纵然图形多变幻 执面索点得截线.pdf

2024 年第 2 期(上半月刊)中学数学研究41纵然图形多变幻 执面索点得截线福建省福清第三中学(350315)何文昌何 灯摘要 本文从一道多面体截面问题的代数解法和几何解法出发,比较几种解法,并提炼截面问题的求解策略,再用策略解决不同情境的截面问题,阐述求解策略中的核心素养成分.关键词 多面体;截面;作图;截线;延展;坐标;基底近年来,多面体的截面问题是高考和省市质检的热点问题,主要考查截面的作图,截面形状的判断,截面周长或面积,与截面有关的角、距离、位置关系等问题1.这类问题对空间想象、逻辑推理和运算求解能力的要求较高,给学生的解答带来较大的困难,学生往往无从下手.这类问题的难点是如何作出截面.本文以 2023 年广东省佛山二模第 20 题为例,就多面体截面问题求解策略作一探析,与读者交流.一、试题呈现中国正在由“制造大国”向“制造强国”迈进,企业不仅仅需要大批技术过硬的技术工人,更需要努力培育工人们执着专注、精益求精、一丝不苟、追求卓越的工匠精神,这是传承工艺、革新技术的重要图 1基石.如图 1 所示的一块木料中,ABCD 是正方形,PA 平面 ABCD,PA=AB=2,点 E,F 是 PC,AD 的中点.(1)若要经过点 E 和棱 AB 将木料锯开,在木料表面应该怎样画线,说明理由并计算截面周长;(2)若要经过点 B,E,F 将木料锯开,在木料表面应该怎样画线,请说明理由.本题源于 2019 年人教 A 版高中数学教材必修二 第138 页木料画线问题.本题内涵丰富,新颖独特,解题入口宽,第二问解法多样,考查多面体和截面、线面平行性质定理、四个基本事实和推论等知识;考查空间想象、逻辑推理和运算求解能力;考查数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养;体现基础性、综合性与创新性.二、解法剖析(1)(几何法作平行线)如图 2,因为 AB/CD,AB 平面 PCD,CD 平面PCD,所以 AB/平面 PCD,又 AB 平面 ABE,设平面 ABE 平面 PCD=l,则 AB/l,又 AB/CD,由基本事实 4 得 CD/l.设 l PD=K,则 KP=KD,连接AK,EK,AK 就是应画的线.截面是四边形 ABEK,周长为2+3+3(过程略);图 2图 3评注上述解法由线面平行的性质定理得到 AB/l,通过作出平行线延展平面,从而确定截面.即(4d m)26 0,从而4dm=0,即d=m4;当2 0即n m24时,m 12n 3m246 d 6m+12n 3m24.综上,当 n m24时,d m 12n 3m24,m+12n 3m24.解法 2 因为 a2+b2+c2(a+b+c)23,a2+b2+c2=n d2,a+b+c=m d,所以 n d2(m d)23,整理得4d2 2md+m2 3n 6 0,下同解法 1.变式 2已知实数 a,b,c,d 满足:a+b+c+d=m,a2+b2+c2+d2=m24,求 abcd 的值.解析由变式 1 知 d=m4,同理可得 a=m4,b=m4,c=m4,从而 abcd=(m4)4=m4256.参考文献1 张云华.数学问题 614J.数学通讯(上半月刊),2023(06):66.2 波利亚.怎样解题:数学思维的新方法 M.上海:上海科技教育出版社,2018.42中学数学研究2024 年第 2 期(上半月刊)(2)解法一(代数法坐标法)如图 3,建立空间直角坐标系,则平面 BEF 的法向量为 n=(1,2,1),设 PD 平面 BEF=H,设 PH=PD=(0,2,2),又 P(0,0,2),H(0,2,2 2),BH=(2,2,2 2),由 BH n=(2,2,2 2)(1,2,1)=0,可得 6 4=0,=23,则 PH=23PD,连接 EH,FH,即 EH,FH 就是应画的线.评注该解法是学生很熟悉的坐标法,把四点共面代数化后,求出交点位置,从而确定交线和截面.其理论依据如下:若四点 B,E,F,H 共面,则平面 BEF 的法向量 n 与 BH 垂直.坐标法虽然符合很多学生的答题习惯,但该法耗时长,在无法建系时无法奏效.(2)解法二(代数法基底法)设 PD 平面 BEF=H,PH=PD,PD=PF+FD=PF+12 BC=PF+12(PC PB)=PF+PE 12 PB,则 PH=(PF+PE 12 PB)=PF+PE 12 PB,由 B,E,H,F 四点共面得 +12=1,解得 =23,则PH=2HD,截面是四边形 BEHF.评注该解法依托向量基本定理和四点共面定理确定交点位置,从而确定截线和截面.该解法要用基底 PF,PE,PB 表示出 PH,再用四点共面定理求解交点位置.四点共面定理如下:四点 B,E,F,H 共面,P 为空间任意一点,若 PH=l PF+m PE+n PB,则 l+m+n=1.在一些问题情境中,很难用一组基底表示另一个向量,此时该法不好操作.(2)解法三(几何法作平行线和延长线)如图 4,截面与平面 PAD 有一个公共点 F,因此它们有且只有一条过 F 的公共直线.要确定截面,需确定截面与平面 PAD 的另一个公共点.过 P 作 PG/AD,延长 BE 交PG 于 G,则 G 平面 PAD 平面 BEF,平面 PAD 平面 BEF=FG,由相似三角形的知识得,PH=2HD,截面是四边形 BEHF.图 4图 5评注上述解法通过作 AD 的平行线延展平面 PAD,通过延长 BE 延展平面 BEF,先确定交点再确定交线,最后确定截面.该解法灵活应用线面位置关系和平行性质定理,空间想象和逻辑推理味道浓厚.(2)解法四(几何法作延长线)如图 5,截面与平面 PCD 有一个公共点 E,因此它们有且只有一条过 E 的公共直线.要确定截面,需确定截面与平面 PCD 的另一个公共点.延长 CD 和 BF 交于 I,则 I 平面 PCD 平面 BEF,平面 PCD 平面 BEF=EI.设EI PD=H,易得 H 是 PCI 的重心,则 PH=2HD,截面是四边形 BEHF.评注上述解法通过延长直线延展平面,从而确定截面,解题过程简洁明了,令人耳目一新.解法三、四中,条件“PA 平面 ABCD”均未使用,笔者揣摩命题者的命题意图是让一些习惯用坐标法的学生能迅速上手,不是命题失误,而是体现了人文关怀.三、策略探析教师在教学中,应重视代数法和几何法的讲解与训练,它们各自有用武之地.立体几何的学习过程中,直观想象和逻辑推理素养起着非常重要的作用,它们是学习立体几何过程中的素养成分,也是命题老师青睐的考查目标,因此教师应该把几何解法作为教学中的首选解法.截面问题中,作出截面和几何体相关面的截线是问题的关键.基于此,直观几何图形特征,抽象几何图形中点面的位置关系,为此找出两个平面的交点,进而得到截线,就成为解决这类问题的重中之重.解法四中,平面 BEF 与平面 PCD 有一个公共点 E,它们就有一条过 E 的交线,需确定两个平面的另一个交点,可以聚焦平面 PCD,不妨称为“执面”.延长 CD 和 BF 交于 I,求出两个平面的另一个交点 H,不妨把找交点称为“索点”.接着得到交线 HE 和 HF,不妨称为“求线”,最后确定截面.它通过三个步骤来画出截面,分别是“执面”,“索点”,“求线”,所以把这个求解策略归纳为“执面,索点,求线”.学生在执面,索点,求线的过程中,把画截面问题化归转化成找点和画线,实现了操作的程序化和思维的可视化,提高空间想象,化归转化和逻辑推理能力.四、应用赏析例 1如图 6,三棱柱 ABC A1B1C1中,D 是 AB 的中点,平面 B1C1D 与三棱柱 ABC A1B1C1的面相交,画2024 年第 2 期(上半月刊)中学数学研究43出交线围成的截面,并说明画法.图 6图 7图 8法 1 如图 7,平面 B1C1D 与平面 A1C1CA 有一个交点C1,先执面 A1C1CA.两个平面有一条过 C1的交线,接着索点.延长 B1D 与 A1A 交于 E,E 是两个平面的交点,两个平面的交线是 C1E,设 C1E AC=M,于是索到点 M.由平面几何知识知 M 是 AC 的中点,连接 D 和 M 得到 DM,完成求线,最后确定截面是四边形 B1C1MD.法 2如图 8,平面 B1C1D 与平面 ABC 有一个交点D,先执平面 ABC.两个平面有一条过 D 的交线,记 l,接着索点.由线面平行或面面平行的性质定理得 B1C1/l,BC/B1C1,所以 l/BC,过 D 作 l/BC 交 AC 于 M,易得 M 是 AC 的中点,于是索到点 M.连接 DM,C1M 完成求线,易得截面为四边形 B1C1MD.评注截面与多个面都有交点,找到与截面只有一个交点的面,聚焦这些面,完成执面.索点的主要方法是作平行线和作延长线.例 2 如图 9,在长方体 ABCD A1B1C1D1中,E,M,N 分别是 BC,AE,CD1的中点,AD=AA1=1,AB=2.(1)求证:MN/平面 ADD1A1;(2)在(1)的条件下,试确定直线 BB1与平面 DMN 的交点 F 的位置,并求 BF 的长.图 9图 10分析(1)略;(2)如图 10,要确定平面 DMN 与平面 BB1C1C 的交点,先执平面 BB1C1C,接着索点.延长 DN,易知它过 C1,延长 DM 交 CB 的延长线于点 G,于是索到点 G.连接 C1G 交 BB1于 F,完成求线.由ADM v=EGM 知 EG=1.又 E 是 BC 的中点,则GB=12.由 GBF v=GCC1得GBGC=BFCC1,所以BF=13.例 3(多选)如图 11,正三棱柱 ABC A1B1C1的棱长都为4,P,Q,R分别在棱AA1,AB,B1C1上,AP=AQ=2,B1R=3,过三点 P,Q,R 的平面将三棱柱分为两部分,下列说法正确的是().A.截面是五边形B.截面面积为 315C.截面将三棱柱体积平分D.截面与底面所成的锐二面角大小为3图 11图 12分析如图 12,重点分析选项 A 和 B.截面与平面A1B1C1相交于 R,执平面 A1B1C1.延长 QP 和 B1A1交于 E,于是索到点 E.PA1E v=PAQ,A1E=AQ=2,连接 ER 交 A1C1于 G,求出截线 GR 和 GP.截面与平面ABC 相交于 Q,执平面 ABC.GR/平面 ABC,由线面平行的性质定理得,截面与平面 ABC 的交线平行 GR,作QF/GR 交 BC 于 F,于是索到点 F.连接 FR,求出截线FR,截面是五边形PQFRG.选项A正确.EB1R 中,由余弦定理得 ER=33,则 ER2+B1R2=B1E2,GRB1C1,所以 GR=3,C1G=2,RF=25.五边形可分成两个全等的直角梯形,梯形的下底为 QF+PQ2(12FR)2=23,截面面积为 2 12(3+23)5=315,选项B 正确.答案是 ABC.五、素养综析中国高考评价体系 从深化高考内容改革、衔接高中育人方式改革进行顶层设计,构建全面考查的内容体系,实现了高考的三个转变.“高考评价体系”确立了高考学科素养的考查目标,标志着中国高考正在实现从“能力立意”到“素养导向”的历史性转变.中国高考评价体系将理性思维作为高考考查的基本要求,包括观察、比较、分析、综合、抽象与概括,全面考查学生的核心素养.多面体截面问题的解决要求学生掌握立体几何中的一些必备知识,如空间的四个基本事实,平行的判定和性质定理,同时对学生的分析能力作出较高的要求.解决多面体截面问题的关键是能够作出截面,在提炼和运用“执面,索点,求线”求解策略的过程中,学生先直观想象几何图形所满足的特征性质,感知到两个平面有一个交点,再从图形与图形特征中抽象出需要再找一个交点,最后通过空间想象和逻辑44中学数学研究2024 年第 2 期(上半月刊)数学教学 第 1162 号问题的探究安徽省寿县第一中学(232200)梁昌金摘要本文对 数学教学 2022 年第 10 期问题 1162 进行探究,加强其结论,最后类比给出几个类似问题.关键词 探究;加强;类比;类似数学教学 2022 年第 10 期“数学问题与解答”第 1162号问题1为:在 ABC 中,BC=a,CA=b,AB=c,求证:2(a2cosA+b2cosB+c2cosC)6 ab+bc+ca.该不等式简洁、优美,只涉及到三角形的基本元素.本文对结论进行加强,并进行类似结论的探究,与大家分享.1 问题的加强记x=x+y+z 表示循环求和.由面积公式S=12absinC=12bcsinA=12casinB,及常见三角不等式cscA 23,得ab+bc+ca=2SsinA+2SsinB+2SsinC=2ScscA 43S.笔者尝试加强第 1162 号问题,得到:命题 1 在 ABC 中,有a2cosA+b2cosB+c2cosC 6 23S.为了证明该命题,先给出以下引理.引理 1ABC 的三个内角分别 A,B,C,三边长分别为 a,b,c,外接圆半径、内切圆半径、半周长分别为 R,r,p,则有ab=p2+4Rr+r2,a2=2(p2 4Rr r2),a3=2p(p2 6Rr 3r2),abc=4pRr.引理 22Gerretsen 不等式 p26 4R2+4Rr+3r2.命题 1 的证明 由余弦定理,得a2cosA=a2(b2+c2 a2)2bc=a3(a2+b2+c2 a2)a52abc=a2a3 2a52abc.又a5=a2a3a2b2(a+b)=a2a3aa2b2+a2b2c=a2a3(ab)2 2abcaa+abcab.所以,a2cosA=a3a22abc+(ab)2 2abcaaabcab=a3a22abc+(ab)2aabc 2(a)2ab=2(p2 4Rr r2)2p(p2 6Rr 3r2)8pRr+2p(p2+4Rr+r2)24pRr 8p2(p2+4Rr+r2)=(p2+4Rr+r2)2(p2 4Rr r2)(p2 6Rr 3r2)2Rr 9p2 4Rr r2=r(3p2 8R2 6Rr r2)R.先证明:a2cosA 64pS3R.即证:(3p2 8R2 6Rr r2)rR64p2r3R,即证:p26245R2+185Rr+35r2.由 Gerretsen 不等式p26 4R2+4Rr+3r2,只需证明 4R2+4Rr+3r26245R2+185Rr+35r2,即证 2R2 Rr 6r2 0,即证(R 2r)(2R+3r)0.由欧拉不等式 R 2r 显然成立,所以a2cosA 64pS3R.又 p 6332R,所以4pS3R6 23S,所以 a2cosA+b2cosB+c2cosC 6 23S.2 问题的类似三角函数除了余弦以外,还有正弦、正切、余切、正割、余割五种,仿照上述命题 1 的形式,笔者通过探究,获得了以下结论:推理找到另一个交点,无疑,在这个过程中,直观想象,数学抽象,数学建模和逻辑推理等素养得到了培养和发展,这样学生就能应对核心素养背景下的高考素养考查2.参考文献1 田鹏.例谈多面体的截面问题 J.中学生数学,2021(6):10-13.2 王琼琼,吴志鹏.论“截面”问题 寻“直观想象”素养落地之轨迹 J.中学数学研究(华南师范大学),2021(9 上):44-47.