数理方程定解问题市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

数理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications数 学 物 理 方 程主讲：周澜主讲：周澜 邮箱邮箱: 答疑：周三早晨答疑：周三早晨11：3013：00，教，教2-103南京邮电大学南京邮电大学、理学院、应用物理系理学院、应用物理系Equations of Mathematical Physics第1页数理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications数理方程这门学科由来数理方程这门学科由来:20世纪，物理学基本概念和技术已经被应用到自然科学全部领域。世纪，物理学基本概念和技术已经被应用到自然科学全部领域。现在，物理学原理、方法不但在天文、地理学科有着广泛应用，而且在现在，物理学原理、方法不但在天文、地理学科有着广泛应用，而且在生命科学、环境科学、化学化工、生命科学、环境科学、化学化工、信息科学信息科学等领域也出现了很大程度上交等领域也出现了很大程度上交叉互融。叉互融。物理学已经成为自然科学发展主要基石物理学已经成为自然科学发展主要基石。伴随科学发展，对物理学提出了更高要求。对于伴随科学发展，对物理学提出了更高要求。对于物理场物理场及相关物理量及相关物理量描述，引进了数学中描述，引进了数学中偏微分方程偏微分方程。对于原子描述，引进了。对于原子描述，引进了球函数球函数概念，概念，对于半导体器件开发，引进了粒子对于半导体器件开发，引进了粒子“扩散和输运扩散和输运”概念，很多数学理论和方概念，很多数学理论和方法在物理科学与技术领域都找到了归宿，数学与物理亲缘关系越来越显著。法在物理科学与技术领域都找到了归宿，数学与物理亲缘关系越来越显著。数学物理方法数学物理方法就这么应运而生了。就这么应运而生了。第2页数理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications线性微分积分方程线性微分积分方程 线性积分方程线性积分方程波动方程波动方程 (双曲型偏微分方程双曲型偏微分方程)恒定场方程恒定场方程(椭圆型偏微分方程椭圆型偏微分方程)输运方程输运方程 (抛物型偏微分方程抛物型偏微分方程)非线性方程非线性方程 线性方程线性方程 数理方程数理方程数理方程分类数理方程分类 物理实践验证观点经常被数学所利用。同理，物理实践验证观点经常被数学所利用。同理，数学严谨推理数学严谨推理和周密分析方法也应为物理所借鉴和周密分析方法也应为物理所借鉴线性偏微分方程线性偏微分方程第3页数理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications 课程内容课程内容三种方程、三种方程、四种求解方法、四种求解方法、一个特殊函数一个特殊函数分离变量法、分离变量法、行波法、行波法、积分变换法、积分变换法、格林函数法格林函数法波动方程、波动方程、热传导方程、热传导方程、拉普拉斯方程拉普拉斯方程贝赛尔函数贝赛尔函数 数学物理方程定义数学物理方程定义描述某种物理现象数学微分方程。描述某种物理现象数学微分方程。第4页数理方程Nanjing University of Posts and TelecommunicationsRefrences：1.数学物理方法(第三版)，梁昆淼 编2.矢量分析与场论(第三版)，谢树艺3.数学物理方程MATLAB解法与可视化 彭芳麟4.微分方程5.高等数学第5页数理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications1.1、概述、概述共性共性：数理方程是把物理规律用数学语言描述出来，也就是研究：数理方程是把物理规律用数学语言描述出来，也就是研究某个物理量某个物理量在空间分布规律和随时间改变规律在空间分布规律和随时间改变规律。简单地说，。简单地说，就是用数学物理方程表示物理规律。就是用数学物理方程表示物理规律。这种物理规律反应是同一这种物理规律反应是同一类物理现象共同规律，也就是所谓共性。类物理现象共同规律，也就是所谓共性。个性个性：但同一类物理现象中，各个详细问题又含有特殊性，也就：但同一类物理现象中，各个详细问题又含有特殊性，也就是所谓个性。例：半导体扩散工艺有两种工艺，一个是是所谓个性。例：半导体扩散工艺有两种工艺，一个是“恒定恒定表面浓度扩散表面浓度扩散”；另一个是；另一个是“限定源扩散限定源扩散”泛定方程泛定方程：在数学上同一类物理现象共性称为泛定方程。：在数学上同一类物理现象共性称为泛定方程。第6页数理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications初始条件初始条件：为了求解物理量随时间改变问题，还要考虑研究对象：为了求解物理量随时间改变问题，还要考虑研究对象特定历特定历史史，也就是早先某个所谓，也就是早先某个所谓初始状态初始状态，也即初始条件。，也即初始条件。定解问题定解问题：边界条件和初始条件反应了详细问题特定环境和历史，也：边界条件和初始条件反应了详细问题特定环境和历史，也即个性。在数学上，边界条件和初始条件合称为即个性。在数学上，边界条件和初始条件合称为定解条件定解条件。把在给定。把在给定定解条件下求解数学物理方程称为数学物理定解问题或简称为定解条件下求解数学物理方程称为数学物理定解问题或简称为定解问题定解问题。边界条件边界条件：为了求解详细物理问题，还要研究物理量受周围环境影响，：为了求解详细物理问题，还要研究物理量受周围环境影响，而周围环境影响总是经过边界才传给研究对象，所以而周围环境影响总是经过边界才传给研究对象，所以周围环境影响表达周围环境影响表达于边界所处物理情况，于边界所处物理情况，这就是边界条件这就是边界条件。第7页数理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications1.21.2、数学物理方程导出、数学物理方程导出数学物理方程是把物理规律用数学语言表示出来（数学物理方程是把物理规律用数学语言表示出来（物理问题数物理问题数学建模学建模）(1)(1)首先确定所研究物理量首先确定所研究物理量(2)(2)依据物理依据物理规规律分析微元和相律分析微元和相邻邻部分相互作用部分相互作用(抓住主要影抓住主要影响，忽略次要影响响，忽略次要影响)，这这种相互作用在一个短种相互作用在一个短时间时间段里怎段里怎样样影影响物理量响物理量(3)(3)用数学用数学语语言表示出言表示出这这种相互影响，种相互影响，经简经简化整理就得到数化整理就得到数学物理方程。学物理方程。数学物理方程导出步骤为：数学物理方程导出步骤为：第8页数理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications一、波动方程一、波动方程(弦振动方程弦振动方程)问题问题1 1：均匀弦微小横振动：均匀弦微小横振动 设有一条均匀柔软细弦，长为设有一条均匀柔软细弦，长为l l，平，平衡位置与衡位置与x x轴正半轴重合，且一端轴正半轴重合，且一端与原点重合与原点重合,当弦受垂直与当弦受垂直与x x轴外力轴外力作用后，在平衡位置附近作作用后，在平衡位置附近作微小横微小横振动振动。x x1 1x x2 2T T(x x1 1)T T(x x2 2)u ux x研究对象研究对象：弦线上某点在弦线上某点在 t 时刻沿纵向位移。时刻沿纵向位移。简化假设：简化假设：(2)横向振幅极小，横向振幅极小，张力与水平方向夹角很小。张力与水平方向夹角很小。(1)弦是柔软，弦上任意一点张力沿弦切线方向弦是柔软，弦上任意一点张力沿弦切线方向。第9页数理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications10弦振动相关模拟弦振动相关模拟第10页数理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications弦振动相关模拟弦振动相关模拟第11页数理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications弦振动相关模拟弦振动相关模拟第12页数理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications弦振动相关模拟弦振动相关模拟第13页数理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications建立方程建立方程：取微元 MM，研究在水平方向和铅垂方向 MM 在不受外力情况下运动情况。牛顿运动定律：牛顿运动定律：横向：横向：纵向：纵向：第14页数理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications故：故：横向：横向：微小振动假设，可知在振动过程中弦上微小振动假设，可知在振动过程中弦上MM点与点与MM 点处切线倾角都很小，即点处切线倾角都很小，即 ，从而由，从而由第15页数理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications纵向：纵向：小弧段在小弧段在t t时刻沿时刻沿u u方向加速度近似为方向加速度近似为 ，则由牛顿第二定律，有则由牛顿第二定律，有又因为当又因为当 时，有时，有第16页数理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications带入原方程中得：带入原方程中得：其中：其中：第17页数理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications一维波动方程一维波动方程令：-非齐次方程非齐次方程自由项自由项-齐次方程齐次方程忽略重力作用：忽略重力作用：第18页数理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications假如在振动过程中，弦上还另受到一个与弦振动方向平行外力，且假定在时刻t弦上x点处外力密度为F（x，t），重复上面推导，可得有外力作用时弦振动方程其中 表示t时刻单位质量弦在x点所受外力。第19页数理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications 波动方程波动方程一维形式一维形式二维形式二维形式三维形式三维形式第20页数理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications问题问题2 2：传输线方程：传输线方程 对于直流电或低频交流电，基尔霍夫（Kirchhoff）定律指出同一支路中电流相等。但对于较高频率（指频率还没有高到能显著地辐射电磁波情况），电路中导线自感和电容效应不可忽略，因而同一支路中电流未必相等。R:每一回路单位串联电阻；L:每一回路单位串联电感；C:每单位长度分路电容；G:每单位长度分路电导。第21页数理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications依据基尔霍夫第二定律，在长度为 传输线中，电压降应等于导线电阻 上电压降和两线之间电感 上感生电动势之和：第22页数理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications另外，由基尔霍夫第一定律，流入节点电流应等于流出该节点电流，即由此可得合并（1）、（2）式可得：第23页数理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications从这个方程组消去v(或i),即可得到i(或v)所满足方程。i 满足微分方程：v 满足微分方程：方程（3）（4）称为传输线方程.课后作业，推导传输线方程课后作业，推导传输线方程第24页数理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications在高频传输情况下，电导与电阻所产生效应能够忽略不计，也就是说可令 G=R=0 ,此时方程（3）与（4）可简化为：这两个方程称为高频传输线方程。若令 ，这两个方程与一维波动方程完全相同。由此可见，同一个方程能够用来描述不一样物理现象。一维波动方程只是波动方程中最简单情况，在流体力学、声学及电磁场理论中，还要研究高维波动方程。第25页数理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications问题问题3 3：电磁波波动方程：电磁波波动方程Maxwell Equations结构方程结构方程第26页数理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications磁场三维波动方程磁场三维波动方程电场三维波动方程电场三维波动方程第27页数理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications二、输运方程二、输运方程热传导方程热传导方程热传导现象：当导热介质中各点温度分布不均匀时，有 热量从高温处流向低温处。所要研究物理量：温度 在物体中任取一个闭曲面S,它所包围区域记作V。假设在时刻t区域V内点 处温度为 ,为曲面元素 外法向。热场依据热学中傅立叶试验定律在dt时间内从dS流入V热量为：第28页数理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications从时刻t1到t2经过S流入V热量为 高斯公式（矢量散度体积分等于该矢量沿着该体积面积分）流入热量造成V内温度发生改变 热场热场第29页数理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications温度发生改变需要热量为：热传导方程热传导方程假如物体内有热源，则温度满足非齐次热传导方程第30页数理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications二维热传导方程 维热传导方程 三维热传导方程 当我们考查气体扩散当我们考查气体扩散,液体渗透液体渗透,半导体材料中杂质扩半导体材料中杂质扩散等物理过程时散等物理过程时,若用若用 u u 表示所扩散物质浓度表示所扩散物质浓度,则浓度所则浓度所满足方程形式和热传导方程完全相同满足方程形式和热传导方程完全相同.所以热传导方程也所以热传导方程也叫叫扩散方程扩散方程.第31页数理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications三、恒定场方程三、恒定场方程所谓恒定场就是场量所谓恒定场就是场量不随时间改变不随时间改变，而只与空间变量相关系，而只与空间变量相关系(U(U(x,y,zx,y,z)。问题问题1 1：静电场：静电场静静电场电场表明表明电场电场强强度度与与时间时间无关，那么麦克斯无关，那么麦克斯韦韦方程方程组组泊松方程泊松方程 拉普拉斯方程拉普拉斯方程 泊松方程泊松方程 拉普拉斯方程拉普拉斯方程 依据静依据静电场电场中中电场电场E与与电电位位u关系：关系：依据矢量运算：依据矢量运算：第32页数理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications三三类类基本方程在直角坐基本方程在直角坐标标系中表示系中表示一、一、波动方程波动方程二、热传导方程二、热传导方程三、拉普拉斯方程三、拉普拉斯方程第33页数理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications1.3、定解条件、定解条件定解条件定解条件初始条件初始条件边界条件边界条件衔接条件衔接条件1 1、初始条件：、初始条件：说说明某一明某一详细详细物理物理现现象初始状象初始状态态条件。条件。对对输输运方程运方程(扩扩散、散、热传导热传导)，初始状，初始状态态是指所研究物理量是指所研究物理量 初始初始分布分布(比如初始浓度分布、初始温度分布比如初始浓度分布、初始温度分布)，所以初始条件为：，所以初始条件为：对对波动方程波动方程(弦、杆、传输线和电磁波弦、杆、传输线和电磁波)，不但需要给出初始，不但需要给出初始“位移位移”，还要给出初始，还要给出初始“速度速度”。边界条件和初始条件反应了详细问题特殊环边界条件和初始条件反应了详细问题特殊环境和历史，即境和历史，即个性个性。第34页数理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications 不一样类型方程，对应初值条件个数不一样。初始条件给出应是整个系统初始状态，而非 系统中个别点初始状态。第35页数理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications例：例：一根长为一根长为 ，两端固定弦，用手把中点拉开，然后任其振，两端固定弦，用手把中点拉开，然后任其振动动，如，如图图所表示。此所表示。此时时初始条件就是放手那个瞬初始条件就是放手那个瞬间间弦位移和速度。弦位移和速度。初始速度和初始位移分别为初始速度和初始位移分别为:0=xlx=2lx=hxu注意：泊松方程和拉普拉斯方程不含初始条件，只含注意：泊松方程和拉普拉斯方程不含初始条件，只含边边界条件界条件条件！条件！第36页数理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications2 2、边界条件、边界条件边界条件：边界条件：研究详细物理系统，还要考虑研究对象所处特定研究详细物理系统，还要考虑研究对象所处特定“环境环境”，而周围，而周围 环境影响常表达为边界上物理情况。（可分为环境影响常表达为边界上物理情况。（可分为三类三类）：）：第一类边界条件第一类边界条件(Dirichlet(Dirichlet 问题）问题）：直接要求了所研究物理量在：直接要求了所研究物理量在边界上数值边界上数值 (2)(2)细细杆杆导热问题边导热问题边界条件：杆一端点界条件：杆一端点 温度温度 按已知按已知规规律律 改改变变，则该则该 端点端点边边界条件界条件为为 ：(1)(1)弦振弦振动问题边动问题边界条件：弦两端界条件：弦两端和和则边则边界条件分界条件分别为别为：固定固定第37页数理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications(3)(3)恒定表面恒定表面浓浓度度扩扩散散问题问题：硅片：硅片边边界就是其表面界就是其表面 ，边边界上物理情况界上物理情况为为和和 第二类边界条件（第二类边界条件（NeumannNeumann问题）问题）:要求了所研究物理量要求了所研究物理量在边界外法线方向上方向导数数值在边界外法线方向上方向导数数值 第38页数理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications(1)纵振动杆问题：杆某个端点纵振动杆问题：杆某个端点 受有沿端点外法线方向外力受有沿端点外法线方向外力 依据胡依据胡 克定律，该端点张应力与外力关系为克定律，该端点张应力与外力关系为:(2)细杆导热问题：若杆某个端点细杆导热问题：若杆某个端点 有热流有热流 沿该端点沿该端点外法线方向流出，依据热传导定律，则边界条件为：外法线方向流出，依据热传导定律，则边界条件为：若热流若热流f(t)是流入，则边界条件为是流入，则边界条件为:若端点绝热，则若端点绝热，则：第39页数理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications第三类边界条件：第三类边界条件：要求了所研究物理量及其外法向导数线性组合在边要求了所研究物理量及其外法向导数线性组合在边界上界上 数值。数值。H为常系数。为常系数。(1)(1)细杆导热问题：细杆导热问题：杆某端点杆某端点 自由冷却，即杆端和周围温度按照牛顿冷却定律自由冷却，即杆端和周围温度按照牛顿冷却定律交换热量，单位时间内从物体经过边界上单位面积流到周围介质热交换热量，单位时间内从物体经过边界上单位面积流到周围介质热量量 跟物体表面和外面温差跟物体表面和外面温差 成正比。成正比。端，外法端，外法 向向n n就是就是x x方向，而在方向，而在 端，外法向端，外法向n 就是就是-x方向，方向，则自由冷却条件分别表示为：则自由冷却条件分别表示为：H H为杆端与周围介质热交换系数为杆端与周围介质热交换系数,对杆两端都是自由冷却，那么在对杆两端都是自由冷却，那么在 第40页数理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications 初始条件初始条件和和边界条件边界条件统称为统称为定解条件定解条件。把某个偏微分方。把某个偏微分方程和对应定解条件结合在一起，就组成了一个程和对应定解条件结合在一起，就组成了一个定解问题定解问题。(1)初始问题：只有初始条件，没有边界条件定解问题；初始问题：只有初始条件，没有边界条件定解问题；(2)边值问题：没有初始条件，只有边界条件定解问题；边值问题：没有初始条件，只有边界条件定解问题；(3)混合问题：现有初始条件，也有边界条件定解问题。混合问题：现有初始条件，也有边界条件定解问题。定解问题适定性定解问题适定性:解存在性：定解问题是否有解；解存在性：定解问题是否有解；解唯一性：是否只有一解；解唯一性：是否只有一解；解稳定性：定解条件微小变动时，解是否有对应微小变动。解稳定性：定解条件微小变动时，解是否有对应微小变动。第41页数理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications3 3、定解问题泛定方程、定解问题泛定方程+定解条件定解条件定解问题定解问题长为长为 细弦两端固定，开始时在细弦两端固定，开始时在 处受到冲量处受到冲量 作用作用 定解问题适定性定解问题适定性：解：解存在性存在性、解、解唯一性唯一性和解和解稳定性稳定性；若若 一个定解问题存在唯一且稳定解，则此问题称为适定。一个定解问题存在唯一且稳定解，则此问题称为适定。第42页数理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications例例1：试给出一个由以下定解问题描述物理模型：试给出一个由以下定解问题描述物理模型：第43页数理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications(a)(第一第一类边类边界条件界条件)(b)因为当沿杆长方向有热量流动时由因为当沿杆长方向有热量流动时由Fourier热传导定律（即热流强度热传导定律（即热流强度 ）有）有（c）显然，此时有）显然，此时有可看可看为为第三第三类边类边界条件界条件 例例2 2、考虑长为、考虑长为 均匀杆导热问题，写出以下三种情况下边界条件均匀杆导热问题，写出以下三种情况下边界条件 （a）杆两端温度保持零度；）杆两端温度保持零度；（b）杆两端均绝热；）杆两端均绝热；(c)杆一端为恒温零度，另一端绝热；杆一端为恒温零度，另一端绝热；解：设杆温度为解：设杆温度为 第44页数理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications例例3、试给出一个由以下定解问题描述物理模型：、试给出一个由以下定解问题描述物理模型：第45页数理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications*46(4)按未知函数及其导数系数是否改变分为常系数和变系数按未知函数及其导数系数是否改变分为常系数和变系数微分方程；微分方程；(5)按自由项是否为零分为按自由项是否为零分为齐次方程齐次方程和和非齐次方程非齐次方程3、微分方程普通分类、微分方程普通分类(1)按自变量个数，分为二元和多元方程按自变量个数，分为二元和多元方程；(2)按未知函数及其导数幂次，分为按未知函数及其导数幂次，分为线性微分方程线性微分方程(均为一次均为一次)和和 非线性微分方程非线性微分方程（超出一次）（超出一次）；(3)按方程中未知函数导数最高阶数，分为一阶、二阶按方程中未知函数导数最高阶数，分为一阶、二阶 和高阶微分方程和高阶微分方程；第46页数理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications1.41.4、数学物理方程分类、数学物理方程分类 1 1、线性二阶偏微分方程模型普通形式、线性二阶偏微分方程模型普通形式 多自变量多自变量线性二阶偏微分方程线性二阶偏微分方程表示为表示为:该方程为齐次该方程为齐次该方程为非齐次该方程为非齐次两个自变量二阶线性偏微分方程普通形式两个自变量二阶线性偏微分方程普通形式第47页数理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications*48其中，其中，都是区域都是区域上上实实函数，函数，并假定它并假定它们们是是连续连续可微。可微。若在区域若在区域上某点上某点处满处满足足则则称方程在点称方程在点处处是是双曲型双曲型；若在点；若在点处满处满足足，则则称方程是称方程是抛物型抛物型；处满处满足足,则则称方程称方程是是椭圆椭圆型型。若在点若在点在点在点我们学到三种特征方程属于什么类型？我们学到三种特征方程属于什么类型？第48页数理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications4 4、三类方程从数学角度分类：、三类方程从数学角度分类：第49页数理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications 线性方程叠加原理称形如符号为微分算子。第50页数理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications 几个不一样原因综合所产生效果等于这些不一样原因单独产几个不一样原因综合所产生效果等于这些不一样原因单独产生效果累加。生效果累加。(物理上物理上)第51页数理方程Nanjing University of Posts and Telecommunications如二阶偏微分方程可简写为第52页数理方程Nanjing University of Posts and TelecommunicationsThanks for your attention!习题：课后习题：课后1,2，3,4,5第53页