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江苏省2017届高考数学模拟试卷（八）一、填空题（本大题共14小题，每题5分，共70分）1已知集合A=1，2，4，B=2，4，6，则 AB=2命题“x0，x2+x20”的否定是3函数f（x）=cos（3x+）（0）是奇函数，则的值为4已知向量=（2，x），=（1，3），与的夹角为锐角，则实数x的取值范围为5在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若a=1，sinA=，则=6已知函数f（x）=2sin（x+）对任意x都有f（+x）=f（x），则|f（）|=7若x0，y0，且x+y1，则z=xy的最大值是8已知等差数列an共有20项，所有奇数项和为132，所有偶数项和为112，则等差数列的公差d=9如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=AD=3cm，AA1=2cm，则三棱锥AB1D1D的体积为cm310已知曲线f（x）=xsinx+1在点（，+1）处的切线与直线axy+1=0互相垂直，则实数a=11设数列1，1+2，1+2+22，1+2+22+2n1，的前n项和为Sn，则S10=12已知f（x）=x3+3ax2+bx+a2在x=1时有极值0，则ab的值为13如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为实数，a0）的图象过点C（t，2），且与x轴交于A，B两点，若ACBC，则a的值为14已知函数f（x）=若存在x1，x2，当1x1x23时，f（x1）=f（x2），则的取值范围是二、解答题（本大题共6小题，共90分）15（14分）已知A（3，0），B（0，3），C（cos，sin）；（1）若=1，求sin（+）的值；（2）O为坐标原点，若|=，且（0，），求与的夹角16（14分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1=A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D 不同于点C），且ADDE，F为B1C1的中点求证：（1）平面ADE平面BCC1B1；（2）直线A1F平面ADE17（14分）在ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，（1）若ABC的面积等于，求a，b；（2）若sinB=2sinA，求ABC的面积18（16分）扬州某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为60（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为平方米，且高度不低于米记防洪堤横断面的腰长为x（米），外周长（梯形的上底线段BC与两腰长的和）为y（米）（1）求y关于x的函数关系式，并指出其定义域；（2）要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x应在什么范围内？（3）当防洪堤的腰长x为多少米时，堤的上面与两侧面的水泥用料最省（即断面的外周长最小）？求此时外周长的值19（16分）已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数）（）若a=2，求证：函数f（x）在（1，+）上是增函数；（）求函数f（x）在1，e上的最小值及相应的x值20（16分）an前n项和为Sn，2Sn=an+1+1，nN*，且a1，a2+5，a3成等差数列（1）求a1的值；（2）求an通项公式；（3）证明+江苏省2017届高考数学模拟试卷（八）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每题5分，共70分）1（2012江苏）已知集合A=1，2，4，B=2，4，6，则 AB=1，2，4，6【考点】并集及其运算【专题】集合【分析】由题意，A，B两个集合的元素已经给出，故由并集的运算规则直接得到两个集合的并集即可【解答】解：A=1，2，4，B=2，4，6，AB=1，2，4，6故答案为1，2，4，6【点评】本题考查并集运算，属于集合中的简单计算题，解题的关键是理解并的运算定义2（2016秋盐城校级月考）命题“x0，x2+x20”的否定是x0，x2+x20【考点】命题的否定【专题】计算题；转化思想；简易逻辑【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“x0，x2+x20”的否定是：x0，x2+x20故答案为：x0，x2+x20【点评】本题考查命题的否定全称命题与特称命题的否定关系，是基础题3（2016秋盐城校级月考）函数f（x）=cos（3x+）（0）是奇函数，则的值为【考点】余弦函数的奇偶性【专题】计算题；转化思想；三角函数的图像与性质【分析】利用函数是奇函数，推出方程求解即可【解答】解：函数f（x）=cos（3x+）（0）是奇函数，可得=k+，kZk=0满足题意所以的值为：故答案为：【点评】本题考查三角函数的奇偶性的应用，考查计算能力4（2016秋盐城校级月考）已知向量=（2，x），=（1，3），与的夹角为锐角，则实数x的取值范围为（，6）（6，+）【考点】数量积表示两个向量的夹角；向量的物理背景与概念【专题】计算题；转化思想；平面向量及应用【分析】由题意可得数量积大于0，且x1230，解不等式求得x 的取值范围【解答】解：由题意可得=2+3x0，且x1230，x，且 x6，故实数x的取值范围为 （，6）（6，+），故答案为：（，6）（6，+）【点评】本题考查两个向量的数量积的定义，两个向量的数量积公式的应用，属于基础题5（2016秋盐城校级月考）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若a=1，sinA=，则=3【考点】正弦定理【专题】方程思想；转化思想；解三角形【分析】利用正弦定理、比例的性质即可得出【解答】解：a=1，sinA=，=3则=3故答案为：3【点评】本题考查了正弦定理、比例的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题6（2016秋盐城校级月考）已知函数f（x）=2sin（x+）对任意x都有f（+x）=f（x），则|f（）|=2【考点】正弦函数的对称性【专题】综合题；转化思想；综合法；三角函数的求值【分析】由条件可得，函数f（x）的图象关于直线x=对称，故f（）等于函数的最值，从而得出结论【解答】解：由题意可得，函数f（x）的图象关于直线x=对称，故|f（）|=2，故答案为：2【点评】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题7（2010南京二模）若x0，y0，且x+y1，则z=xy的最大值是1【考点】简单线性规划【专题】常规题型【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=xy，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=xy过可行域内的点A时，从而得到z最大值即可【解答】解：先根据约束条件画出可行域，设z=xy，将最大值转化为y轴上的截距的最小值，当直线zz=xy经过区域内的点A（1，0）时，z最大，最大值为：1故答案为：1【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解8（2016秋盐城校级月考）已知等差数列an共有20项，所有奇数项和为132，所有偶数项和为112，则等差数列的公差d=2【考点】等差数列的通项公式；数列的函数特性【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列【分析】直接由公式结合已知得答案【解答】解：由S奇=132，S偶=112，得：，解得d=2故答案为：2【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的性质，是基础题9（2012秋苏州期末）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=AD=3cm，AA1=2cm，则三棱锥AB1D1D的体积为3cm3【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【专题】计算题【分析】连接AC交BD于O，根据此长方体的结构特征，得出AO为A到面B1D1D的垂线段B1D1D为直角三角形，面积易求所以利用体积公式计算即可【解答】解：长方体ABCDA1B1C1D1中的底面ABCD是正方形连接AC交BD于O，则ACBD，又D1DBD，所以AC面B1D1D，AO为A到面B1D1D的垂线段，且AO=又SB1D1D=所以所求的体积V=cm3故答案为：3【点评】本题考查锥体体积计算，对于三棱锥体积计算，要选择好底面，便于求解10（2016秋盐城校级月考）已知曲线f（x）=xsinx+1在点（，+1）处的切线与直线axy+1=0互相垂直，则实数a=1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】综合题；方程思想；综合法；导数的综合应用【分析】欲求出实数a，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率从而问题解决【解答】解：f（x）=sinx+xcosx，曲线在点（，+1）处的切线与直线axy+1=0互相垂直，根据导数几何意义得：f（）=，即：1=，解得：a=1故答案为：1【点评】本小题主要考查垂直直线的斜率关系、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识属于基础题11（2016秋盐城校级月考）设数列1，1+2，1+2+22，1+2+22+2n1，的前n项和为Sn，则S10=2036【考点】数列的求和【专题】等差数列与等比数列【分析】由1+2+22+2n1=2n1，得Sn=（2+22+23+2n）n，由此能求出S10【解答】解：1+2+22+2n1=2n1，Sn=（2+22+23+2n）n=n=2n+12n，S10=211210=2036故答案为：2036【点评】本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要注意分组求和法的合理运用12（2015春灵宝市期末）已知f（x）=x3+3ax2+bx+a2在x=1时有极值0，则ab的值为7【考点】函数在某点取得极值的条件【专题】计算题；导数的概念及应用【分析】求导函数，利用函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值0，建立方程组，求得a，b的值，再验证，即可得到结论【解答】解：函数f（x）=x3+3ax2+bx+a2f（x）=3x2+6ax+b，又函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值0，或当时，f（x）=3x2+6ax+b=3（x+1）2=0，方程有两个相等的实数根，不满足题意；当时，f（x）=3x2+6ax+b=3（x+1）（x+3）=0，方程有两个不等的实数根，满足题意；ab=7故答案为：7【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查学生的计算能力，属于基础题13（2012慈溪市模拟）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为实数，a0）的图象过点C（t，2），且与x轴交于A，B两点，若ACBC，则a的值为【考点】二次函数的性质【专题】计算题【分析】设A（x1，0），B（x2，0），由题意可得t2+bt+c=2，由ACBC，可得=（x1t，2）（x2t，2）=0，代入根据方程的根与系数关系可求a【解答】解：设A（x1，0），B（x2，0）二次函数y=ax2+bx+c的图象过点C（t，2），at2+bt+c=2ACBC，=（x1t，2）（x2t，2）=0即at2+bt+c+4a=04a+2=0故答案为：【点评】本题主要考查了利用二次函数的性质求解函数中的参数，解题中注意整体思想的应用14（2015春洪泽县期末）已知函数f（x）=若存在x1，x2，当1x1x23时，f（x1）=f（x2），则的取值范围是（，【考点】分段函数的应用【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用【分析】作函数f（x）的图象，结合图象可得+x1；化简=1+；从而求取值范围【解答】解：作函数f（x）=的图象如下，f（）=+1=1+；故令x+=1+得，x=+；故+x1；又=1+；=1；1+；故答案为：（，【点评】本题考查了分段函数的应用及数形结合的思想应用，属于中档题二、解答题（本大题共6小题，共90分）15（14分）（2013宣武区校级模拟）已知A（3，0），B（0，3），C（cos，sin）；（1）若=1，求sin（+）的值；（2）O为坐标原点，若|=，且（0，），求与的夹角【考点】平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角；运用诱导公式化简求值【专题】计算题【分析】（1）根据已知中A，B，C三点的坐标，我们易求出向量，的坐标，根据=1，我们易得到一个三角方程，解方程即可得到sin（）的值（2）根据向量减法的三角形法则，我们易将=转化为|=，结合（1）中结论，易构造出关于的三角方程，解方程即可求解【解答】解：（1）A（3，0），B（0，3），C（cos，sin）；=（cos3，sin）；=（cos，sin3）；=cos2+sin23（sin+cos）=13（sin+cos）=13sin（）=1sin（）=（2）=|=|=cos=又（0，）=，则与的夹角为=【点评】本题考查的知识点是平面向量的数量积运算，同角三角函数关系，辅助角公式，三角函数给值求角，其中根据平面向量数量积运算公式，将问题转化为三角函数问题是解答问题的关键16（14分）（2012江苏）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1=A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D 不同于点C），且ADDE，F为B1C1的中点求证：（1）平面ADE平面BCC1B1；（2）直线A1F平面ADE【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定【专题】空间位置关系与距离；立体几何【分析】（1）根据三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，得到CC1平面ABC，从而ADCC1，结合已知条件ADDE，DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线，得到AD平面BCC1B1，从而平面ADE平面BCC1B1；（2）先证出等腰三角形A1B1C1中，A1FB1C1，再用类似（1）的方法，证出A1F平面BCC1B1，结合AD平面BCC1B1，得到A1FAD，最后根据线面平行的判定定理，得到直线A1F平面ADE【解答】解：（1）三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，CC1平面ABC，AD平面ABC，ADCC1又ADDE，DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线AD平面BCC1B1，AD平面ADE平面ADE平面BCC1B1；（2）A1B1C1中，A1B1=A1C1，F为B1C1的中点A1FB1C1，CC1平面A1B1C1，A1F平面A1B1C1，A1FCC1又B1C1、CC1是平面BCC1B1内的相交直线A1F平面BCC1B1又AD平面BCC1B1，A1FADA1F平面ADE，AD平面ADE，直线A1F平面ADE【点评】本题以一个特殊的直三棱柱为载体，考查了直线与平面平行的判定和平面与平面垂直的判定等知识点，属于中档题17（14分）（2015广州校级二模）在ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，（1）若ABC的面积等于，求a，b；（2）若sinB=2sinA，求ABC的面积【考点】解三角形；三角形中的几何计算【专题】计算题【分析】（1）由c及cosC的值，利用余弦定理列出关于a与b的关系式a2+b2ab=4，再由已知三角形的面积及sinC的值，利用三角形的面积公式得出ab的值，与a2+b2ab=4联立组成方程组，求出方程组的解即可求出a与b的值；（2）利用正弦定理化简sinB=2sinA，得到b=2a，与（1）得出的a2+b2ab=4联立组成方程组，求出方程组的解得到a与b的值，再由sinC的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积【解答】解：（1）c=2，cosC=，由余弦定理c2=a2+b22abcosC得：a2+b2ab=4，又ABC的面积等于，sinC=，整理得：ab=4，（4分）联立方程组，解得a=2，b=2；（6分）（2）由正弦定理，把sinB=2sinA化为b=2a，（8分）联立方程组，解得：，又sinC=，则ABC的面积（10分）【点评】此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键18（16分）（2014南京模拟）扬州某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为60（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为平方米，且高度不低于米记防洪堤横断面的腰长为x（米），外周长（梯形的上底线段BC与两腰长的和）为y（米）（1）求y关于x的函数关系式，并指出其定义域；（2）要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x应在什么范围内？（3）当防洪堤的腰长x为多少米时，堤的上面与两侧面的水泥用料最省（即断面的外周长最小）？求此时外周长的值【考点】函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的应用【专题】应用题；压轴题【分析】（1）先由横断面积用x表示BC，从建立y关于x的函数关系式，定义域由线段必须大于零和高度不低于米求解；（2）解y10.5分式不等式；（3）求函数y的最小值，根据函数特点及条件可选用不等式解决【解答】解：（1），其中，得，由，得2x6；（6分）（2）得3x43，42，6）腰长x的范围是3，4（10分）（3），当并且仅当，即时等号成立外周长的最小值为米，此时腰长为米（15分）【点评】本题主要考查利用平面图形建立函数模型以及解模的能力，属于中档题19（16分）已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数）（）若a=2，求证：函数f（x）在（1，+）上是增函数；（）求函数f（x）在1，e上的最小值及相应的x值【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【专题】计算题；证明题【分析】（）将a=2代入，然后求出导函数f（x），欲证函数f（x）在（1，+）上是增函数只需证导函数在（1，+）上恒大于零即可；（）先求出导函数f（x），然后讨论a研究函数在1，e上的单调性，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最小的一个就是最小值【解答】解：（）当a=2时，f（x）=x22lnx，当x（1，+），故函数f（x）在（1，+）上是增函数（），当x1，e，2x2+aa+2，a+2e2若a2，f（x）在1，e上非负（仅当a=2，x=1时，f（x）=0），故函数f（x）在1，e上是增函数，此时f（x）min=f（1）=1若2e2a2，当时，f（x）=0；当时，f（x）0，此时f（x）是减函数；当时，f（x）0，此时f（x）是增函数故f（x）min=若a2e2，f（x）在1，e上非正（仅当a=2e2，x=e时，f（x）=0），故函数f（x）在1，e上是减函数，此时f（x）min=f（e）=a+e2综上可知，当a2时，f（x）的最小值为1，相应的x值为1；当2e2a2时，f（x）的最小值为，相应的x值为；当a2e2时，f（x）的最小值为a+e2，相应的x值为e【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数求闭区间上函数的最值，属于中档题20（16分）an前n项和为Sn，2Sn=an+1+1，nN*，且a1，a2+5，a3成等差数列（1）求a1的值；（2）求an通项公式；（3）证明+【考点】数列的求和；数列递推式【专题】等差数列与等比数列【分析】（1）由2Sn=an+12n+1+1，nN*，分别取n=1，2时，可得a2=2a1+3，a3=6a1+13利用a1，a2+5，a3成等差数列，即可得出；（2）当n2时，2an=2Sn2Sn1，化为，变形，利用等比数列的通项公式即可得出；（3）由3n1可得，再利用等比数列的前n项和公式即可得出【解答】（1）解：2Sn=an+12n+1+1，nN*，n=1，2时，2a1=a23，2a1+2a2=a37，a2=2a1+3，a3=6a1+13a1，a2+5，a3成等差数列，2（a2+5）=a1+a3，2（2a1+8）=a1+6a1+13，解得a1=1（2）解：当n2时，2an=2Sn2Sn1=，化为，a1+2=3数列是等比数列，（3）证明：3n1，+=【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推式的应用、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于难题