90，100]内的概率为（ ） A.0.05 B.0.1 C.0.15 D.0.2 [答案]B [解析]由题意可得 . [考点]正态分布. 5.(原创，容易)某几何体的三视图是网络纸上图中粗线画出的部分，已知小正方形的边长为1，则该几何体中棱长的最大值为（ ） A. B. C. D.4 [答案]C [解析]由三视图可得该几何体是一个四面体，可以将其放入棱长分别为1，2，3的长方体中，该四面体的棱长是长方体的各面的对角线，长度分别是 ， ， ，则最长的棱长为 . [考点]三视图还原. 6.(原创，容易)要使右边的程序框图输出的S=2cos 则判断框内（空白框内）可填入（ ） A. B. C. D. [答案]B [解析]要得到题中的输出结果，则 均满足判断框内的条件， 不满足判断框内的条件，故空白框内可填入 [考点]程序框图. 7.(原创，中档)已知等差数列 的第6项是二项式 展开式的常数项，则 =（ ） A.160 B.－160 C.320 D.－320 [答案]D [解析]二项式 展开式的常数项是由3个 和3个 相乘得到的，所以常数项为 所以 ，由等差数列的性质可得 =－320. [考点]二项式定理及等差数列的性质. 8.(原创，中档)将函数 的图象按以下次序变换：①纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，②向右平移 个单位，得到函数 的图象，则函数 在区间 上的对称中心为（ ）
A. B. C. D. [答案]D [解析] 故 ，令 = 故k所有可能的取值为－1，0，1，故所求对称中心为（0，0），（ ，0），（2 ，0）. [考点]三角函数的图象变换及正切函数的对称中心. 9.(原创，中档)已知点P是双曲线C： 的一条渐近线上一点，F1、F2是双曲线的下焦点和上焦点，且以F1F2为直径的圆经过点P，则点P到y轴的距离为（ ） A. B. C.1 D.2 [答案]D [解析]不妨设点P在渐近线 上，设 又 ，由以F1F2为直径的圆经过点P，得 = ，解得 ，则点P到y轴的距离为 . [考点]双曲线的几何性质 10.(原创，中档)已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，若动点P满足 则点P的轨迹一定通过△ABC的（ ） A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心 [答案]C [解析]在△ABC中，由正弦定理得 边上的中点为D，由已知可得 故P点的轨迹在三角形的中线上，则P点轨迹一定通过三角形的重心. [考点]平面向量的加减法的几何运算及向量共线的应用. 11.(原创，难)设直线 与椭圆 交于A、B两点，过A、B两点的圆与E交于另两点C、D，则直线CD的斜率为（ ） A.－ B.－2 C. D.－4 [答案]D [解析]本题来源于教材选修4-4中第38页例4，如图所示，AB、CD是中心为点O的椭圆的两条相交弦，交点为P，两弦AB、CD与椭圆长轴的夹角分别为∠1，∠2，且∠1=∠2，则 . [考点]直线与圆、椭圆的综合 12.(改编，难)若函数 有三个不同的零点，则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. [答案]A [解析]由题意可得 有3个不同解，令 当 时，令 ，则 递减；当 递增，则 时，恒有 得 或 递减； 递增； 时， 递减，则 的极小值为 的极大值为 结合函数图象可得实数a的取值范围是 . [考点]函数的零点与导数的综合应用. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. (原创，容易)设命题 . [答案] . [解析]特称命题的否定是全称命题. [考点]全（特）称命题的否定. 14.(原创，容易)直线 的倾斜角的取值范围是 . [答案] [解析]若 ，则直线的倾斜角为90°；若 ，则直线的斜率k＝ 设直线的倾斜角为 ，则 ，故 ，综上可得直线的倾斜角的取值范围是 . [考点]直线的倾斜角与斜率的关系. 15.(原创，中档)设实数 满足 的最小值是 . [答案] [解析]不等式组对应的可行域如图，令 处取得最小值， 在点（1，2）处取得最大值， 故 的取值范围是 [考点]求线性约束条件下目标函数的最值. 16.(改编，难)已知G为△ABC的重心，点M，N分别在边AB，AC上，满足 其中 则△ABC和△AMN的面积之比为 . [答案] [解析]连接AG并延长交BC于D，此时D为BC的中点，故 设 所以 . 所以 ，则 . [考点]平面向量的综合应用 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.(本题满分12分) (原创，容易)在等差数列 （Ⅰ）求数列 的通项公式； （Ⅱ）若数列 ，求数列 的前n项和Sn. 解：（Ⅰ）设数列 的公差为d，则 由 ……………………4分 所以 …………………………6分 （Ⅱ) 由(I)得， ………………8分 ① ② ①－②，得 ， 所以 ……………………………………………………12分 [考点]等差数列基本量运算、数列求和.
18.(本题满分12分) （原创，中档）如图，在四棱锥P-ABCD中，AD⊥平面PCD，PD⊥CD，底面ABCD是梯形，AB∥DC，AB=AD=PD=1，CD=2AB， 为棱PC上一点. (Ⅰ)若点 是PC的中点，证明：B ∥平面PAD； (Ⅱ) 试确定 的值使得二面角 -BD-P为60°.
解析： (Ⅰ)证明：取PD的中点M，连接AM，M ， ， M ∥CD， …………………………………………1分 又AB∥CD， ∥AB，QM＝AB， 则四边形ABQM是平行四边形. ∥AM.……………………3分 又 平面PAD，BQ 平面PAD， ∥平面PAD.……4分 （Ⅱ）解：由题意可得DA，DC，DP两两垂直，以D为原点，DA，DC，DP所在直线为 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则P(0，1，1)，C(0，2，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0).……………… 5分 令 ……………………………………… 7分 又易证BC⊥平面PBD， 设平面QBD的法向量为 令 …………………………………………………9分 ， 解得 ……………………………………………11分 Q在棱PC上， ………………………………12分 [考点]线面平行证明及二面角计算 19.（本题满分12分） （原创 ，中档）《中华人民共和国民法总则》（以下简称《民法总则》）自2017年10月1日起施行。作为民法典的开篇之作，《民法总则》与每个人的一生息息相关.某地区为了调研本地区人们对该法律的了解情况，随机抽取50人，他们的年龄都在区间[25，85]上，年龄的频率分布及了解《民法总则》的人数如下表：
年龄 [25，35) [35，45) [45，55) [55，65) [65，75) [75，85) 频数 5 5 10 15 5 10 了解《民法总则》 1 2 8 12 4 5
（Ⅰ）填写下面2×2 列联表，并判断是否有99%的把握认为以45岁为分界点对了解《民法总则》政策有差异； （Ⅱ）若对年龄在[45，55），[65，75）的被调研人中各随机选取2人进行深入调研，记选中的4人中不了解《民法总则》的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望. 解：（Ⅰ）2×2列联表： ………………………………………………………………………2分 …………………………… 4分 没有99%的把握认为以45岁为分界点对了解《民法总则》政策有差异.………………5分 （Ⅱ）X的所有可能取值为0，1，2，3， …………………………………………………………10分 则X的分布列为 X 0 1 2 3 P
所以X的数学期望是 ………………………………12分 [考点]统计案例，超几何分布的分布列与期望. 20.（本题满分12分） （改编，难）已知椭圆 的一个焦点与抛物线 的焦点相同，A为椭圆C的右顶点，以A为圆心的圆与直线 相交于P， 两点，且 （Ⅰ）求椭圆C的标准方程和圆A的方程； （Ⅱ）不过原点的直线 与椭圆C交于M、N两点，已知OM，直线 ，ON的斜率 成等比数列，记以OM、ON为直径的圆的面积分别为S1、S2，试探究 的值是否为定值，若是，求出此值；若不是，说明理由. 解：(Ⅰ)如图，设T为PQ的中点，连接AT，则AT⊥PQ， ………………………………………………2分 由已知得 ,所以 椭圆C的方程为 …………………………………… 4分 ……………………………… 6分 (Ⅱ) 设直线 的方程为 由 ， 由题设知， ……………8分 ………………………………………………………………10分
则 故 为定值，该定值为 .…………………………………………………12分 [考点]椭圆的标准方程、抛物线的性质、直线与圆的位置关系，圆的几何性质、圆的方程、直线与椭圆的位置关系. 21.（本题满分12分） （改编，难）已知函数 （Ⅰ）若直线 且曲线 在A处的切线与 在B处的切线相互平行，求a的取值范围； （Ⅱ）设 在其定义域内有两个不同的极值点 且 若不等式 恒成立，求 的取值范围. 解：（Ⅰ）依题意，函数 的定义域为（0， ）， 因为曲线 在A处的切线与 在B处的切线相互平行，所以 有解，即方程 有解.………………………………………2分 方程 有解转化为函数 的图像在 上有交点， 如图，令过原点且与函数 的图像相切的直线的斜率为 ，只须 令切点为 ，所以 ，所以 ……………………………………………………5分 （Ⅱ） 因为 在其定义域内有两个不同的极值点，所以 的两个根，即 ………………………………6分 因为 …………8分 令 ，则 ，由题意知，不等式 上恒成立. 令 如果 所以 上单调递增，又 上恒成立，符合题意.…………………………………………………10分 如果 时， 上单调递增，在 上单调递减，又 上不能恒小于0，不符合题意，舍去. 综上所述，若不等式 恒成立，只须 .……………12分 [考点]导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、最值，不等式恒成立问题.
选做题（请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分） 22.（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】 （原创，容易）在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 以O为极点， 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为 与圆C交于点O，P，与直线 交于点Q. （Ⅰ）求直线 的极坐标方程； （Ⅱ）求线段PQ的长度. 解：（Ⅰ）将直线 的参数方程化为普通方程为 …………………………2分 再结合 ， ，得直线 的极坐标方程为 …………………………………………………………… 5分 （Ⅱ）联立 ……………………………………………7分 联立 ……………………………………………………… 9分 则线段PQ的长度为3－1=2.……………………………………………10分 [考点]方程互化，两点间距离的求法. 23.（本小题满分10分）【选修4－5：不等式选讲】 （原创，容易）已知函数 （Ⅰ）求不等式 （Ⅱ）若 的图像与直线 围成图形的面积不小于14，求实数a的取值范围. 解：（Ⅰ） ……………………………………………2分 则不等式 解得 …………………………………………………………………………………4分 故不等式 的解集为 ………………………………………………5分 （Ⅱ）作出函数 的图象，如图. 若 的图象与直线 围成的图形是三角形，则当 时，△ABC的面积取得最大值 ， 的图象与直线 围成图形的面积不小于14，该图形一定是四边形，即 …………………………………………………………7分 △ABC的面积是6， 的面积不小于8.………………………………… 8分 ……………………………………9分 又 故实数 的取值范围是 ………………………………………………10分 [考点]绝对值不等式解法，三角形面积的求法.

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