主方程Masterequation省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

第二章 主方程(Master equation)这里我们研究概率分布随时间演化。随机过程：与时间相关随机变量(time-dependent random variable)我们只考虑仅有短程记忆过程 马尔科夫过程(Markov process)，该过程时间演化方程就是主方程。主方程是统计物理里最主要方程之一，它几乎是普遍适用，并广泛地被应用于化学，生物学，人口动力学，布朗运动，流体，半导体，金融等问题。第1页2.1 主方程推导（I）普通情形对于随机变量Y概率密度，将采取以下记号来表示：（随机变量Y在 时刻取 值概率）;（随机变量Y在 时刻取 值，在 时刻取 值联合概率）;（随机变量Y在 时刻取 值，在 时刻取 值，在 时刻取 值联合概率）。联合概率密度是正:它们能够被约化:而且是归一化:普通性质:第2页不一样时刻概率密度之间关系（上式对 积分）：随机变量与时间相关矩(表征随机变量在不一样时刻值之间相关):平稳过程：假如一个过程对一切n与都有：在平衡时，全部物理过程都是平稳。对一个平稳过程，有：条件概率：而 只依赖于 -时间差绝对值。（在 时刻取 值随机变量Y，在 时刻取 值概率）;它由以下恒等式来定义：第3页（II）马尔科夫过程(Markov process)=（固定 时，随机变量Y含有值 联合概率密度）联合条件概率密度：对马尔科夫过程我们有(其中 )：即tn时刻取yn条件概率完全由tn-1时刻yn-1值确定。马尔科夫过程完全由 和 转移概率两个函数确定。比如：对y2积分，轻易得到（Chapman-Kolmogorov方程）：Chapman-Kolmogorov方程主要性：告诉我们对马尔科夫过程来说两个相继步骤转移概率是两个单个步骤转移概率乘积乘积，而且相继步骤是统计独独立立。第4页(III)主方程(Master equation)计算（*1）时间导数我们必须考虑：这里我们定义 是系统在时间间隔 内，从态y1变到态y2单位时间转变概率密度（转移率）。所以 在时间 内，从态y1转变到态y2概率密度为 ；在时间内不转变概率密度为 。所以有：（*3)时间导数为：在时刻t1+（是一个非常小正数），由定义我们有（以连续变量为例）：（*1）当=0时，由（*1）得：（*2）由（*1-3）我们发觉：（*4）这就是主方程。第5页(IV)细致平衡和Monte Carlo模拟为简单记这里我们考虑离散情形，这时主方程可写为：这和我们以前学过统计物理里刘维尔定理很相同。对平稳过程，我们有所以对不一样平衡态有（这里我们略去了时间）：这就是细致平衡（细致平衡（detailed balance）。对统计物理研究很多系统而言，转移概率普通是不含时，即与系统是否处于平衡态无关，所以我们普通有：。能够证实（见下），即使系统初始处于非平衡态时（这时概率密度函数与时间相关），经过足够长时间后系统将逐步进入平衡态，这是我们对系统进行Monte Carlo模拟模拟理论基础。练习：考虑相对熵：。这里 是系统处于非平衡态概率密度函数，则是系统处于平衡态概率密度函数。证实 和 ，其中等号仅当系统处于平衡态时成立。由此有：第6页(V)福克-普朗克(Fokker-Planck)方程因为转移概率 将随增大而快速减小，我们把WP1按幂次展开：当y是一个连续变量连续变量，而且y改变以小跳跃小跳跃方式发生时，我们可导出 偏微分方程-福克-普朗克方程。先做变量代换:类似地这里 是跳跃大小。于是主方程变为上式右边第一项和最终一项可消去，所以得到：（+）这就是福克福克-普朗克普朗克(Fokker-Planck)方程方程。其中 是第第n级跃变矩级跃变矩：第7页2.2 马尔科夫链(Markov chain)马尔科夫链：是马尔科夫过程一个例子，是在离散时刻出现离散随机变量Y取值之间转移。设Y可取值 ，基本时间间隔为1，从t=0到t=1我们有：引入 我们可把上式改写为矩阵方程：在s时刻，我们有：P(s)在s很大时行为依赖于转移矩阵结构。若Q某个幂次全部元素都是正（正则矩阵），则P(s)趋向唯一确实定与初态无关定态 ：且易证实：第8页一个例子（雷克书P.173）：考虑两个罐子A和B，有三个红球和两个白球分配给它们，并总使得A中有两个球。共有下面三种位形：位形间转移为：无规则地从A和B中各取一个球进行交换。转移矩阵为 且易知 是正则:令 表示定态，由方程：可解出定态，结果为：，与初态无关。第9页2.3无规行走和扩散方程考虑一个粒子在x轴上运动，且各步行走是统计独立。设步长为l，步间时间为，n=0，1，2,为粒子绝对位置，则有：若粒子向左向右运动概率均为1/2，则原方程可简化为：把上式写为求导形式，我们有：令 并在 为有限条件下取极限 便可得到扩散方程:第10页假定初始时刻 并引入P1(x,t)对x傅里叶变换（特征函数），扩散方程可变为：该方程解为：，再取逆变换，可得：这是粒子在t=0从x=0出发，到t时刻于x点找到它概率。一阶矩和二阶矩：一阶矩：把扩散方程两边乘以 并对位置积分后，我们发觉：所以粒子平均距离不随时间改变；二阶矩：把扩散方程两边乘以 并对位置积分后，我们发觉：这正是扩散过程特征。第11页2.4 生灭过程，主方程求解生灭过程：在一个时刻只能进行一步转移。我们这里处理一个可用生成函数严格求解情形。再假定生和灭概率正比于现存细菌数，则有 和 ，上式两边同乘以 并化简，即得线性生灭过程主方程：考虑t时刻有m个细菌一个群体：(i)在时间 内死亡一个细菌概率为(ii)在时间 内出生一个细菌概率为(iii)在时间 内细菌数目不变概率为(iv)在时间 内出生或死亡数超出1概率为零.于是有:第12页对依赖于离散离散随机变量主方程求解：生成函数法生成函数（characteristic function）可写为：对z求导后令z-1,可得到随机变量n各阶距：普通地，我们有：所以对普通多项式函数r(n),我们有：由此有：第13页把以上表示式带入到主方程中我们有：（*）所以方程(*)和主方程是等价，我们只需解方程(*)。轻易发觉(*)可由方程组 及 得到。从dF=0我们发觉F(z,t)=C2，由普通解为设t=0时，细菌数目为m，则故若 则结果我们求得第14页2.5 离散平稳马尔科夫过程普遍解对离散平稳马尔科夫过程，Chapman-Kolmogorov方程变为：这里 和由概率和条件概率定义我们还有:即 和 考虑离散随机变量 和离散时间 ，其中n和是整数。这时我们得到了一个马尔科夫链，我们有：这里 是系统处于k态时下一步跳到n态条件概率，它包含了系统转移机制一切必要信息。组成了矩阵Q分量：由（2.2）节我们并有：第15页转移矩阵Qlxl转移矩阵Q普通不是对称阵，因而其左，右本征矢量不一样。其左本征矢量问题可写为：右本征矢量问题可写为：其中是方程 det|Q-I|=0解。由以上两式能够证实：正交归一性：即Q能够用其左，右本征矢展开：所以我们有Q最少有一本征值为1，且 若全部 由上可知 则对足够大s方程 不成立，这不可能。再由P=PQ及iXi=XiQ和iYi=QYi，易得 因Yi组成完备本征矢，若全部i1则对全部i都有PYi=0，这不可能。故存在i使得 最终由右本征矢方程两边取绝对值得：对全部m求和并考虑Q归一性即得：（注意雷克书中证实有一步是错误。）对正则转移矩阵，若Q只有一个本征值 则 第16页2.6 近似方法-展开（I）简单例子：一维无规行走考虑一个有边界条件一维无规行走，其主方程为：这里-LnL而且L1，因而系统大小=2L+11。我们引入：x=n/L,并记(x,t)=P1(n,t),主方程可改写为：因为1/L是小量，我们能够把 对1/L展开：情形1：=:这时上式右边第一项1/L项消失。为简单记我们令=1并记 这么重新标度后我们有：这是扩散方程(Fokker-Planck方程)。情形2：:这时只用考虑主方程右边第一项。令=t/L我们有：这是一个有向无规行走且x()满足：第17页(II)普通情形这里考虑连续时间和离散随机变量主方程并假定转移率W与时间无关，这么主方程可写为：类似于连续随机变量情形我们能够定义跃变矩：跃变矩是随机变量n方程。我们普通感兴趣是随机变量n及其各级矩运动方程，这些已知话系统性质就基本清楚了。运动方程：在主方程两边乘以n并对n求和，在对右边第一项作交换nm后我们取得：运动方程：在主方程两边乘以 并对n求和，在对右边第一项作交换nm后我们取得：所以不用解主方程，经过转移率W(n,m)我们就能够得到系统大量信息。第18页近似：W对系统参量展开对大系统，我们能够把W对表征系统大小参量做展开（因1/是一个小量），并将其带入到主方程中，取得一个近似主方程，这个方程解可能对系统性质做出很好描述。在转移率中主要参量是密度m/和步长n=n-m。所以我们把W(m,n)展开为：这里f()是任意函数。对大我们略去上式中高阶项并带入到主方程中，得：对大量独立客体行为，依据中心极限定理我们知道 ，宽度n正比于 于是我们能够把n在其平均值附近展开：其中 是n对其平均值 偏移。我们能够把主方程用x来表示，在n取值n-n+n内，我们定义（这么(t)显式地依赖于t）：其中第19页于是我们有：和 主方程随之变为：把上式右边第一项在 附近作泰勒展开并重新标定时间f()t=后，主方程最终变为：其中 和 第20页在主方程里保留到 ，可得：要满足上式，只须取 这里在主方程里保留到零级项，可得关于概率密度 Fokker-Planck方程：由上式即可得扰动x平均值和矩等运动方程。对平稳过程，上述方程右端系数与时间无关。如在=0有 ，并定义 及 和 ，上述Fokker-Planck方程可变为一个广义扩散方程：主方程展开到 级项时，W泰勒展开第二项1将开始有贡献。第21页2.7 非线性生灭过程-马尔萨斯方程对线性线性生灭过程：对非线性非线性生灭过程：我们假设社会组员间竞争使得死亡率加大，所以死亡率中还有一个正比于其它个体密度项 贡献，这里是系统大小。这么转移率变为：因为在时间内不转变概率为 ，我们发觉主方程可写为：考虑t时刻有m个人一个社会，我们有：轻易发觉转移率为：第22页在t时刻个体平均数方程为：这个方程中一级矩演化依赖于二级矩。为此把n在其平均值附近展开：并保留到级项，我们发觉：此方程解为特点：当 则 人口消亡；当 则 人口趋于一个稳定值（时趋于无穷大）。即当转移率改变时，存在一个从一个状态到另一状态“相变”！第23页