热传导方程扩散方程省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

从不一样物理模型出发，建立数学物理中三类从不一样物理模型出发，建立数学物理中三类 经典方程经典方程依据系统边界所处物理条件和初始状态列出依据系统边界所处物理条件和初始状态列出 定解条件定解条件提出对应定解问题提出对应定解问题第一章第一章 数学建模和基本原理介绍数学建模和基本原理介绍第第1页页1.1 1.1 数学模型建立数学模型建立数学模型建立普通方法：数学模型建立普通方法：确定所研究物理量；确定所研究物理量；建立适当坐标系；建立适当坐标系；划划出出研研究究小小单单元元，依依据据物物理理定定律律和和试试验验资资料料写写出出 该该单单元元与与邻邻近近单单元元相相互互作作用用，分分析析这这种种相相互互 作作用用在在一一个个短短时时间间内内对对所所研研究究物物理理量量影影响响，表示为数学式表示为数学式;简化整理，得到方程。简化整理，得到方程。第第2页页2 热传导动方程热传导动方程第一节第一节 热传导方程导出和定解条件热传导方程导出和定解条件一、热传导方程导出：一、热传导方程导出：给定一空间内物体给定一空间内物体 ，设其上点，设其上点 在在时刻时刻 温度为温度为 。模型：模型：问题：问题：研究温度研究温度 运动规律。运动规律。第第3页页分析：（两个物理定律和一个公式）分析：（两个物理定律和一个公式）1 1、热量守恒定律、热量守恒定律:2 2、傅里叶、傅里叶（Fourier）热传导定律热传导定律:温度改温度改变吸收变吸收热量热量经过边经过边界流入界流入热量热量热源放热源放出热量出热量为热传导系数。为热传导系数。3 3、热量公式、热量公式:第第4页页任取物体任取物体 内一个由光滑闭曲面内一个由光滑闭曲面 所围成区域所围成区域 ，研究物体在该区域，研究物体在该区域 内热量改变规律。内热量改变规律。热传导方程推导：热传导方程推导：热量热量守恒守恒定律定律区域区域 内各点温度从时刻内各点温度从时刻 温度温度 改变改变为时刻为时刻 温度温度 所吸收（或放出）所吸收（或放出）热量，应热量，应等于等于从时刻从时刻 到时刻到时刻 这段时间内经这段时间内经过曲面过曲面 流入（或流出）流入（或流出）内热量和热源提内热量和热源提供（或吸收）热量之和。即供（或吸收）热量之和。即 内温度改变所需要热量内温度改变所需要热量 =经过曲面经过曲面 流流入入 内内热量热量 +热源提供热量热源提供热量 下面分别计算这些热量下面分别计算这些热量第第5页页（1）内温度改变所需要能量内温度改变所需要能量那么包含点那么包含点 体积微元体积微元 温度从温度从 变为变为 所需要热量为所需要热量为 设物体设物体比热（单位质量物体温度改变比热（单位质量物体温度改变所需要热量为所需要热量为密度为密度为 整个整个 内温度改变所需要能量内温度改变所需要能量第第6页页（2）经过曲面）经过曲面 进入进入 内热量内热量由傅里叶热传导定律，从由傅里叶热传导定律，从 到到 这段时间内经过这段时间内经过 进入进入 内热量为内热量为由高斯公式由高斯公式知知第第7页页（3）热源提供热量）热源提供热量用用 表示热源强度，即单位时间内从单位表示热源强度，即单位时间内从单位体积内放出热量，则从体积内放出热量，则从 到到 这段时间内这段时间内 内热源内热源所提供热量为所提供热量为由热量守恒定律得：由热量守恒定律得：由由 及及 任意性知任意性知第第8页页三维无热源热传导方程：三维无热源热传导方程：三维有热源热传导方程：三维有热源热传导方程：（均匀且各向同性物体，均匀且各向同性物体，即即 都为常数物体）都为常数物体）其中其中称为非齐次项（自由项）。称为非齐次项（自由项）。通常称（通常称（1.5）为）为非齐次热传导方程非齐次热传导方程，而称（，而称（1.6）为）为齐次热传导方程齐次热传导方程。第第9页页二、定解条件（初始条件和边界条件）二、定解条件（初始条件和边界条件）初始条件：初始条件：边界条件：边界条件：1 1、第一边界条件、第一边界条件（Dirichlet 边界条件）边界条件）尤其地：尤其地：时，物体表面保持恒温。时，物体表面保持恒温。第第10页页2 2、第二边界条件、第二边界条件（Neumann 边界条件）边界条件）尤其地：尤其地：时，表示物体绝热。时，表示物体绝热。3 3、第三边界条件、第三边界条件(D-N 混合边界条件混合边界条件)其中：其中：表示表示 沿边界沿边界 上单位外法线方向上单位外法线方向 方向导数方向导数注：注：第第11页页注意第三边界条件推导：注意第三边界条件推导：研究物体与周围介质在物体表面上热交换问题研究物体与周围介质在物体表面上热交换问题 把一个温度改变规律为把一个温度改变规律为 物体放入物体放入 空气空气介质中，已知与物体表面接触处空气介质温度为介质中，已知与物体表面接触处空气介质温度为 ，它与物体表面温度，它与物体表面温度 并不相同。这给出了第并不相同。这给出了第三边界条件提法。三边界条件提法。热传导热传导试验定试验定律或牛律或牛顿定律顿定律从物体流到介质中热量和二者温差成正比从物体流到介质中热量和二者温差成正比：其中百分比常数其中百分比常数 称为称为热交换系数热交换系数第第12页页流过物体表面流过物体表面 流量能够从物质内部（傅里叶定流量能够从物质内部（傅里叶定律）和外部介质（牛顿定律）两个方面来确定：律）和外部介质（牛顿定律）两个方面来确定：或或即得到（即得到（1.10）：）：第第13页页例例 长为长为l 均匀杆，两端有恒定均匀杆，两端有恒定热热流流进进入，其入，其强强度度为为，写出，写出这这个个热传导问题边热传导问题边界条件。界条件。在边界上有：在边界上有：若端点是绝热，则解：x=l处：xq0q0nnx=0处：第第14页页三、定解问题三、定解问题定义定义1 在区域在区域上，由偏微分方程、初上，由偏微分方程、初始条件和边界条件中其中之一组成定解问题称为始条件和边界条件中其中之一组成定解问题称为初边初边值问题或混合问题值问题或混合问题。比如三维热传导方程第一初边值问题为：比如三维热传导方程第一初边值问题为：第第15页页始条件组成定解问题称为始条件组成定解问题称为初值问题或柯西问题初值问题或柯西问题。比如三维热传导方程初值问题为：比如三维热传导方程初值问题为：定义定义2 在区域在区域上，由偏微分方程和初上，由偏微分方程和初第第16页页2 2、上述边界条件形式上与波动方程边界条件一上述边界条件形式上与波动方程边界条件一样，但表示物理意义不一样；样，但表示物理意义不一样；3 3、热传导方程初始条件只有一个，而波动方程热传导方程初始条件只有一个，而波动方程有两个初始条件。有两个初始条件。1 1、热传导、热传导方程不但仅描述热传导现象，也能够方程不但仅描述热传导现象，也能够刻画分子、气体扩散等，也称扩散方程；刻画分子、气体扩散等，也称扩散方程；注注4 4、除了三维热传导方程外，物理上，除了三维热传导方程外，物理上，温度分布温度分布在同一个界面上是相同在同一个界面上是相同，可得，可得一维热传导方程：一维热传导方程：而对于薄片热传导，而对于薄片热传导，可得可得二维热传导方程：二维热传导方程：第第17页页3 3 拉普拉斯方程拉普拉斯方程当我们研究物理中各类现象，如振动、热传导、当我们研究物理中各类现象，如振动、热传导、扩散等扩散等稳定稳定过程时，因为表示该物理过程物理量过程时，因为表示该物理过程物理量 不随时间改变而改变，所以不随时间改变而改变，所以 .假如我们考虑是一个稳定热场，则能够得到不随假如我们考虑是一个稳定热场，则能够得到不随时间改变而改变温度时间改变而改变温度 所满足方程：所满足方程：方程方程(*)(*)称为三维称为三维拉普拉斯拉普拉斯(Laplace)(Laplace)方程方程或者或者调和方程调和方程，它通常表示成为，它通常表示成为 或者或者 形式。形式。第第18页页拉普拉斯方程和泊松方程不但描述稳定状态下温拉普拉斯方程和泊松方程不但描述稳定状态下温度分布规律，而且也描述稳定浓度分布及静度分布规律，而且也描述稳定浓度分布及静电场电位分布等物理现象。电场电位分布等物理现象。其中其中假如我们考虑有源稳定热场，则能够得到方程：假如我们考虑有源稳定热场，则能够得到方程：非齐次方程非齐次方程 通常叫做通常叫做泊松泊松(Poisson)(Poisson)方程方程，记作，记作或者或者第第19页页1 1、DilichletDilichlet问题。问题。2 2、NeumannNeumann问题。问题。2 2、NeumannNeumann问题。问题。3 3、第三边值问题。第三边值问题。第第20页页波动方程（双曲型）波动方程（双曲型）声波、电磁波、杆振声波、电磁波、杆振 动；动；热传导方程（抛物型）热传导方程（抛物型）热传导，物质扩散时热传导，物质扩散时 浓度改变规律浓度改变规律,土壤力学土壤力学 中渗透方程中渗透方程;LaplaceLaplace方程方程 （椭圆型）（椭圆型）稳定浓度分布稳定浓度分布,静电场电位静电场电位,流体势。流体势。总总 结：结：第第21页页1.3 1.3 定解问题提法定解问题提法初始条件和边界条件通称为初始条件和边界条件通称为定解条件定解条件。定解问题定解问题是指泛定方程和对应定解条件结合体。是指泛定方程和对应定解条件结合体。泛定方程和对应初始条件组成定解问题称为泛定方程和对应初始条件组成定解问题称为初值问初值问题题或者或者柯西柯西(Cauchy)(Cauchy)问题问题。第第22页页波方程Cauchy问题由泛定方程和对应边界条件组成定解问题称为由泛定方程和对应边界条件组成定解问题称为边边值问题。值问题。Laplace方程边值问题第第23页页由偏微分方程和对应初始条件及边界条件组成定由偏微分方程和对应初始条件及边界条件组成定解问题称为解问题称为混合问题混合问题。热传导方程混合问题热传导方程混合问题第第24页页例例 设弦两端固定于设弦两端固定于x=0 和和x=l，弦初始位移以下，弦初始位移以下列图，初速度为零，求弦满足定解问题。列图，初速度为零，求弦满足定解问题。解：解：第第25页页一个定解问题一个定解问题适定性适定性(Well-posedness)(Well-posedness)包含以下包含以下几个方面：几个方面：1 1）解）解存在性存在性，即所提定解问题是否有解；，即所提定解问题是否有解；3 3）解）解稳定性稳定性，即看定解问题解是否连续依赖定解，即看定解问题解是否连续依赖定解条件。也就是说，当定解条件有微小变动时，引发条件。也就是说，当定解条件有微小变动时，引发解变动是否足够小。若是，则称解是稳定，不然称解变动是否足够小。若是，则称解是稳定，不然称解是不稳定。解是不稳定。2 2）解）解唯一性唯一性，即所提定解问题是否有唯一解；，即所提定解问题是否有唯一解；第第26页页数理方程一些基本概念数理方程一些基本概念(1)偏微分方程偏微分方程 含有未知多元函数及其偏导数方程，如含有未知多元函数及其偏导数方程，如其中其中是未知多元函数，是未知多元函数，而而 是未知是未知变变量；量；为为偏偏导导数数.有有时为时为了了书书写方便，通常记写方便，通常记第第27页页(2)方程阶方程阶 偏微分方程中未知函数偏导数最高阶数称为方偏微分方程中未知函数偏导数最高阶数称为方程阶程阶(3)方程次数方程次数 偏微分方程中最高阶偏导数幂次数称为偏微偏微分方程中最高阶偏导数幂次数称为偏微分方程次数分方程次数(4)线性方程线性方程 一个偏微分方程对未知函数和未知函数全部一个偏微分方程对未知函数和未知函数全部（组合）偏导数（组合）偏导数幂次数幂次数都是一次，就称为线性方程，高于一都是一次，就称为线性方程，高于一次以上方程称为非线性方程次以上方程称为非线性方程第第28页页(5)准线性方程准线性方程 一个偏微分方程，假如仅对方程中全部最一个偏微分方程，假如仅对方程中全部最高阶偏导数是线性，则称方程为准线性方程高阶偏导数是线性，则称方程为准线性方程(6)自由项自由项 在偏微分方程中，不含有未知函数及其偏导数在偏微分方程中，不含有未知函数及其偏导数项称为自由项项称为自由项第第29页页5 5、微分方程解、微分方程解 古典解：假如将某个函数 u 代入偏微分方程中，能使方程成为恒等式，且方程中出现偏导数都连续，则这个连续函数就是该偏微分方程古典解。通解：解中含有相互独立和偏微分方程阶数相同任意常数解。特解：经过定解条件确定了解中任意常数后得到解。形式解：未经过严格数学理论验证解为形式解。6 6、求解方法、求解方法分离变量法、特征线法、格林函数法第第30页页例例2.1 设 在直线R上含有二阶连续导数，验证 在 平面上都是 古典解.解解 直接计算可得 代，到方程中即得结论成立.类似可证也是方程古典解.第第31页页第第32页页(4)按未知函数及其导数系数是否改变分为常系数和变按未知函数及其导数系数是否改变分为常系数和变系数微分方程系数微分方程；(5)按自由项是否为零分为按自由项是否为零分为齐次方程齐次方程和和非齐次方程非齐次方程3 3、微分方程普通分类、微分方程普通分类 (1)按自变量个数，分为二元和多元方程按自变量个数，分为二元和多元方程；(2)按未知函数及其导数幂次，分为线性微分方程和按未知函数及其导数幂次，分为线性微分方程和 非线性微分方程非线性微分方程；(3)按方程中未知函数导数最高阶数，分为一阶、二阶按方程中未知函数导数最高阶数，分为一阶、二阶 和高阶微分方程和高阶微分方程；第第33页页判断以下方程类型思索第第34页页第第35页页普通二阶线性偏微分方程（n个自变量）两个自变量二阶线性偏微分方程普通形式 线性方程叠加原理线性方程叠加原理第第36页页称形如符号为微分算子。第第37页页二阶偏微分方程可简写为定解条件定解条件可简写为可简写为第第38页页 几个不一样原因综合所产生效果等于这些不一样原因单独产生效果累加。(物理上)第第39页页线性方程解含有叠加特征 4 4、叠加原理、叠加原理 叠加原理叠加原理物理意义物理意义：几个不一：几个不一样原因综合所产生效果等于这样原因综合所产生效果等于这些不一样原因单独产生效果累些不一样原因单独产生效果累加。加。（以热传导方程为例）（以热传导方程为例）叠加原理叠加原理I设设是下面方程解：是下面方程解：在在G内收敛而且对内收敛而且对t可逐项求导一次，对可逐项求导一次，对x可逐项求可逐项求导两次，则和函数在导两次，则和函数在G内依然是（内依然是（1 1）解）解.若级数若级数 也就是说，假如也就是说，假如 是（是（1 1）解，则其无限线性组合也是解。解，则其无限线性组合也是解。第第40页页叠加原理II第第41页页叠加原理III 设设是下面方程解：是下面方程解：若若在积分号下对在积分号下对 t 求导一次，对求导一次，对 x 可求导两次，则可求导两次，则在在G上是以下方程解：上是以下方程解：第第42页页叠加原理IV第第43页页第第44页页例 非齐次波动方程Cauchy问题解等于问题(I)和问题(II)解之和第第45页页