热传导方程省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

HUST HUST 应用偏微分方程应用偏微分方程第第4 4章章 热传导方程热传导方程4.1 4.1 一维初值问题一维初值问题第四章第四章 热传导方程热传导方程4.1.1 无限长杆上初值问题傅里叶变换法例1 解定解问题解：利用傅立叶变换性质10/10/1第1页HUST HUST 应用偏微分方程应用偏微分方程第第4 4章章 热传导方程热传导方程例2 解定解问题解：对x求傅氏变换对t求拉氏变换10/10/2第2页HUST HUST 应用偏微分方程应用偏微分方程第第4 4章章 热传导方程热传导方程10/10/3第3页HUST HUST 应用偏微分方程应用偏微分方程第第4 4章章 热传导方程热传导方程例1 解定解问题解：对t求拉氏变换4.1.2 半无限长杆上初值问题拉普拉斯变换法10/10/4第4页HUST HUST 应用偏微分方程应用偏微分方程第第4 4章章 热传导方程热传导方程4.2.1 无热源有限长杆上初边值问题分离变量法令代入方程：解：4.2 4.2 一维初边值问题一维初边值问题10/10/5第5页HUST HUST 应用偏微分方程应用偏微分方程第第4 4章章 热传导方程热传导方程由例由例4知，以上特征值问题特知，以上特征值问题特征值和特征函数分别为征值和特征函数分别为满足方程满足方程于是得到一系列分离变量形式于是得到一系列分离变量形式特解特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程叠加原理，设原问题解为性方程叠加原理，设原问题解为故原问题形式级数解为故原问题形式级数解为10/10/6第6页HUST HUST 应用偏微分方程应用偏微分方程第第4 4章章 热传导方程热传导方程分离变量流程图10/10/7第7页HUST HUST 应用偏微分方程应用偏微分方程第第4 4章章 热传导方程热传导方程令代入方程：令例2 求以下定解问题解：由例由例1中方法知，以上特征值问题特中方法知，以上特征值问题特征值和特征函数分别为征值和特征函数分别为10/10/8第8页HUST HUST 应用偏微分方程应用偏微分方程第第4 4章章 热传导方程热传导方程于是得到一系列分离于是得到一系列分离变量形式特解变量形式特解这些特解满足方程和齐次边界条件，这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程叠加但不满足初始条件。由线性方程叠加原理，设原问题解为原理，设原问题解为10/10/9第9页HUST HUST 应用偏微分方程应用偏微分方程第第4 4章章 热传导方程热传导方程例3 求以下定解问题解：令10/10/10第10页HUST HUST 应用偏微分方程应用偏微分方程第第4 4章章 热传导方程热传导方程于是得到一系列分离变量形式特解于是得到一系列分离变量形式特解10/10/11第11页HUST HUST 应用偏微分方程应用偏微分方程第第4 4章章 热传导方程热传导方程若 ，则u为多少？为何会出现这么现象？思索这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程叠加原理，设原问题解为性方程叠加原理，设原问题解为若10/10/12第12页HUST HUST 应用偏微分方程应用偏微分方程第第4 4章章 热传导方程热传导方程例4 求以下热传导方程定解问题解法一：令10/10/13第13页HUST HUST 应用偏微分方程应用偏微分方程第第4 4章章 热传导方程热传导方程解法二：令由例由例1中方法知，以上特征值问题中方法知，以上特征值问题特征值和特征函数分别为特征值和特征函数分别为10/10/14第14页HUST HUST 应用偏微分方程应用偏微分方程第第4 4章章 热传导方程热传导方程于是得到一系列分离变量形式特解于是得到一系列分离变量形式特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程叠加原理，设原问题解为性方程叠加原理，设原问题解为10/10/15第15页HUST HUST 应用偏微分方程应用偏微分方程第第4 4章章 热传导方程热传导方程例1 求以下定解问题解：先考虑对应齐次问题其特征值和特征函数为其特征值和特征函数为由分离变量法可得由分离变量法可得特征值问题特征值问题4.2.2 有热源有限长杆上初边值问题特征函数展开法10/10/16第16页HUST HUST 应用偏微分方程应用偏微分方程第第4 4章章 热传导方程热传导方程10/10/17第17页HUST HUST 应用偏微分方程应用偏微分方程第第4 4章章 热传导方程热传导方程4.2.3 含有非含有非齐次边界条件齐次边界条件热传导问题热传导问题解：令能够用分离变量法求解以上问题。能够用分离变量法求解以上问题。10/10/18第18页HUST HUST 应用偏微分方程应用偏微分方程第第4 4章章 热传导方程热传导方程求定解问题解：令能够用分离变量法求解以上问题。能够用分离变量法求解以上问题。10/10/19第19页HUST HUST 应用偏微分方程应用偏微分方程第第4 4章章 热传导方程热传导方程求定解问题解：令10/10/20第20页HUST HUST 应用偏微分方程应用偏微分方程第第4 4章章 热传导方程热传导方程例例1 求解以下二维热传导方程定解问题求解以下二维热传导方程定解问题解：由例由例1中方法知，以上特征值问题中方法知，以上特征值问题特征值和特征函数分别为特征值和特征函数分别为4.3.1 矩形域上热传导问题矩形域上热传导问题4.3 高维初边值问题10/10/21第21页HUST HUST 应用偏微分方程应用偏微分方程第第4 4章章 热传导方程热传导方程于是得到一系列分离变量形式特解于是得到一系列分离变量形式特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程叠加原理，设原问题解为性方程叠加原理，设原问题解为10/10/22第22页HUST HUST 应用偏微分方程应用偏微分方程第第4 4章章 热传导方程热传导方程 设有半径为设有半径为R圆形薄盘，上下两面绝热，圆形薄盘，上下两面绝热，圆盘边界上温度一直保持为零，且圆盘上初圆盘边界上温度一直保持为零，且圆盘上初始温度已知，求圆盘内瞬时温度分布规律。始温度已知，求圆盘内瞬时温度分布规律。问题归结为求解以下定解问题：问题归结为求解以下定解问题：4.3.2 圆形薄盘上热传导问题圆形薄盘上热传导问题10/10/23第23页HUST HUST 应用偏微分方程应用偏微分方程第第4 4章章 热传导方程热传导方程令：令：10/10/24第24页HUST HUST 应用偏微分方程应用偏微分方程第第4 4章章 热传导方程热传导方程n阶贝塞尔方程阶贝塞尔方程 周期特征值问题周期特征值问题 特征值和特征函数分别为特征值和特征函数分别为 令令 10/10/25第25页HUST HUST 应用偏微分方程应用偏微分方程第第4 4章章 热传导方程热传导方程4.3.3 圆形薄盘上轴对称热传导问题圆形薄盘上轴对称热传导问题 设有半径为设有半径为1圆形薄盘，上下两面绝热，圆形薄盘，上下两面绝热，圆盘边界上温度一直保持为零，且圆盘上初圆盘边界上温度一直保持为零，且圆盘上初始温度分布为始温度分布为 ，其中，其中r为圆盘内任一点极为圆盘内任一点极半径，求圆盘内瞬时温度分布规律。半径，求圆盘内瞬时温度分布规律。10/10/26第26页HUST HUST 应用偏微分方程应用偏微分方程第第4 4章章 热传导方程热传导方程令：10/10/27第27页