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数 学 软 件 选 讲MathematicaMatlabSAS第1页第 一 篇Mathematica第2页基础知识作为一门新编程语言图形处理（二维、三维及其参数方程形式）极限、微分与积分求解方程（组）、微分方程（组）在线形代数方面应用数值处理文件及其它高级操作第3页第一章 基础知识一、Mathematica3.0 界面及运行介绍二、基本数值运算1.整数运算：加、减、乘、除、幂、阶乘2.数学常量：E、Pi、I、Degree、Infinity3.函数及数学函数4.浮点数及复数运算：N函数第4页三、变量及表示式1.变量定义及去除 变量特点(1)变量默认作用域是全局(2)全局变量不需事先定义或申明(3)尽可能防止使用下划线定义变量 2.多项式及其操作(1)定义、替换符操作第5页(2)惯用操作：Expand、Factor、Together、PartSimplify、Collect、Coefficient、Exponent四、序列及其操作1.序列定义2.序列生成：Table函数3.序列操作第6页 (1)添加删除：Append、Prepend、Insert、Delete、DeleteCases (2)取元素：Part、Take、Drop、Select (3)检测：Length、Count、Position五、表示式“头”概念：Head及Apply函数第7页六、自定义函数 1.一元函数例：Clearf,xfx_:=x2+4x-2 2.多元函数例：fx_,y_:=x2+y2-3 3.迭代函数例：fn_:=fn-1+fn-2;f0=1;f1=1;第8页1 条件语句 逻辑判断符=!=!=第二章 编程语言第9页 逻辑运算符!|&/；运算符x=a/;test仅当test为True时才执行赋值语句 If 语句语法：If test,then,else若test为 True，则执行then，若test为False，则执行else.第10页 Which 语句语法：Which test1,value1,test2,依次计算testi，给出对应第一个test为True value Switchexpr,form1,value1,form2,比较expr与formi，给出与第一个form值匹配value第11页例1.定义以下函数：使用/;定义：f x_:=0 /;x0&x2第12页 使用 If 定义：f x_:=If x2,x2,x 使用Which定义：f x_:=Which x2,x2,True,x 2 输出语句Print第13页3 循环语句 Do 语句语法：Doexpr,i,imin,imax,di计算expr，i=imin,imax，步长为di While 语句语法：Whiletest,body当test为True时，计算body第14页 For 语句语法：Forstart,test,incr,body以start为起始值，重复计算body和incr，直到test为False时为止 循环控制语句Break和ContinueBreak退出最里面循环Continue转入当前循环下一步第15页1.基本二维图形2.Plot f,x,xmin,xmax，用于绘制形如y=f(x)函数图形。3.当将多个图形绘制在同一坐标系上时，形如：Plot f1,fn,x,xmin,xmax4.注意：有时需要使用Evaluate函数。第三章 图形处理第16页例：在同一坐标系下绘出sinx,sin2x,sin3x,sin4x,sin5x图形。惯用选项：PlotStyleHuea设置线条颜色PlotRangea,b控制显示范围DisplayFunction控制图形显示AspectRatio图形宽、高比AxesOrigin设置原点坐标第17页程序：Cleara,y,xv=200;g=9.8;ya_,x_:=Tana*x-g*x2*Seca2/(2v2)PlotEvaluateTableyi,x,i,Pi/12,5Pi/12,Pi/12,x,0,4000例：有以下抛物线簇：第18页ListPlot List，用于绘制散点图。注意，List形式应为：例：在同一坐标系下绘制以下两组散点图p1=0,0,0,45,5.3,89.6,22.6,131.2;p2=0,0,2.68,44.8,12.57,88.28,27,130.3;程序：g1=ListPlotp1,PlotJoined-True,DisplayFunction-Identity;g2=ListPlotp2,PlotJoined-True,DisplayFunction-Identity;Showg1,g2,DisplayFunction-$DisplayFunction;第19页ParametricPlot fx,fy,t,tmin,tmax 用于绘制形如x=fx(t),y=fy(t)参数方程图形。例：绘制以点（3,4）为圆心，半径为2圆。ParametricPlot3+2Cost,4+2Sint,t,0,2Pi可增加以下选项：AspectRatio-1,AxesOrigin-0,0第20页2.其它二维图形 ContourPlot f,x,xmin,xmax,y,ymin,ymax，用于绘制形如z=f(x,y)函数等高线图。DensityPlot f,x,xmin,xmax,y,ymin,ymax，用于绘制形如z=f(x,y)函数密度图。例：绘制函数f=sinxsiny等高线图和密度图第21页3.三维图形 Plot3D f,x,xmin,xmax,y,ymin,ymax绘制形如Z=f(x,y)三维图形。例：绘制以下函数图形：Z=10sin(x+siny)命令：Plot3D10 Sinx+Siny,x,-10,10,y,-10,10可增加选项：PlotPoints-40第22页ParametricPlot3D fx,fy,fz,t,tmin,tmax,u,umin,umax 用于绘制形如x=fx(t),y=fy(t),z=fz(t)参数图形。第23页第24页4.利用函数包绘制特殊图形载入图形函数包方法：类名类名包名包名例：例：GraphicsGraphics PolarPlotr,t,tmin,tmax绘制极坐标图形 LogPlotf,x,xmin,xmax画对数线性图 BarChartlist画出list条形图 PieChartlist画出list百分图第25页例：例：xo 求 x 迫近 xo时expr极限一些函数在一点处极限随迫近方向不一样而不一样，可用Direction选择方向：Limitexpr,x-xo,Direction-1 左极限 Limitexpr,x-xo,Direction-1 右极限例：求1/x 左右极限例：第28页3.微分D f,x,n求f n阶偏微分 Dt f 求f 全微分例：Dxn,x,3 Dtx2+y2例：y=xarctgx，求其100阶导数及其在0 点值第29页4.积分Integrate f,x求f 不定积分Integrate f,x,xmin,xmax求 f 定积分Integrate f,x,xmin,xmax,y,ymin,ymax求 f 多重积分例：第30页第三章 线性代数1.结构矩阵和向量Table f,i,m,j,n结构mn矩阵，f 是i,j函数，给出i,j项值Array f,m,n结构mn矩阵，i,j项值是 f i,jDiagonalMatrix List生成对角线元素为List对角矩阵IdentityMatrixn结构n阶单位阵第31页2.截取矩阵块3.Mi取矩阵M第 i 行4.Map#i&,M取矩阵M第 i 列5.Mi,j 取矩阵Mi,j 位置元素6.Mi1,ir,j1,js矩阵Mrs子矩阵，元素行标为ik，列标为jk7.MRangei0,i1,Rangej0,j1 矩阵M从 i0到i1行，j0到j1列元素组成子矩阵第32页3.矩阵及向量运算M.N对M、N做矩阵乘法（向量内积）M*N将M、N对应位置元素相乘OuterTimes,M,N 求M、N外积Dimensions M 给出矩阵M维数Transpose M 转置Inverse M 求逆Det M 方阵M行列式值第33页MatrixPowerM,nn阶矩阵幂MatrixExpM矩阵指数Eigenvalues M M特征值EigenvectorsMM特征向量第34页第四章求解方程（组）、微分方程（组）1.求解多项式方程（组）Solve eqns,vars求解多项式方程Solveeqn1,eqnn,var1,varn求解多项式方程组注：Solve只能给出多项式方程（组）解，所以它们只适合用于幂次不高、规模不大多项式方程（组）。第35页NSolve eqns,vars 求多项式方程数值解NSolveeqn1,eqnn,var1,varn求多项式方程组数值解对于数值解，能够直接用NSolve求解例：求解以下方程（组）x2+ax=2x3+34x+1=0 x5-1331x+11=0第36页2.求解微分方程（组）DSolve eqns,yx,x求解yx微分方程DSolve eqns,y,x 以纯函数形式给出y解DSolveeqn1,eqn2,y1,y2,x 求解微分方程组例：求解以下微分方程（组）y=y y k y=1第37页第五章 数值处理1.数值积分NIntegrateexpr,x,xmin,xmax注意，NIntegrate直接计算数值积分，不先给出符号结果，而Integrate/N会尽可能先求准确解形式。2.数值根求解3.FindRootlhs=rhs,x,x0 以x0为初始点求方程数值解第38页FindRootlhs=rhs,x,x0,x1给出两个初值求数值根（方程符号导数无法求出时，必须使用此形式）FindRooteqn1,eqn2,x,x0,y,y0,对联立方程 eqni 求数值解例：求解以下方程（组）cosx=xx600+5x+3=0第39页3.微分方程数值解NDSolveeqn1,eqn2,y,x,xmin,xmax求函数y数值解，x范围为xmin,xmaxNDSolveeqn1,eqn2,y1,y2,x,xmin,xmax求函数yi数值解注：以上两种形式用于求解常微分方程（组）NDSolve以InterpolatingFunction目标生成函数yi解。InterpolatingFunction目标提供独立变量x在xmin到xmax范围内yi近似值。第40页例：求解以下微分方程（组）并画出函数y图形第41页NDSolveeqn1,eqn2,y,x,xmin,xmax,t,tmin,tmax 求由函数y组成偏微分方 程数值解NDSolveeqn1,eqn2,y1,y2,x,xmin,xmax,t,tmin,tmax求由函数yi构成偏微分方程组数值解 例：求下面微分方程数值解并绘图。第42页第43页4.极大极小值ConstrainedMax f,inequalities,x,y,ConstrainedMax f,inequalities,x,y,求由目标函数 f 和不等式约束inequalities组成线形规划例：ConstrainedMaxx+y,x1,y=isequal函数2逻辑运算符&|3条件语句 if-else语句 switch-case语句第56页4循环语句 for语句 while语句三、编程技巧1.调试程序2.输入输出参数nargin、nargout第57页第三章 Matlab图形处理一、二维图形 1.基本二维图形Plot使用方法以下：a.Plot(X)b.Plot(X,Y)c.Plot(X1,Y1,X2,Y2,)d.Plot(X1,Y1,LineSpec1,X2,Y2,X3,Y3,)第58页其中参数LineSpec定义线条属性。Matlab中能够对线条定义以下特征：a.线型：-(实线)-(划线):(点线)-.(点划线)b.线条宽度：LineWidthc.颜色d.标识类型e.标识大小：Markersize第59页 fPlot在指定范围limits内画出一元函数y=f(x)图形使用方法：fplot(function,limits)注意：函数function必须是一个M文件函数或者是一个包含变量 x，且能用函数eval计算字符串。例：在同一坐标系下绘制tgx和sinx图形fplot(tan(x),sin(x),-1,1,0,2*pi)注意坐标系调整函数axis作用和使用方法第60页2.图形标注title为图形添加标题xlabel为x轴加标注ylabel为y轴加标注text在指定位置上添加文本字符串gtext用鼠标在图形上放置文本legend为图形添加图例第61页3.特殊二维图形polar 画极坐标形式函数r=f()极坐标图使用方法以下：polar(theta,rho,LineSpec)例：t=0:.01:2*pi;polar(t,sin(3*t).*cos(2*t),-r)4.其它二维图形pie用x中数据画一饼形图第62页semilogxx轴对数图形loglog 双对数图形bar 用二维垂直条形显示向量或矩阵中值barh 用二维水平条形显示向量或矩阵中值hist 二维条形直方图，能够显示出数据分 配情形第63页二、三维图形 1.曲面与网格图形命令mesh生成由X，Y和Z指定网线面在使用该命令前应先用meshgrid函数生成可用 于计算函数值矩阵网格。通惯使用方法以下：X,Y=meshgrid(a)Z=f(X,Y)mesh(X,Y,Z)第64页2.三维图形其它形式contour曲面等高线图pie3三维饼图surf 在矩形区域内显示三维带阴影曲面图quiver 矢量图或速度图surfnorm 计算与显示三维曲面法线 第65页第四章 Matlab应用一、多项式运算二、极限limit(F,x,a,right)x趋向于a时F极限三、导数diff(S,v,n)第66页四、积分 1.符号积分a.不定积分 int(S,v)b.定积分 int(S,v,a,b)2.数值积分a.一元函数 quad(fun,a,b)自适应Simpson法 trapz(X,Y)梯形法第67页 b.二元函数dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax)在矩形区域xmin,xmax,ymin,ymax上计算二元函数z=f(x,y)二重积分quad2ggen(fun,xlower,xupper,ylower,yupper)在任意区域xlower,xupper,ylower,yupper上计算二元函数z=f(x,y)二重积分第68页五.插值a.interp1(X,Y,xi,method)一维数据插值b.interp2(X,Y,Z,xi,yi,method)二维数据插值例：已知19到年每隔十年数据以下：75.995 91.972 105.711 123.203 131.669 150.697179.323 203.212 226.505 249.633 256.344 267.893用插值法求1995年数据。第69页六、方程（组）求解 1.方程（组）符号解solve(eq)求方程符号解solve(eq1,eq2,eqn)求方程组符号解例：solve(x2+3x-6)solve(-x2*y+3*x-6,x+y2-1)2.方程（组）数值解fzero(fun,x0)用数值方法求方程根第70页fsolve(fun,x0)用数值方法求方程根 例：求以下方程根解：先建立方程函数文件，并保留为解：先建立方程函数文件，并保留为myfun.mfunction F=myfun(x)F=2*x(1)-x(2)-exp(-x(1);-x(1)+2*x(2)-exp(-x(2);然后调用优化程序然后调用优化程序x0=-5;-5;%初始点初始点x,fval=fsolve(myfun,x0,options)第71页七、积分变换 1.Fourier积分变换F=fourier(f)对符号单值函数 f 中缺省变量 x（由命令findsym确定）计算Fourier变换形式例：syms x w u vf=sin(x)*exp(-x2)F=fourier(f)注：用eval函数计算得出表示式f=ifourier(F)逆Fourier积分变换Y=fft(X)快速Fourier变换第72页2.Laplace变换L=laplace(F)输出参量L=L(s)为有缺省符号自变量t标量符号对象FLaplace变换例：syms x s t vf1=sqrt(t);L1=laplace(f)F=ilaplace(L)逆Laplace变换3.Z变换F=ztrans(f)对缺省自变量为n单值函数f计算z-变换第73页八、求解微分方程（组）1.常微分方程（组）符号解dsolve(eq1,eq2,)缺省独立变量为t例：dsolve(Dy=1+y2,y(0)=1)dsolve(D3u=u,u(0)=1,Du(0)=-1,D2u(0)=pi)2.常微分方程（组）数值解ode45、ode23、ode113、ode15s、ode23s、de23t、ode23tb第74页 3.偏微分方程数值解 assempde单Poission方程（一类特殊椭圆型方程），能求解方程形如：，hyperbolic仅能求解以下形式双曲型方程：，第75页 parabolic仅能求解以下形式抛物型方程：，第76页九、极值问题（优化工具箱）1.无条件极值问题fminu(fun,x0,options)2.条件极值问题constr(fun,x0,options)3.有界条件问题constr(fun,x0,options,VLB,VUB)第77页