广州大学数学分析3第一学期试卷A.doc

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A卷
广州大学2005-2006 学年第一学期试卷
课程 数学分析 考试形式（闭卷，考试）
数信学院数学系 04级 ①②③④⑤⑥班 学号 姓名
题 号
一
二
三
四
五
总 分
评卷人
分 数
10
10
36
14
30
100

评 分

一、填 空 题 10分 （2分 / 题）
1.将函数展开为麦克劳林级数______________________ 。
2.将f ( x ) = [ x ] 在( - π,π )上展开的傅里叶级数在0点处收敛于_______________ 。
3.方程 sin ( ) + + arctany = 1 在( 0 , 0 )点附近可以确定的隐函数关系为 __________________________。
4. F( x ) = , 则 =___________________ 。( x > 0 )
5、= _________________ 。(其中L：)

二、单项选择题 （2分/题 ，共10分）
1、幂级数的收敛半径与收敛域为___________ 。
A、 2 ，[ - 2 , 2 ] ； B、 2 ，( - 2 , 2 ) ；
C、 , ( - , ) ； D、， [ - , ] ；

2、f ( x ) = 在( 0 , 0 )点先x后y与先y后x累次极限及重极限分别为________ 。

A、1 , 1 , 1； B、1 , 1 , 0；
C、- 1 , 1 , 0； D、- 1 , 1 , 不存在。
3.f为连续函数,交换积分次序: ________。
A、； B、；
C、； D、。
4、f在D : 上连续,则在极坐标变换下 。
A、； B、；
C、 ； D、。
5、f ( x , y ) 在光滑有向曲面S上连续,S 为S的反向曲面, D为S在X O Y面上投影,则下列叙述正确的是 。
A、；
B、
C、若f ( x , y )非负,则
D、,使 ,为S的面积 。

三、计算题（共36分，每小题均为6分）
1、求由方程 确定的隐函数的微分 ( 其中f 有连续偏导数 )。

2、 ，其中 为抛物线 一段 ， A ( 1 ， 1 )，
O ( 0 ， 0 ) 。

3 、 ， 其中D 由 与 围成 。

4 、 已知 ， 求 导数 。

5 、 。

6、 验证 ： 为全微分式并求其原函数 。

四、应用题 ( 共 14 分 )
1. 拟在地面设立监测点 对神州号飞船运行轨道上某一定点 实施监控。要求 到 的距离为 到地面上的点的距离为最短。设地面为光滑曲面 F ( x , y , z ) = 0 ； ( 1 ) 指出直线 与曲面 F ( x , y , z ) = 0的关系； ( 2 ) 证明 ( 1 ) 的结论 ( 由实际知 点必存在 )。 （8 分）

2. 求由直线 , 围成平行四边形面积 (其中 ) 。 ( 6 分 )

五、证明题 （4小题，共30分）
1、 f ( x , y ) = ｛
证明： ( 1 ) f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 连续； ( 2 ) f ( x , y ) 在 点( 0 , 0 ) 存在偏导数； ( 3 ) f ( x , y ) 在 点( 0 , 0 ) 不可微。 ( 10 分 )

2、 证明 : 含参量反常积分 在 ( 1 , ) 上一致收 敛 。 ( 6 分 )

3、 证明： 其中L为任一光滑不经过原点的简单封闭曲线 ,方向取正向。D为L围成的区域。 ( 8分 )

4、 若f ( u ) 有连续导数，证明：
其中S为任一光滑的双侧封闭曲面。 ( 6 分 )