1、第五节第五节 曲面及其方程曲面及其方程一、曲面方程概念二、旋转曲面三、柱面与二次曲面四、小结第1页水桶表面、台灯罩子面等水桶表面、台灯罩子面等曲面在空间解析几何中被看成是点几何轨迹曲面在空间解析几何中被看成是点几何轨迹曲面方程定义：曲面方程定义：曲面实例：曲面实例：一、曲面方程概念第2页1 1、平面、平面第3页例例2.研究方程解解:配方得此方程表示:说明说明:以下形式三元二次方程(A 0)都可经过配方研究它图形.其图形可能是曲面.表示怎样半径为球面球面.球心为 一个球面球面,或点点,或虚轨迹虚轨迹.2.2.球面球面第4页引例引例.分析方程表示怎样曲面.坐标也满足方程解解:在 xoy 面上，表示
2、圆C,沿曲线C平行于 z 轴一切直线所形成曲面称为圆圆故在空间过此点作柱面柱面.对任意 z,平行 z 轴直线 l,表示圆柱面圆柱面在圆C上任取一点 其上全部点坐标都满足此方程,3 3、柱面与旋转曲面、柱面与旋转曲面 第5页定义定义.平行定直线并沿定曲线 C 移动直线 l 形成轨迹叫做柱面柱面.C 叫做准线准线,l 叫做母线母线.（1 1）柱面）柱面1、母线母线l一定是直线一定是直线.且且母线母线l与与准线准线C垂直垂直2、特殊柱面：特殊柱面：1）平面：母线与准线皆是直线）平面：母线与准线皆是直线z 轴平面平面.例例3表示母线平行于(且 z 轴在平面上)第6页2）母线）母线l平行于坐标轴柱面方程
3、平行于坐标轴柱面方程平行于 z 轴;柱面,准线 xoy 面上曲线 l1.母线例例4 表示抛物柱面抛物柱面,母线平行于 z 轴;准线为xoy 面上抛物线.z 轴椭圆柱面椭圆柱面.例例5表示母线平行于第7页柱面柱面,柱面柱面,平行于平行于 x 轴轴;平行于平行于 y 轴轴;准线准线 xoz 面上曲线面上曲线 l3.母线母线准线准线 yoz 面上曲线面上曲线 l2.母线母线类似地，类似地，第8页斜率为1直线平面解析几何中空间解析几何中方 程y 轴yoz 面平行于 z 轴平面思索：思索：指出以下方程图形:圆心在(0,0)半径为 10 圆以 z 轴为中心轴圆柱面圆柱面第9页定义定义2.一条平面曲线（2
4、2）旋转曲面）旋转曲面 绕其平面上一条定直线定直线旋转一周所形成曲面叫做旋转曲面旋转曲面.该定直线称为旋转旋转轴轴 .比如比如:第10页我们这里只讨论我们这里只讨论坐标面上曲线坐标面上曲线绕绕坐标轴旋转坐标轴旋转旋转曲面旋转曲面方程方程:例例6 6 建立建立yoz面面上曲线上曲线C 绕绕 z 轴轴旋转所成曲面旋转所成曲面方程方程:故旋转曲面方程为故旋转曲面方程为当绕当绕 z 轴旋转时轴旋转时,若点若点给定给定 yoz 面上曲线面上曲线 C:则有则有则有则有该点转到该点转到第11页例例7.试建立顶点在原点,旋转轴为z 轴,半顶角为圆锥面方程圆锥面方程.解解:在yoz面上直线L 方程为绕z 轴旋转
5、时,圆锥面方程为两边平方第12页思索：思索：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程怎样？第13页例例8.求坐标面 xoz 上双曲线分别绕 x轴和 z 轴旋转一周所生成旋转曲面方程.解解:绕 x 轴旋转绕 z 轴旋转这两种曲面都叫做旋转双曲面旋转双曲面.所成曲面方程为所成曲面方程为第14页4 4、二次曲面、二次曲面三元二次方程 适当选取直角坐标系可得它们标准方程,下面仅 就几个常见标准型特点进行介绍.研究二次曲面特征基本方法:截痕法截痕法 其基本类型有:椭球面、抛物面、双曲面、锥面椭球面、抛物面、双曲面、锥面图形通常为二次曲面二次曲面.(二次项系数不全为 0)第15页第16页1 1）椭球面椭球面(1
6、)范围：(2)与坐标面交线：椭圆第17页与交线为椭圆：(4)当 ab 时为旋转椭球面;一样截痕及也为椭圆.当abc 时为球面.(3)截痕:为正数)第18页2）抛物面抛物面(1)椭圆抛物面(2)双曲抛物面（马鞍面）第19页3）双曲面双曲面(1)(1)单叶双曲面单叶双曲面椭圆.时,截痕为(实轴平行于x 轴；虚轴平行于z 轴）平面 上截痕情况:双曲线:第20页虚轴平行于x 轴）时,截痕为时,截痕为(实轴平行于z 轴;相交直线:双曲线:第21页(2)双叶双曲面双叶双曲面双曲线椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面区分:双曲线单叶双曲面双叶双曲面图形图形第22页4）椭圆锥面椭圆锥面椭圆在平面 x0 或 y0 上
7、截痕为过原点两直线.能够证实,椭圆上任一点与原点连线均在曲面上.(椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向伸缩变换第23页第四节 空间曲线及其方程一、空间曲线普通方程二、空间曲线参数方程三、空间曲线在坐标面上投影四、小结 练习题第24页空间曲线普通方程空间曲线普通方程 曲线上点都满足方曲线上点都满足方程，满足方程点都在曲线程，满足方程点都在曲线上，不在曲线上点不能同上，不在曲线上点不能同时满足两个方程时满足两个方程.空间曲线空间曲线C可看作空间两曲面交线可看作空间两曲面交线.特点特点：一、空间曲线普通方程第25页例例1 1 方程组方程组 表示怎样曲线？表示怎样曲线？解解表示圆柱面，表示圆柱面，
8、表示平面，表示平面，交线为椭圆交线为椭圆.第26页例例2 2 方程组方程组 表示怎样曲线？表示怎样曲线？解解上半球面上半球面,圆柱面圆柱面,交线如图交线如图.第27页空间曲线参数方程空间曲线参数方程二、空间曲线参数方程第28页 动点从动点从A点出发点出发，经过，经过t时间，运动到时间，运动到M点点 螺旋线参数方程螺旋线参数方程取时间取时间t为参数，为参数，解解第29页螺旋线参数方程还能够写为螺旋线参数方程还能够写为螺旋线主要螺旋线主要性质性质：上升高度与转过角度成正比上升高度与转过角度成正比即即上升高度上升高度螺距螺距第30页如图如图:投影曲线研究过程投影曲线研究过程.空间曲线空间曲线投影曲线
9、投影曲线投影柱面投影柱面第31页消去变量消去变量z后得：后得：曲线关于曲线关于 投影柱面投影柱面设空间曲线普通方程：设空间曲线普通方程：以此空间曲线为准线，垂直于所投影坐标面以此空间曲线为准线，垂直于所投影坐标面.投影柱面投影柱面特征特征：三、空间曲线在坐标面上投影第32页类似地：可定义空间曲线在其它坐标面上投影类似地：可定义空间曲线在其它坐标面上投影面上面上投影曲线投影曲线,面上面上投影曲线投影曲线,空间曲线在空间曲线在 面上面上投影曲线投影曲线第33页例例4 4 求曲线求曲线 在坐标面上投影在坐标面上投影.解解（1）消去变量）消去变量z后得后得在在 面上投影为面上投影为第34页所以在所以在 面上投影为线段面上投影为线段.（3）同理在）同理在 面上投影也为线段面上投影也为线段.（2）因为曲线在平面）因为曲线在平面 上，上，第35页截线方程为截线方程为解解如图如图,第36页第37页补充补充:空间立体或曲面在坐标面上投影空间立体或曲面在坐标面上投影.空间立体空间立体曲面曲面第38页例例6解解半球面和锥面交线为半球面和锥面交线为第39页一个圆一个圆,第40页空间曲线普通方程、参数方程空间曲线普通方程、参数方程四、小结空间曲线在坐标面上投影空间曲线在坐标面上投影第41页
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