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数理方程南京邮电大学、应用数理系第1页数理方程南京邮电大学、应用数理系三三类类基本方程在直角坐基本方程在直角坐标标系中表示系中表示一、一、波动方程波动方程二、热传导方程二、热传导方程三、拉普拉斯方程三、拉普拉斯方程第2页数理方程南京邮电大学、应用数理系 定解问题适定性定解问题适定性：解：解存在性存在性、解、解唯一性唯一性和解和解稳定性稳定性；若一个定解问题存在唯一且稳定解，则此问题称为适定。若一个定解问题存在唯一且稳定解，则此问题称为适定。定解问题泛定方程定解问题泛定方程+定解条件定解条件边界条件确定本征值和本征函数边界条件确定本征值和本征函数要求掌握三类边界条件常见例子（见第一章课件，如要求掌握三类边界条件常见例子（见第一章课件，如边界吸热，放热，绝热，自由冷却，边界固定，边界边界吸热，放热，绝热，自由冷却，边界固定，边界为自由端等）以及初始条件表述方法。为自由端等）以及初始条件表述方法。初始条件确定级数叠加系数初始条件确定级数叠加系数第3页数理方程南京邮电大学、应用数理系1 1、线性二阶偏微分方程普通形式、线性二阶偏微分方程普通形式 该方程为齐次该方程为齐次该方程为非齐次该方程为非齐次数学物理方程分类数学物理方程分类 方程方程为为双曲型双曲型方程方程为为抛物型抛物型方程方程为椭圆为椭圆型型若方程中与若方程中与u相关项幂指数均为相关项幂指数均为1，方程为线性。，方程为线性。第4页数理方程南京邮电大学、应用数理系行行 波波 法法一、行波法主要用来求解一、行波法主要用来求解无界区域无界区域内波动方程定解问题内波动方程定解问题达朗贝尔公式达朗贝尔公式第5页数理方程南京邮电大学、应用数理系对无限长区域内波动方程，对无限长区域内波动方程，任意扰动总是以行波形式分为任意扰动总是以行波形式分为两个方向传输出去两个方向传输出去，波速为，波速为 ，也即，也即:以速度以速度 沿沿 负方向移动行波负方向移动行波以速度以速度 沿沿 正方向移动行波正方向移动行波通解物理意义：通解物理意义：第6页数理方程南京邮电大学、应用数理系二、普通二阶齐次线性偏微分方程特征线求法：二、普通二阶齐次线性偏微分方程特征线求法：其特征方程为：其特征方程为：其特征方程解即为特征线方程：其特征方程解即为特征线方程：如如第7页数理方程南京邮电大学、应用数理系双曲型方程双曲型方程过其中每一点有过其中每一点有两条两条不一样实特征线不一样实特征线椭圆型方程椭圆型方程过其中每一点过其中每一点不存在不存在实特征线实特征线抛物型方程抛物型方程过其中每一点有过其中每一点有一条一条实特征线实特征线三、傅里叶级数三、傅里叶级数 第8页数理方程南京邮电大学、应用数理系傅里叶变换式傅里叶变换式傅里叶逆变换式傅里叶逆变换式复数形式傅里叶变换复数形式傅里叶变换第9页数理方程南京邮电大学、应用数理系基本思想基本思想：经过分离变量，把偏微分方程分解成几个常微分：经过分离变量，把偏微分方程分解成几个常微分方程，常微分方程带有附加条件而组成本征值问题。方程，常微分方程带有附加条件而组成本征值问题。分离变量分离变量(傅立叶级数傅立叶级数)法法要求能熟练应用分离变量法求解波动方程，热传导方程，拉普拉要求能熟练应用分离变量法求解波动方程，热传导方程，拉普拉斯方程（矩形区域和圆形区域）定解问题。斯方程（矩形区域和圆形区域）定解问题。第10页数理方程南京邮电大学、应用数理系解题步骤解题步骤:边界是否齐次边界是否齐次写出本征值、本征函数、待求写出本征值、本征函数、待求物理量傅立叶级数展开式物理量傅立叶级数展开式边界齐次化边界齐次化写出定解问题写出定解问题方程非齐次项和初值条件级数方程非齐次项和初值条件级数展开展开代入原泛定方程得到另一变量微分方程和初值代入原泛定方程得到另一变量微分方程和初值写出解表示式和系数写出解表示式和系数第11页数理方程南京邮电大学、应用数理系边界齐次化（考点）边界齐次化（考点）第12页数理方程南京邮电大学、应用数理系第13页数理方程南京邮电大学、应用数理系边界条件（四种）：边界条件（四种）：第14页数理方程南京邮电大学、应用数理系波动方程：波动方程：热传导方程：热传导方程：第15页数理方程南京邮电大学、应用数理系拉普拉斯方程：拉普拉斯方程：1 1、矩形区域：、矩形区域：2 2、圆域（圆盘、圆环区域）（重点）：、圆域（圆盘、圆环区域）（重点）：第16页数理方程南京邮电大学、应用数理系若研究区域包含圆心，必须考虑该自然边界条件。若研究区域包含圆心，必须考虑该自然边界条件。满足有界性条件满足有界性条件 通解为：通解为：在求叠加系数时，要善于利用初始条件，注意比对等号两在求叠加系数时，要善于利用初始条件，注意比对等号两边系数，到达化简叠加系数目标边系数，到达化简叠加系数目标.第17页数理方程南京邮电大学、应用数理系求解非齐次方程求解非齐次方程特征函数法特征函数法第18页数理方程南京邮电大学、应用数理系将将V（x,t）按）按W（x,t）本征函数进行展开，如：）本征函数进行展开，如：令：令：若若 表示式能够写成关于表示式能够写成关于x正余弦形式，正余弦形式，不用展开，不然，不用展开，不然，也需要按也需要按W本征函数展开。本征函数展开。第19页数理方程南京邮电大学、应用数理系将展开式代入原方程，注意等号两边比对，代入初始条将展开式代入原方程，注意等号两边比对，代入初始条件，化简叠加系数。详细内容参见课件中相关例题。件，化简叠加系数。详细内容参见课件中相关例题。本部分重点复习第三章课件中倒数第二个例题。本部分重点复习第三章课件中倒数第二个例题。第20页数理方程南京邮电大学、应用数理系格林函数格林函数主要掌握使用格林函数求解三维拉普拉斯方程主要掌握使用格林函数求解三维拉普拉斯方程1、熟记第一格林公式和第二格林公式熟记第一格林公式和第二格林公式-第一格林公式-第二格林公式 第21页数理方程南京邮电大学、应用数理系2 拉普拉斯方程钮曼问题拉普拉斯方程钮曼问题 有解必要条件有解必要条件3 拉普拉斯方程解唯一性问题拉普拉斯方程解唯一性问题结论结论 狄利克雷问题在原定解问题中解是唯一确定；狄利克雷问题在原定解问题中解是唯一确定；钮曼问题解在相差一个常数下也是唯一确定钮曼问题解在相差一个常数下也是唯一确定.4、三维拉普拉斯方程基本解、三维拉普拉斯方程基本解.或第22页数理方程南京邮电大学、应用数理系使用镜像法求上半空间内格林函数使用镜像法求上半空间内格林函数在狄利克雷问题中在狄利克雷问题中第23页数理方程南京邮电大学、应用数理系为上半空间为上半空间 格林函数格林函数.球域内格林函数：球域内格林函数：详细内容参见课件上相关例题。详细内容参见课件上相关例题。第24页数理方程南京邮电大学、应用数理系贝塞尔函数贝塞尔函数n阶贝塞尔方程做代换做代换 ,n阶贝塞尔方程标准形式.熟记！熟记！熟记！熟记！第25页数理方程南京邮电大学、应用数理系贝塞尔函数级数解法贝塞尔函数级数解法n阶贝塞尔方程一个特解熟记！熟记！第26页数理方程南京邮电大学、应用数理系或当 n 不为整数时,和 线性无关n阶贝塞尔方程通解为 另两个特解第27页数理方程南京邮电大学、应用数理系当n为整数时，有：当n为整数时,与 线性相关n阶贝塞尔方程通解只可写为贝塞尔函数性质：1 1 有界性有界性 第28页数理方程南京邮电大学、应用数理系n n为偶数时，为偶数时，为偶函数为偶函数n n为奇数时，为奇数时，为奇函数为奇函数性质性质2 2 奇偶性奇偶性 性质性质3 3 递推性（大题考点）递推性（大题考点）详细内容参见课件上相关例题详细内容参见课件上相关例题第29页数理方程南京邮电大学、应用数理系贝塞尔方程贝塞尔方程 本征值为本征值为 与本征值对应本征函数为：与本征值对应本征函数为：第30页数理方程南京邮电大学、应用数理系称为贝塞尔函数称为贝塞尔函数模。模。傅立叶傅立叶-贝塞尔级数贝塞尔级数第31页数理方程南京邮电大学、应用数理系往年考题往年考题第32页数理方程南京邮电大学、应用数理系定解问题适定性指是定解问题适定性指是_。1 1定解问题中定解条件包含定解问题中定解条件包含_，2.2.边值问题边值问题 固有值为固有值为_ ，_ ，n=_ n=_。固有函数为固有函数为第33页数理方程南京邮电大学、应用数理系先求出对应齐次方程满足齐次边界条件固有函数系，为先求出对应齐次方程满足齐次边界条件固有函数系，为_，再设，再设 u(x,t)=_u(x,t)=_，将自，将自由项按此函数系展由项按此函数系展开为开为_，一起代入原方程，利用初，一起代入原方程，利用初始条件，求出待定函数，最终得始条件，求出待定函数，最终得u(x,t)=_。3.对于非其次方程定解问题通常采取固有函数法求解，比如对对于非其次方程定解问题通常采取固有函数法求解，比如对定解问题定解问题第34页数理方程南京邮电大学、应用数理系5.5.贝塞尔方程贝塞尔方程通解可表示为通解可表示为 _ _ 。=，=_=_。6.第一类贝塞尔函数第一类贝塞尔函数二、用格林函数法求解球域内拉普拉斯方程狄利克雷二、用格林函数法求解球域内拉普拉斯方程狄利克雷问题问题：（10分）分）第35页数理方程南京邮电大学、应用数理系四、（四、（1212分）求解以下定解问题分）求解以下定解问题 三、（三、（1212分）求解热传导方程定解问题分）求解热传导方程定解问题 第36页数理方程南京邮电大学、应用数理系五、（五、（12分）求以下狄利克雷问题解（其中分）求以下狄利克雷问题解（其中a为常数）为常数）六、（六、（1212分）用达朗贝尔公式求波动方程初值问题分）用达朗贝尔公式求波动方程初值问题对对 进行进行Fourier级数展开级数展开第37页数理方程南京邮电大学、应用数理系七、（七、（1212分）设分）设正根为正根为，将函数，将函数展开成贝塞尔函数展开成贝塞尔函数级数级数第38页数理方程南京邮电大学、应用数理系The EndThank you for your attention!第39页
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