数理方程行波法与积分变换法市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法第三章第三章 行波法与积分变换法行波法与积分变换法一 行波法3适用范围：无界域内波动方程，等1 基本思想：先求出偏微分方程通解，然后用定解条件确定特解。这一思想与常微分方程解法是一样。2关键步骤：经过变量变换，将波动方程化为便于积分齐次二阶偏微分方程。10/10/1第1页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法10/10/2第2页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法一维波动方程达朗贝尔公式 行波法 10/10/3第3页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法结论：达朗贝尔解表示沿x 轴正、反向传输两列波速为a波叠加，故称为行波法。a.只有初始位移时，代表以速度a 沿x 轴正向传输波 代表以速度a 沿x 轴负向传输波4 解物理意义b.只有初始速度时：假使初始速度在区间 上是常数，而在此区间外恒等于010/10/4第4页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法解：将初始条件代入达朗贝尔公式5 达朗贝尔公式应用10/10/5第5页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法影响区域决定区域依赖区间特征线特征变换行波法又叫特征线法6 相关概念10/10/6第6页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法7 非齐次问题处理(齐次化原理)利用叠加原理将问题进行分解：10/10/7第7页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法利用齐次化原理，若 满足：则：令：10/10/8第8页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法从而原问题解为10/10/9第9页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法10/10/10第10页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法特征方程10/10/11第11页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法例1 解定解问题解10/10/12第12页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法例2 求解解：特征方程为令：10/10/13第13页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法例3 求解Goursat问题解：令10/10/14第14页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法思索题：求解以下定解问题10/10/15第15页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法二 积分变换法1 傅立叶变换法傅立叶变换性质微分性位移性积分性相同性傅立叶变换定义偏微分方程变常微分方程10/10/16第16页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法例1 解定解问题解：利用傅立叶变换性质10/10/17第17页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法10/10/18第18页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法例2 解定解问题解：利用傅立叶变换性质10/10/19第19页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法2 拉普拉斯变换法拉普拉斯变换性质微分性相同性拉普拉斯变换定义偏微分方程变常微分方程10/10/20第20页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法例3 解定解问题解：对t求拉氏变换10/10/21第21页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法例4 解定解问题解：对x求傅氏变换对t求拉氏变换10/10/22第22页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法10/10/23第23页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法例5 解定解问题解：对t求拉氏变换对x求傅氏变换10/10/24第24页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法10/10/25第25页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法例6 求方程 满足边界条件 ，解。解法一：10/10/26第26页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法解法二：对y求拉氏变换10/10/27第27页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法例7 解定解问题解：对t取拉氏变换x取傅立叶变换其中10/10/28第28页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法10/10/29第29页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法10/10/30第30页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法10/10/31第31页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法3 积分变换法求解问题步骤对方程两边做积分变换将偏微分方程变为常微分方程对定解条件做对应积分变换，导出新方程变为定解条件对常微分方程，求原定解条件解变换式对解变换式取对应逆变换，得到原定解问题解4 积分变换法求解问题注意事项怎样选取适当积分变换定解条件中那些需要积分变换，那些不需取怎样取逆变换思索利用积分变换方法求解问题好处是什么？10/10/32第32页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法三.三维波动方程柯西问题10/10/33第33页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法球对称情形球对称情形所谓球对称是指所谓球对称是指与无关，则波动方程可化简为10/10/34第34页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法半无界问题10/10/35第35页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法这是关于这是关于 v=r u 一维半无界波动方程一维半无界波动方程.10/10/36第36页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法普通情形我们利用球平均法。我们利用球平均法。从物理上看，波含有球对称性。从数学上看，总希望把从物理上看，波含有球对称性。从数学上看，总希望把高维化为一维情形来处理，并设法化为可求通解情况。高维化为一维情形来处理，并设法化为可求通解情况。所谓球平均法，即对空间任一点（所谓球平均法，即对空间任一点（x，y，z），考虑），考虑 u 在在以（以（x，y，z）为球心，）为球心，r 为半径球面上平均值为半径球面上平均值其中为球半径为球半径方向余弦，10/10/37第37页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法如把如把 x,y,z 看作参变量，则看作参变量，则是是 r，t函数，若能函数，若能求出求出 ，再令，再令则为此把波动方程两边在以为此把波动方程两边在以x，y，z为中心，为中心，r为半径球体为半径球体 内积分，并应用内积分，并应用Gauss公式，可得公式，可得（*1）10/10/38第38页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法同时有同时有由（由（*1）(*2)可得可得（*2）关于关于r 微分，得微分，得（*3）利用球面平均值定义，（利用球面平均值定义，（*3）可写成）可写成（*4）10/10/39第39页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法（*4）又可改写为）又可改写为10/10/40第40页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法通解为通解为令令 r 0，有，有代入上式，得（*5）关于关于 r 微分，微分，再令再令 r 0，有，有（*6）10/10/41第41页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法接下来，求满足初值解。对（接下来，求满足初值解。对（*5）关于）关于 t 微分，微分，（*7）（*6）和（*7）相加即得即把代入上式，得代入上式，得10/10/42第42页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法10/10/43第43页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法从而有从而有10/10/44第44页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法10/10/45第45页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法Poisson公式公式10/10/46第46页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法四.二维波动方程假如我们把上述问题中初值视为假如我们把上述问题中初值视为重复推导重复推导Poisson公式过程，将会公式过程，将会发觉所得发觉所得Poisson公式中不含第三个变量。公式中不含第三个变量。降维法：降维法：由高维波动方程柯西问题解来求解低维波动由高维波动方程柯西问题解来求解低维波动方程柯西问题方法。方程柯西问题方法。由由Hadamard最早提出。最早提出。10/10/47第47页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法计算上述曲面积分。因为初始数据与第三个变量无关，计算上述曲面积分。因为初始数据与第三个变量无关，所以，在所以，在 上球面积分可由在圆域上球面积分可由在圆域上积分得到。上积分得到。10/10/48第48页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法所以所以10/10/49第49页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法物理意义物理意义惠更斯原理（无后效性现象）惠更斯原理（无后效性现象）三维情形三维情形二维情形二维情形波弥散（后效现象）波弥散（后效现象）10/10/50第50页