数学物理方程与特殊函数课件市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数 课程内容课程内容三种方程、四种求解方法、二个特殊函数分离变量法、行波法、积分变换法、格林函数法波动方程、热传导、拉普拉斯方程贝赛尔函数、勒让德函数 数学物理方程定义数学物理方程定义描述某种物理现象数学微分方程。第1页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导一、一、基本方程建立基本方程建立第一章第一章 一些经典方程和一些经典方程和定解条件推导定解条件推导二、二、定解条件推导定解条件推导三、三、定解问题概念定解问题概念第2页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导一、一、基本方程建立基本方程建立条件：均匀柔软细弦，在平衡位置附近产生振幅极小 横振动。不受外力影响。例例1、弦振动、弦振动研究对象：线上某点在 t 时刻沿纵向位移。第3页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导简化假设：(2)振幅极小，张力与水平方向夹角很小。(1)弦是柔软，弦上任意一点张力沿弦切线方向。牛顿运动定律：横向：纵向：其中：第4页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导其中：其中：第5页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导一维波动方程令：-非齐次方程非齐次方程自由项-齐次方程齐次方程忽略重力作用：第6页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导从麦克斯韦方程出发：在自由空间：例例2、时变电磁场、时变电磁场第7页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导对第一方程两边取旋度，依据矢量运算：由此得：得：拉普拉斯算子：同理可得：电场三维波动方程磁场三维波动方程第8页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导例例3 3、热传导、热传导所要研究物理量：温度 依据热学中傅立叶试验定律在dt时间内从dS流入V热量为：从时刻t1到t2经过S流入V热量为 高斯公式（矢量散度体积分等于该矢量沿着该体积面积分）热传导现象：当导热介质中各点温度分布不均匀时，有热量从高温处流向低温处。热场第9页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导流入热量造成V内温度发生改变 流入热量：温度发生改变需要热量为：热传导方程热场第10页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导有界杆上热传导（杆两端绝热）第11页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导例例4 4、静电场、静电场电势u 确定所要研究物理量：依据物理规律建立微分方程：对方程进行化简：拉普拉斯方程 泊松方程 第12页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导同一类物理现象中，各个详细问题又各有其特殊性。边界条件和初始条件反应了详细问题特殊环境和历史，即个性。初始条件：能够用来说明某一详细物理现象初始状态条件。边界条件：能够用来说明某一详细物理现象边界上约束情况条件。二、定解条件推导二、定解条件推导其它条件：能够用来说明某一详细物理现象情况条件。第13页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导初始时刻温度分布：B、热传导方程初始条件C、泊松方程和拉普拉斯方程初始条件不含初始条件，只含边界条件条件A、波动方程初始条件1、初始条件、初始条件描述系统初始状态描述系统初始状态系统各点初位移系统各点初速度第14页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导(2)自由端：x=a 端既不固定，又不受位移方向力作用。2、边界条件、边界条件描述系统在边界上情况描述系统在边界上情况A、波动方程边界条件(1)固定端：对于两端固定弦横振动，其为：或：(3)弹性支承端：在x=a端受到弹性系数为k 弹簧支承。或第15页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导B、热传导方程边界条件(1)给定温度在边界上值S给定区域v 边界(2)绝热状态(3)热交换状态牛顿冷却定律：单位时间内从物体经过边界上单位面积流到周围介质热量跟物体表面和外面温差成正比。交换系数；周围介质温度第一类边界条件第二类边界条件第三类边界条件第16页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导1 1、定解问题、定解问题三、定解问题概念三、定解问题概念(1)初始问题：只有初始条件，没有边界条件定解问题；(2)边值问题：没有初始条件，只有边界条件定解问题；(3)混合问题：现有初始条件，也有边界条件定解问题。把某种物理现象满足偏微分方程和其对应定解条件结合在一起，就组成了一个定解问题。定解问题检验定解问题检验 解存在性：定解问题是否有解；解唯一性：是否只有一解；解稳定性：定解条件有微小变动时，解是否有对应 微小变动。第17页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导3 3、线性偏微分方程分类、线性偏微分方程分类 按未知函数及其导数系数是否改变分为常系数和变系数微分方程 按自由项是否为零分为齐次方程和非齐次方程2 2、微分方程普通分类、微分方程普通分类 (1)按自变量个数，分为二元和多元方程；(2)按未知函数及其导数幂次，分为线性微分方程和 非线性微分方程；(3)按方程中未知函数导数最高阶数，分为一阶、二阶 和高阶微分方程。第18页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导线性方程解含有叠加特征 4 4、叠加原理、叠加原理 几个不一样原因综合所产生效果等于这些不一样原因单独产生效果累加。(物理上)判断以下方程类型思索第19页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导5 5、微分方程解、微分方程解 古典解：假如将某个函数 u 代入偏微分方程中，能使方程成为恒等式，则这个函数就是该偏微分方程解。通解：解中含有相互独立和偏微分方程阶数相同任意常数解。特解：经过定解条件确定了解中任意常数后得到解。形式解：未经过验证解为形式解。6 6、求解方法、求解方法分离变量法、行波法、积分变换法、格林函数法第20页