数理方程特殊函数市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数第五章第五章 贝塞尔函数贝塞尔函数5.1 贝塞尔方程导出 设有半径为设有半径为R圆形薄盘，上下两面绝热，圆形薄盘，上下两面绝热，圆盘边界上温度一直保持为零，且圆盘上初圆盘边界上温度一直保持为零，且圆盘上初始温度已知，求圆盘内瞬时温度分布规律。始温度已知，求圆盘内瞬时温度分布规律。问题归结为求解以下定解问题：问题归结为求解以下定解问题：10/10/1第1页HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数令：令：10/10/2第2页HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数n阶贝塞尔方程 周期特征值问题周期特征值问题 特征值和特征函数分别为特征值和特征函数分别为 令令 10/10/3第3页HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数n阶贝塞尔方程阶贝塞尔方程(n为任意实数或复数为任意实数或复数)令：5.2 贝塞尔方程求解假设假设因为因为，所以有，所以有10/10/4第4页HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数情形1 n不为整数和半奇数当当c=n时时,则有令于是于是,得到贝塞尔方程一个特解得到贝塞尔方程一个特解(称为称为n阶第一类贝塞尔函数阶第一类贝塞尔函数)当p为正整数时 当p为负整数或零时 10/10/5第5页HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数当当c=-n时，令时，令 于是于是,得到贝塞尔方程另一个特解得到贝塞尔方程另一个特解(称为称为-n阶第一类贝塞尔函数阶第一类贝塞尔函数)显然显然线性无关，于是线性无关，于是n阶阶贝塞尔方程通解为贝塞尔方程通解为(称为n阶第二类贝塞尔函数(诺依曼函数)假如取假如取,则得到方程另则得到方程另一个与一个与线性无关特解线性无关特解于是于是n阶阶贝塞尔方程通解又可表示为贝塞尔方程通解又可表示为10/10/6第6页HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数情形2 n为整数此时此时线性相关。令线性相关。令能够证实能够证实线性无关特解，线性无关特解，是贝塞尔方程与是贝塞尔方程与于是，此时于是，此时n阶阶贝塞尔方程通解为贝塞尔方程通解为情形3 n为半奇数(类似讨论)10/10/7第7页HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数A、B为任意常数，n为任意实数10/10/8第8页HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数性质1 有界性 性质2 奇偶性 5.3 贝塞尔函数性质当n为正整数时 10/10/9第9页HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数性质3 递推性 10/10/10第10页HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数例1 求以下微积分10/10/11第11页HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数10/10/12第12页HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数性质4 初值 性质5 零点 有没有穷多个对称分布零点 和 零点相间分布 零点趋于周期分布，10/10/13第13页HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数性质6 半奇数阶贝塞尔函数 10/10/14第14页HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数性质7 大宗量近似 10/10/15第15页HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数性质8 正交性称称 n阶贝塞尔函数系阶贝塞尔函数系 在区间在区间(0,R)上带权函数上带权函数r正交：正交：其中其中 为为n阶贝塞尔函数零点，即阶贝塞尔函数零点，即为为n阶贝塞尔函数阶贝塞尔函数 模模。10/10/16第16页HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数正交性证实正交性证实：先将：先将n n阶贝塞尔方程写成以下形式阶贝塞尔方程写成以下形式 则有则有记记 于是于是 取取 并利用并利用 即可证得结论。相关贝塞尔函数模计算请大家自己完成。即可证得结论。相关贝塞尔函数模计算请大家自己完成。10/10/17第17页HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数例2：证实 解为 10/10/18第18页HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数5.4 傅立叶-贝塞尔级数定理定理 假如 在(0,R)内分段连续,且积分 值有限，则 能展成傅立叶贝塞尔级数：而且在 连续点,级数收敛于；而在 间断点，级数收敛于，其中 10/10/19第19页HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数例例3 3：将：将1 1在在 区间内展成区间内展成 级数形式级数形式.解解，其中，其中因为因为从而从而于是有于是有10/10/20第20页HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数例4：将x在0 x2区间内展成 级数形式 解解，其中，其中因为因为从而从而于是有于是有10/10/21第21页HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数例5：将 在0 x1区间内展成 级数形式 解解，其中，其中因为因为从而从而于是有于是有10/10/22第22页HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数例例1:求解圆形薄盘上热传导问题求解圆形薄盘上热传导问题5.5 贝塞尔函数应用 设有半径为设有半径为1圆形薄盘，上下两面绝热，圆形薄盘，上下两面绝热，圆盘边界上温度一直保持为零，且圆盘上初圆盘边界上温度一直保持为零，且圆盘上初始温度分布为始温度分布为 ，其中，其中r为圆盘内任一点极为圆盘内任一点极半径，求圆盘内瞬时温度分布规律。半径，求圆盘内瞬时温度分布规律。10/10/23第23页HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数令：10/10/24第24页HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数10/10/25第25页HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数 设有半径为设有半径为R圆形薄膜，圆周沿垂直于薄圆形薄膜，圆周沿垂直于薄膜所在平面自由移动，薄膜初始位移为零，初膜所在平面自由移动，薄膜初始位移为零，初始速度为，始速度为，试求该薄膜振动规律。试求该薄膜振动规律。问题归结为求解以下定解问题：问题归结为求解以下定解问题：例例2:求解圆形薄膜轴对称振动问题求解圆形薄膜轴对称振动问题10/10/26第26页HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数令令10/10/27第27页HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数从而，原问题有形式级数解从而，原问题有形式级数解10/10/28第28页HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数令令设设为为1阶贝塞尔函数非负零点，即阶贝塞尔函数非负零点，即则有则有(见课后练习见课后练习)10/10/29第29页HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数10/10/30第30页