曲面方程概念市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

一、曲面方程概念一、曲面方程概念一、曲面方程概念一、曲面方程概念二、常见二次曲面及其方程二、常见二次曲面及其方程二、常见二次曲面及其方程二、常见二次曲面及其方程三、空间曲线方程三、空间曲线方程三、空间曲线方程三、空间曲线方程四、空间曲线在坐标面上投影四、空间曲线在坐标面上投影四、空间曲线在坐标面上投影四、空间曲线在坐标面上投影第六节第六节 二次曲面与空间曲线二次曲面与空间曲线第一模块第一模块第一模块第一模块 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何第1页 若曲面若曲面 上点坐标都满足方程上点坐标都满足方程 F(x,y,z)=0(或或 z=f(x,y)，而不在曲面而不在曲面 上点坐标都不上点坐标都不满足方程满足方程 F(x,y,z)=0(或或 z=f(x,y)，则则称称方程方程 F(x,y,z)=0(或或 z=f(x,y)为为曲面曲面 方程方程.而曲面而曲面 就称为就称为方程方程 F(x,y,z)=0(或或 z=f(x,y)图形图形.一、曲面方程概念一、曲面方程概念一、曲面方程概念一、曲面方程概念第2页1.球面方程球面方程球心在球心在 M0(x0,y0,z0)，半径为半径为 R 球面方程球面方程半径为半径为 R 球面方程为球面方程为球心在原点时，球心在原点时，二、常见二次曲面及其方程二、常见二次曲面及其方程二、常见二次曲面及其方程二、常见二次曲面及其方程第3页 半径为半径为 1 球球面面.例例 1表示怎样曲面表示怎样曲面?解解原方程两边同时除以原方程两边同时除以 2，并将常数项移到等式右端，并将常数项移到等式右端，得得配方得配方得所以，所以，原方程表示球心在原方程表示球心在第4页 定定曲曲线线 C 称称为柱面为柱面准线准线.2.母线平行于坐标轴柱面方程母线平行于坐标轴柱面方程动直线动直线 L 沿给定曲线沿给定曲线 C 平行移动形成曲面，平行移动形成曲面，称为称为柱面柱面，动直线动直线 L 称为柱面称为柱面母线母线，LC 柱面形成柱面形成 第5页因为方程因为方程 f(x,y)=0 不含不含 z，所所以点以点 M(x,y,z)也满足方程也满足方程 f(x,y)=0.设设 M(x,y,z)为柱面上任一点，为柱面上任一点，过过M 作平行于作平行于 z 轴直线交轴直线交 x y 坐标面于点坐标面于点 由柱面定由柱面定义可知义可知 必在准线必在准线 C 上上.所以所以 坐标满足曲线坐标满足曲线 C 方程方程 f(x,y)=0.而不在柱面上而不在柱面上点作平行于点作平行于 z 轴直线轴直线 与与 x y 坐标面交点必不在曲线坐标面交点必不在曲线 C 上，上，也就是说不在柱面上点坐标不也就是说不在柱面上点坐标不满足方程满足方程 f(x,y)=0.所以，所以，不含变量不含变量 z 方程方程xyzOMLC 现在来建立以现在来建立以 x y 坐标面上曲线坐标面上曲线 C:f(x,y)=0 为准线，为准线，平行于平行于 z 轴直线轴直线 L 为母线为母线 柱面方程柱面方程.第6页 f(x,y)=0 在空间表示以在空间表示以 x y 坐标面上曲线为准线，坐标面上曲线为准线，平行于平行于 z 轴直线为母线柱面轴直线为母线柱面.类似地，类似地，不含变量不含变量 x 方程方程f(y,z)=0 平行于平行于 x 轴直线为母线柱面轴直线为母线柱面.在空间表示以在空间表示以 y z 坐标面上曲线为准线，坐标面上曲线为准线，而不含变量而不含变量 y 方程方程f(x,z)=0在空间表示以在空间表示以 x z 坐标面上曲线为准线，坐标面上曲线为准线，平行于平行于 y 轴直线为母线柱面轴直线为母线柱面.第7页 比如方程比如方程 在空间表示以在空间表示以 x y 坐标面坐标面上圆为准线、上圆为准线、平行于平行于z 轴直线为母线柱面轴直线为母线柱面.称为称为圆柱面圆柱面xyzO第8页 方程方程 y=x2 在空间表示以在空间表示以 x y 坐标面上抛物线坐标面上抛物线为准线、为准线、平行于平行于z 轴直线为母线柱面轴直线为母线柱面.称为称为抛物柱面抛物柱面.xyzO第9页 平行于平行于 y 轴直线为母线柱面轴直线为母线柱面,方程方程 在空间表示以在空间表示以 x z 坐标面上椭圆坐标面上椭圆为准线，为准线，称为椭称为椭圆柱面圆柱面.xyzO2第10页 绕绕 z 轴旋转所成旋转曲面轴旋转所成旋转曲面 方程方程.现在来建立现在来建立 y z 面上曲线面上曲线 C:f(y,z)=0 设设 M(x,y,z)为旋转曲为旋转曲面上任意一点，面上任意一点，过点过点 M 作平作平面垂直于面垂直于 z 轴，轴，交交 z 轴于点轴于点 P(0,0,z)，交曲线交曲线 C 于点于点M0(0,y0,z0).因为点因为点 M 可可以由点以由点 M0 绕绕 z 轴旋转得到，轴旋转得到，所以有所以有3.以坐标轴为旋转轴旋转曲面方程以坐标轴为旋转轴旋转曲面方程平面曲线平面曲线 C 绕同一平面上定直线绕同一平面上定直线 L 旋转所形旋转所形成曲面，成曲面，称为旋转曲面，称为旋转曲面，定直线定直线 L 称为旋转轴称为旋转轴.xyzOMM0PC第11页f(y0,z0)=0所以所以又因为又因为 M0 在曲线在曲线 C 上，上，将将、代入代入 f(y0,z0)=0，即得旋转曲面方程即得旋转曲面方程:同理，曲线同理，曲线 C 绕绕 y 轴旋转成曲面方程为轴旋转成曲面方程为所以所以yzOMM0PC 旋转曲面形成旋转曲面形成 第12页例例 2 将以下平面曲线绕指定坐标轴旋转，试求将以下平面曲线绕指定坐标轴旋转，试求所得旋转曲面方程所得旋转曲面方程:(1)y z 坐标面上直线坐标面上直线 z=ay(a 0)，绕绕 z 轴轴.(2)y z 坐标面上抛物线坐标面上抛物线 z=ay2(a 0)，绕绕 z 轴轴.(3)x y 坐标面上椭圆坐标面上椭圆 分别绕分别绕 x、y 轴轴.第13页解解 (1)y z 坐标面上直线坐标面上直线 z=ay(a 0)绕绕 z 轴旋转，轴旋转，故故 z 保持不变，将保持不变，将 y 换成换成则得则得第14页 即所求旋转曲面方程为即所求旋转曲面方程为表示曲面称为表示曲面称为圆锥面圆锥面，点点 O 称为圆锥顶点称为圆锥顶点.第15页 (2)y z 坐标面上抛物线坐标面上抛物线 z=ay2 绕绕 z 轴旋转所得轴旋转所得曲面方程为曲面方程为 该曲面称为该曲面称为旋转抛物面旋转抛物面.其特征是其特征是:当当 a 0 时，旋转时，旋转抛物面开口向下抛物面开口向下.普通地，普通地，所表示曲面称为所表示曲面称为椭圆抛物面。椭圆抛物面。方程方程xyzO第16页 (3)x y 坐标面上椭圆坐标面上椭圆 绕绕 x 轴旋转，轴旋转，故故 x 保持不变，保持不变，而将而将 y 换成换成 得旋转得旋转曲面方程为曲面方程为该曲面称为该曲面称为旋转椭球面旋转椭球面.类似地，该椭圆绕类似地，该椭圆绕 y 轴旋转而得旋转椭球面方轴旋转而得旋转椭球面方程为程为 第17页普通地，方程普通地，方程所表示曲面称为所表示曲面称为椭球面椭球面.其特征是其特征是:用坐标面或平用坐标面或平行于坐标面平面行于坐标面平面 x=m，y=n，z=h(a m a，b n b，c h c)截曲面所得到交线均为椭截曲面所得到交线均为椭圆圆.当当 a，b，c 中有中有 a=b 或或 b=c或或 a=c 时，时，即为旋转椭球面，即为旋转椭球面，当当 a=b=c 时，即为球面时，即为球面.xyzO第18页1.1.空间曲线普通方程空间曲线普通方程称为空间称为空间曲线普通方程曲线普通方程例例 3以下方程组表示什么曲线以下方程组表示什么曲线?三、空间曲线方程三、空间曲线方程三、空间曲线方程三、空间曲线方程第19页 z=3 是平行于是平行于 x y 坐标面平面，坐标面平面，因而它们交线是在平面因而它们交线是在平面 z=3 上圆上圆.(1)因为因为 x2+y2+z2=25 是球心在原点，是球心在原点，半径为半径为 5 球面，球面，解解xyzO第20页 因而它们交线是在因而它们交线是在 x y 坐标面上圆坐标面上圆 z=0 是是 x y 坐标面，坐标面，(2)因为第一个方程所表示球面与因为第一个方程所表示球面与(1)相同，相同，若把若把(2)写成同解方程组写成同解方程组 它表示母线平行于它表示母线平行于 z 轴圆轴圆柱面与柱面与 x y 坐标面交线坐标面交线.这这么更清楚地看出它是么更清楚地看出它是 x y 坐标坐标面上圆面上圆xyzO第21页 t 为参数为参数.2.空间曲线参数方程空间曲线参数方程空间曲线空间曲线 上动点上动点 M 坐标坐标 x，y，z 也能够用也能够用另一个变量另一个变量 t 函数来表示，函数来表示，即即形如形如上上方程组称为方程组称为曲线曲线 参数方程参数方程，第22页 则从则从 P0 到到 P 所转所转过角过角 =t，质点在质点在 P0(R,0,0)处，处，向平行于向平行于 z 轴方向上升轴方向上升.例例 4 设质点在圆柱面设质点在圆柱面 上以均匀角上以均匀角速度速度 绕绕 z 轴旋转，轴旋转，同时又以均匀线速度同时又以均匀线速度 v运动开始，即运动开始，即 t=0 时，时，求质点运动方程求质点运动方程.解解 设时间设时间 t 时，时，质质点点位位置置为为 P(x,y,z)，由由 P 作作 x y 坐标面垂线坐标面垂线垂足为垂足为 Q(x,y,0)上升高度上升高度 QP=vt，即质点运动方程为：即质点运动方程为：此方程称为此方程称为螺旋线方程螺旋线方程.zyxP0QP O第23页设设 为已知空间曲线，为已知空间曲线，则以则以 为准线，为准线，平行于平行于 z 轴直线为母线柱面，轴直线为母线柱面，称为空间曲线称为空间曲线 关于关于 x y 坐标面坐标面投影柱面投影柱面.而投影柱面与而投影柱面与 x y 坐标面交线坐标面交线 C称为曲线称为曲线 在在 x y 坐标面坐标面投影曲线投影曲线.类似地，类似地，能能够定义曲线够定义曲线 关于关于 y z 坐标面、坐标面、z x 坐标面投影柱面坐标面投影柱面及投影曲线及投影曲线.设空间曲线设空间曲线 方程为方程为消去消去 z，得，得G(x,y)=0.四、空间曲线在坐标面上投影四、空间曲线在坐标面上投影四、空间曲线在坐标面上投影四、空间曲线在坐标面上投影第24页 就就可得到可得到 关于关于 yz 坐标面坐标面 或者或者 zx 坐标面投影柱面方坐标面投影柱面方程，程，可知满足曲线可知满足曲线 方程一定满足方程方程一定满足方程 G(x,y)=0，而而 G(x,y)=0 是母线平行于是母线平行于 z 轴柱面方程，轴柱面方程，所以，柱面所以，柱面 G(x,y)=0 就是曲线就是曲线 关于关于 x y 坐标坐标面投影柱面面投影柱面.而而就是曲面就是曲面 在在 x y 坐标面上投影曲线方程坐标面上投影曲线方程.同理，同理，从曲线从曲线 方程中消去方程中消去 x 或者或者 y，从而也可得到在对应投影曲线方程从而也可得到在对应投影曲线方程.第25页得得 x2+y2 3x 5y=0，在在 x y 坐标面上坐标面上投影投影曲线曲线方程方程.例例 5求曲线求曲线解解从曲线从曲线 方程中消去方程中消去 z，即即它是曲线它是曲线 关于关于x y 坐标面投影坐标面投影柱面柱面 圆柱面方程，圆柱面方程，在在 x y 坐标面上投影曲线是圆坐标面上投影曲线是圆.空间直线在空间直线在 坐标面上投影坐标面上投影 第26页例例 6求曲线求曲线 在在 x y,y z 坐标面上投影曲线方程坐标面上投影曲线方程.解解就是就是 关于关于x y 坐标面投坐标面投影柱面方程，影柱面方程，因而曲因而曲线线 在在 x y 坐标面上投坐标面上投影曲线是圆影曲线是圆.第27页从曲线从曲线 方程中消去方程中消去 x，得到曲线得到曲线 关于关于 y z 坐标面投影柱面方程坐标面投影柱面方程所以所以 在在 y z 坐标面投影曲线是一段抛物线坐标面投影曲线是一段抛物线(0 y 8).第28页