江苏省南师大数科院高考数学模拟最后一卷.doc

江苏省南师大数科院2013届高考数学模拟最后一卷
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）
1．若，其中a、b∈R，i是虚数单位，则= ▲ ．
2．已知集合，集合，集合，则 ▲ ．
3．某学校高中三个年级的学生人数分别为：高一 950人，髙二 1000人，高三1050人．现要调查该校学生的视力状况，考虑采用分层抽样的方法，抽取容量为60的样本，则应从高三年级中抽取的人数为 ▲ ．
4．某国际体操比赛，我国将派5名正式运动员和3名替补运动员参加, 最终将有3人上场比赛,其中甲、乙两名替补运动员均不上场比赛的概率是
5．以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为 ▲ ．
6．如图所示，设P、Q为△ABC内的两点，且， =+,则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为 ▲ ．

（第6题）

7．执行如图所示的程序框图，若输出的的值为31，则图中判断框内①处应填的整数为 ▲ ．
8．在中，若，则的外接圆半径，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体中，若两两垂直，，则四面体的外接球半径 ▲ ．
9．若是与的等比中项，则的最大值为 ▲ ．
10．空间直角坐标系中，点，则A、B两点间距离的最大值为 ▲ ．
11．下列表中的对数值有且仅有一个是错误的：

3
5
8
9
15

请将错误的一个改正为 ▲ = ▲ ．
12．如图，l1、l2、l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是1，l2与l3间的距离是2，正三角
形ABC的三顶点分别在l1、l2、l3上，则△ABC的边长是 ▲ ．
13．已知为直线上一动点，若在上存在一点使成立，则点的横坐标取值范围为 ▲ ．
14．若方程没有实数根，那么实数的取值范围是 ▲ ．
二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．）
15、（本小题满分15分）
已知函数，．其图象的两个相邻对称中心的距离为，且过点．（Ⅰ）求、的值；
（Ⅱ）在△ABC中．a、b、c分别是角A、B、C的对边，，，角C为锐角且满足，求c的值．

16．（本小题满分15分）
如图，已知三棱柱BCF-ADE的侧面CFED与ABFE都是边长为1的正方形，M 、N两点分别在AF和CE上，且AM=EN．
（Ⅰ）求证：平面ABCD平面ADE；（Ⅱ）求证： MN//平面BCF；
（Ⅲ）若点N为EC的中点，点P为EF上的动点，试求PA+PN的最小值．

17．（本小题满分14分）
某化工企业2007年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．
（Ⅰ）求该企业使用该设备年的年平均污水处理费用（万元）；
（Ⅱ）问为使该企业的年平均污水处理费用最低，该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备？

18．（本小题满分15分）
如图，已知圆O的直径AB=4，定直线L到圆心的距离为4，且直线L垂直直线AB。点P是圆O上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别交L与M、N点。
（Ⅰ）若∠PAB=30°，求以MN为直径的圆方程；
（Ⅱ）当点P变化时，求证：以MN为直径的圆必过圆O内的一定点。

19．（本小题满分15分）设常数，函数.
（Ⅰ）令，求的最小值，并比较的最小值与零的大小；
（Ⅱ）求证：在上是增函数；（Ⅲ）求证：当时，恒有．

20．（本小题满分16分）
定义：若数列满足，则称数列为“平方递推数列”。已知数列 中，，点在函数的图像上，其中为正整数。
（Ⅰ）证明：数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列。
（Ⅱ）设（Ⅰ）中“平方递推数列”的前项之积为，即，求数列的通项及关于的表达式。
（Ⅲ）记，求数列的前项之和，并求使的的最小值。

2013届高三数学综合检测卷参考答案
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1．
2．
3．21
4．
5．
6．
7．4
8．
9．
10．
11．
12．
13．
14．
二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．）
15．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）. （2分）
∵最高点与相邻对称中心的距离为，则，即， （3分）
∴，∵，∴， （4分） 又过点，
∴，即，∴. （5分）
∵，∴，∴. （6分）
16．（本小题满分15分）
解：（1）∵四边形CFED与ABFE都是正方形
∴又, ∴平面，---------------2分
又∵，∴平面
∵平面ABCD，∴平面ABCD平面ADE-------------------------4分
（2）证法一：过点M作交BF于，
过点N作交BF于，连结,------------5分
∵∴
又∵ ∴--------------------------------7分
∴四边形为平行四边形，---------------------------------------------8分
----------10分
[法二：过点M作交EF于G，连结NG，则------------6分
，------------7分
同理可证得，又, ∴平面MNG//平面BCF--------9分
∵MN平面MNG, ．--------------------------------------------10分]
（3）如图将平面EFCD绕EF旋转到与ABFE在同一平面内，则当点
A、P、N在同一直线上时，PA+PN最小，------------------------------------11分
在△AEN中，∵
由余弦定理得，------13分
∴ 即．-----------------------14分
17．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）即（）；---------------------7分
（不注明定义域不扣分，或将定义域写成也行）由均值不等式得：
（Ⅱ）（万元）-----------------------11分
当且仅当，即时取到等号．-------13分答：该企业10年后需要重新更换新设备．---------14分
18．（本小题满分15分）

解：建立如图所示的直角坐标系，⊙O的方程为，直线L的方程为。
（Ⅰ）∵∠PAB=30°，∴点P的坐标为，
∴，。
将x=4代入，得。∴MN的中点坐标为（4，0），MN=。
∴以MN为直径的圆的方程为。
同理，当点P在x轴下方时，所求圆的方程仍是。
（Ⅱ）设点P的坐标为，∴（），∴。∵，
将x=4代入，得， 。∴，MN=。
MN的中点坐标为。以MN为直径的圆截x轴的线段长度为
为定值。∴⊙必过⊙O 内定点。
19．（本小题满分15分）
解（Ⅰ）∵，
∴， ……2分
∴，
∴，令，得， ……4分
列表如下：

2

0

↘
极小值
↗
∴在处取得极小值，
即的最小值为． ……6分
，
∵，∴，又，∴． ……8分
证明（Ⅱ）由（Ⅰ）知，的最小值是正数，
∴对一切，恒有， ……10分
从而当时，恒有， ……11分
故在上是增函数． ……12分
证明（Ⅲ）由（Ⅱ）知：在上是增函数，
∴当时，， ……13分
又， ……14分
∴，即，
∴
故当时，恒有． ……15分

20．（本小题满分16分）
（Ⅰ）由条件an＋1＝2an2＋2an， 得2an＋1＋1＝4an2＋4an＋1＝(2an＋1)2．∴{bn}是“平方递推数列”．∴lgbn＋1＝2lgbn．∵lg(2a1＋1)＝lg5≠0，∴＝2．∴{lg(2an＋1)}为等比数列．
（Ⅱ）∵lg(2a1＋1)＝lg5，∴lg(2an＋1)＝2n－1×lg5，∴2an＋1＝5，∴an＝(5－1)．
∵lgTn＝lg(2a1＋1)＋lg(2a2＋1)＋…＋lg(2an＋1)＝＝(2n－1)lg5．
∴Tn＝5．
（3）cn＝＝＝＝2－，
∴Sn＝2n－[1＋＋＋…＋]＝2n－＝2n－2[1－]＝2n－2＋2．
由Sn＞2008得2n－2＋2＞2008，n＋＞1005，
当n≤1004时，n＋＜1005，当n≥1005时，n＋＞1005，∴n的最小值为1005．