高等机构学--螺旋理论基础.ppt

高等机构学 螺旋理论基础n螺旋理论基础螺旋理论基础n基于螺旋理论的自由度分析原理基于螺旋理论的自由度分析原理n空间机构的位置分析空间机构的位置分析n运动影响系数原理运动影响系数原理n空间机构动力学空间机构动力学n基于约束螺旋理论的并联机构型综合基于约束螺旋理论的并联机构型综合n空间机构的奇异分析空间机构的奇异分析本门课程的主要本门课程的主要学习内容学习内容空间直线的螺旋表示空间直线的螺旋表示螺旋表示运动和作用力螺旋表示运动和作用力螺旋的相关性螺旋的相关性螺旋的相逆性螺旋的相逆性螺旋理论基础螺旋理论基础直线的矢量方程直线的矢量方程两个点：两个点：两点之间的距离或直线段的长度为两点之间的距离或直线段的长度为假设：假设：L、M、N是有向线段是有向线段S的方向数，而的方向数，而l、m、n是是S的方向余弦的方向余弦，且满足且满足则直线方程可写为：则直线方程可写为：或或S0 称为矢量称为矢量 S 对原点的线矩对原点的线矩直线的矢量方程直线的矢量方程可写为行列式的形式可写为行列式的形式展开，有展开，有其中其中P、Q、R为为直线的矢量方程直线的矢量方程若若S是单位矢量是单位矢量,，则线矩则线矩S0的模表示直线的模表示直线到原点的距离到原点的距离；若若矢量矢量S过原点，其线矩为零过原点，其线矩为零：当当S及及S0给定后，直线在空间的方向及位置都被确给定后，直线在空间的方向及位置都被确定，而且它们是一一对应的定，而且它们是一一对应的；矢量矢量S与其对原点之线矩与其对原点之线矩S0是互为正交的是互为正交的：直线的矢量方程直线的矢量方程可知：可知：决定直线的矢量方程中的两个参数决定直线的矢量方程中的两个参数S及及S0是齐次坐标是齐次坐标，标量标量 构成的构成的 S 及及 S0 依然满足直线方程依然满足直线方程表示是同一条直线。表示是同一条直线。这种满足正交条件的齐次坐标这种满足正交条件的齐次坐标(S;S0)表示了直线在表示了直线在空间的位置及方向，空间的位置及方向，(S;S0)称为称为直线的直线的 Plcker 坐标坐标。直线的直线的Plcker坐标坐标 直线的直线的 Plcker坐标坐标(S;S0)中的两个矢量中的两个矢量S 和和S0 都可以都可以用直角坐标系的三个分量表示，这样用直角坐标系的三个分量表示，这样Plcker坐标的标量形式坐标的标量形式即为即为(L,M,N;P,Q,R)，L、M、N是有向线段是有向线段S的方向数，的方向数，P、Q、R是该线段是该线段S对原点的线矩在对原点的线矩在X、Y、Z 三轴的分量三轴的分量。这六个量这六个量L、M、N、P、Q、R 之间存在关系式之间存在关系式 所以六个分量中只有五个是独立的所以六个分量中只有五个是独立的，在三维空间中就有在三维空间中就有5 条不同方向、位置和长度的有向线段条不同方向、位置和长度的有向线段。直线的直线的Plcker坐标坐标n两两个矢量个矢量S和和S0决定了一条直线在决定了一条直线在空间的方向和空间的方向和位置位置（对偶矢量）（对偶矢量）n空间空间的一条的一条直线直线与与一一组对偶组对偶矢量矢量(S;S0)有着一一对应的关系有着一一对应的关系 为过原点的直线，方向为为一条不过原点平行X 轴的空间直线且这是一条不过原点，方向为的直线直线的直线的Plcker坐标坐标直线的直线的Plcker坐标坐标直线到原点的距离直线到原点的距离 若有过原点的矢量若有过原点的矢量P垂直相交于直线垂直相交于直线(S;S0)，则矢量则矢量OP的的模模|P|是从原点是从原点O到直线的距离，由于矢量到直线的距离，由于矢量P的端点在直线上，的端点在直线上，即有即有将此等式两边左面叉乘将此等式两边左面叉乘S展开左边矢量的三重叉积展开左边矢量的三重叉积，有，有即即直线到原点的距离直线到原点的距离解出解出P这里这里e是单位矢量，其方向由是单位矢量，其方向由 决定，决定，这样直线这样直线S到原点的距离为到原点的距离为因为直线因为直线S与线矩相互垂直，上式可写为与线矩相互垂直，上式可写为直线到原点的距离直线到原点的距离n当当S0=0，则，则 ，直线到原点的距离为零，即，直线到原点的距离为零，即直线过原点，直线过原点，此时直线的此时直线的 Plcker 坐标可写为坐标可写为可知：可知：或或n反之，若反之，若S=0，而，而 为有限值，则为有限值，则 ，此时，此时直线位于距原点无穷远的平面上，写成直线位于距原点无穷远的平面上，写成Plcker 坐坐标为标为(0;S0)。n此时对于任何选择的原点，无穷远处的一个无穷此时对于任何选择的原点，无穷远处的一个无穷小的矢量，它对原点的线矩皆为小的矢量，它对原点的线矩皆为 S0。S0与原点位与原点位置选择无关，这说明置选择无关，这说明(0;S0)为为自由矢量自由矢量。两直线的互矩两直线的互矩设空间有相错的两条直线，它们设空间有相错的两条直线，它们不平行也不相交不平行也不相交若它们的公垂线矢量为若它们的公垂线矢量为 ，其中，其中 为单位矢量，为单位矢量，而其系数而其系数 是两线间的垂直距离是两线间的垂直距离，两线之间的扭向角记为两线之间的扭向角记为A、B两点是两直线间公垂线的两个垂足两点是两直线间公垂线的两个垂足 两直线的互矩两直线的互矩直线直线S2对对S1线上垂足线上垂足A 点的线矩点的线矩 与与直线直线S1的点积，称为直线的点积，称为直线S2关于关于S1的矩的矩同样，直线同样，直线S1对直线对直线S2上垂足上垂足B点的点的线矩线矩与与直线直线S2的点积，称为直线的点积，称为直线S1关于关于S2的矩的矩显然此两点积是相等的显然此两点积是相等的两直线的互矩两直线的互矩两直线的互矩两直线的互矩(mutual moment)，记以，记以Mm可以看可以看出：出：两直线的互矩是由两直线两直线的互矩是由两直线Plcker 坐标的两个矢坐标的两个矢量和两线矩交换下标后的点积之和量和两线矩交换下标后的点积之和展开此式并考虑到展开此式并考虑到得到互矩的一般表达式为得到互矩的一般表达式为两直线的互矩两直线的互矩当当S1和和S2都是单位矢量时都是单位矢量时其中其中S1与与S2间的扭向角间的扭向角 的值是以的值是以 为正向，按右手螺旋方为正向，按右手螺旋方向度量向度量互矩互矩Mm还可写为还可写为则则两直线的互矩两直线的互矩若两直线的若两直线的S及及S0均以标量表示均以标量表示互矩还可以写成互矩还可以写成代数式代数式互矩互矩的几种表达形式的几种表达形式两直线的互矩两直线的互矩n互矩只与两直线间的互矩只与两直线间的距离距离及及扭向角扭向角有关，与原点位置的选有关，与原点位置的选择无关，即互距与坐标系的选择无关。择无关，即互距与坐标系的选择无关。n如果如果两直线平行两直线平行，或者说两直线相交于无穷远处，或者说两直线相交于无穷远处，则它们的互矩为零。则它们的互矩为零。n如果如果两直线相交两直线相交，其垂直距离，其垂直距离 就等于零就等于零，它们的互矩，它们的互矩也为零也为零n所以空间两直线相交于有限远处、无限远处，或说所以空间两直线相交于有限远处、无限远处，或说两直线两直线共面共面，则则两直线的互矩为零两直线的互矩为零。由由互矩互矩表达式表达式 可以看出：可以看出：线矢量和螺旋线矢量和螺旋线矢量：线矢量：如果空间一个单位矢量被约束在一如果空间一个单位矢量被约束在一条方向、位置固定的直线上，这个条方向、位置固定的直线上，这个被直线约束的矢量定义为线矢量，被直线约束的矢量定义为线矢量，简称线矢，也记以简称线矢，也记以(S;S0)。在前面建立的空间直线矢量方程的基础上，进一步引申在前面建立的空间直线矢量方程的基础上，进一步引申n在表示线矢量的对偶矢量在表示线矢量的对偶矢量(S;S0)中中 S 是单位矢量，而是单位矢量，而 S0一一般不是单位矢量般不是单位矢量n这个线矢量在空间的位置和方向，可由矢量这个线矢量在空间的位置和方向，可由矢量 S 和其上一点和其上一点矢径矢径 r 来决定。这里矢径来决定。这里矢径 r 反映在反映在“线矩线矩”S0中，即中，即 ，显然显然 S 与与 S0为正交，为正交，线矢量和螺旋线矢量和螺旋n线矢量在几何上反映了一直线在空间的方向和位置线矢量在几何上反映了一直线在空间的方向和位置。n矢量矢量 S 表示直线的方向，它与原点的位置无关；而线矩表示直线的方向，它与原点的位置无关；而线矩S0 则与原点的位置有关。若原点的位置改变，由则与原点的位置有关。若原点的位置改变，由B点移点移至至A点点，而矢量而矢量 S 对点对点 A之线矩之线矩 SA则转变为则转变为线矢量和螺旋线矢量和螺旋螺旋：螺旋：原部矢量和对偶部矢量点积不为零的对偶矢量原部矢量和对偶部矢量点积不为零的对偶矢量 在在数学上定义为螺旋，数学上定义为螺旋，（也称也称旋量旋量）。记为。记为$当当对偶矢量对偶矢量(S;S0)中的两个矢量不满足矢量的正交条件，中的两个矢量不满足矢量的正交条件，则可以得到更一般的情况则可以得到更一般的情况n在表示在表示螺旋螺旋的对偶矢量的对偶矢量(S;S0)中中 S 是单位矢量，而是单位矢量，而 S0一般一般不是单位矢量不是单位矢量n这样，线矢量就可看成是螺旋的特殊情况，当组成螺旋的这样，线矢量就可看成是螺旋的特殊情况，当组成螺旋的两对偶矢量的点积为零时，螺旋退化为线矢量。两对偶矢量的点积为零时，螺旋退化为线矢量。n为了能够清楚地区分线矢量和螺旋，将为了能够清楚地区分线矢量和螺旋，将 的螺旋的的螺旋的对偶部矢量以对偶部矢量以 S0 标记，以表示与线矢量的区别标记，以表示与线矢量的区别线矢量和螺旋线矢量和螺旋n在螺旋的两矢量中，在螺旋的两矢量中，S与原点的选择无关，而矢量与原点的选择无关，而矢量S0 却却是与原点的位置有关。是与原点的位置有关。n当当将将原点由原点由 B 移至移至 A 时，时，螺旋螺旋 变为变为 ，依然满足依然满足将上式两边点乘将上式两边点乘 S，得到，得到n虽然虽然 S0 与原点位置有关，但与原点位置有关，但 与原点的位置无关，与原点的位置无关，是原点不变量。是原点不变量。线矢量和螺旋线矢量和螺旋n螺旋的节距螺旋的节距pitch（原点不变量）（原点不变量）n如果某旋量的原级矢量如果某旋量的原级矢量S为单位矢量，为单位矢量，这是单，这是单位旋量位旋量，此时，此时 线矢量和螺旋线矢量和螺旋n线矢量在空间对应一条确定的直线；同样，一个旋量，线矢量在空间对应一条确定的直线；同样，一个旋量，在空间也对应有一条确定的轴线在空间也对应有一条确定的轴线n将将S0 分解为垂直和平行于分解为垂直和平行于 S 的两个的两个分量，分量，hS 和和 S0-hS线矢量和螺旋线矢量和螺旋n其中其中 S0 hS 是垂直于是垂直于S的，这是因为的，这是因为n因此螺旋的轴线方程即是因此螺旋的轴线方程即是n由此由此线矢量和螺旋线矢量和螺旋n影响螺旋的四个因素：影响螺旋的四个因素：（1）螺旋轴线螺旋轴线的位置的位置（2）螺旋的节距）螺旋的节距（3）螺旋的方向）螺旋的方向（4）螺旋的大小）螺旋的大小n如果是单位螺旋，则只包含前三个因素如果是单位螺旋，则只包含前三个因素n螺旋可以写为螺旋可以写为线矢量和螺旋线矢量和螺旋n对于螺旋对于螺旋 ，当节距，当节距 h 变化时变化时 螺旋线矢量偶量零螺旋 若若 h=0，螺旋变为，螺旋变为 若若 h=，线矢量和螺旋线矢量和螺旋n例：例：表示什么样表示什么样的螺旋？的螺旋？螺旋大小螺旋大小 螺旋方向螺旋方向 螺旋节距螺旋节距 螺旋轴线螺旋轴线 表示节距为表示节距为 a，轴线过原点的，轴线过原点的螺旋螺旋线矢量和螺旋线矢量和螺旋n例：例：表示什么样的螺旋？表示什么样的螺旋？螺旋大小螺旋大小 螺旋方向螺旋方向 螺旋节距螺旋节距 螺旋轴线螺旋轴线 表示节距为表示节距为1，轴线过原点的，轴线过原点的单位螺旋单位螺旋线矢量和螺旋线矢量和螺旋n例：例：表示什么样的螺旋？表示什么样的螺旋？螺旋大小螺旋大小 螺旋方向螺旋方向 螺旋节距螺旋节距 螺旋轴线螺旋轴线 这也是一个轴线过原点沿方向这也是一个轴线过原点沿方向 节距为节距为1的单位螺旋的单位螺旋线矢量和螺旋线矢量和螺旋n例：例：表示什么样的螺旋？表示什么样的螺旋？螺旋大小螺旋大小 螺旋方向螺旋方向 螺旋节距螺旋节距 螺旋轴线螺旋轴线 表示节距为表示节距为 1/2，不过原点的非单位螺旋不过原点的非单位螺旋螺旋的代数运算螺旋的代数运算n螺旋螺旋 可以用一对对偶矢量来表示可以用一对对偶矢量来表示n其中其中 被称为对偶标识符，且有被称为对偶标识符，且有 螺旋的对偶矢量表示螺旋的对偶矢量表示螺旋的代数运算螺旋的代数运算 两个螺旋的原部和对偶部分别求和，称为两螺旋的两个螺旋的原部和对偶部分别求和，称为两螺旋的代数和。代数和。n两个节距为非零有限值的螺旋之和一般仍然是节距为非两个节距为非零有限值的螺旋之和一般仍然是节距为非零有限值的螺旋，但也可能出现节距为零的线矢量。零有限值的螺旋，但也可能出现节距为零的线矢量。n不共面的两线矢之和一般为节距不为零的螺旋，不共面的两线矢之和一般为节距不为零的螺旋，螺旋的代数和螺旋的代数和螺旋的代数运算螺旋的代数运算n若两线矢共面，且两原部之和非零时，其和依然为线若两线矢共面，且两原部之和非零时，其和依然为线矢量。矢量。对于线矢量对于线矢量(S1;S01)和和(S2;S02)，由于由于原部和对偶部矢量原部和对偶部矢量满足满足正交性正交性，有，有又已知两直线共面，则其互矩为零又已知两直线共面，则其互矩为零则两线矢之和满足则两线矢之和满足证明：证明：证毕证毕螺旋的代数运算螺旋的代数运算n对于共面的两线矢量，和线矢过两线矢的交点对于共面的两线矢量，和线矢过两线矢的交点由于由于共面两线矢的和仍为线矢量，其矢量方程为共面两线矢的和仍为线矢量，其矢量方程为若以若以 r1 表示两线矢交点的矢径。表示两线矢交点的矢径。r1 应分别在两线矢上，应分别在两线矢上，即即同时满足两线矢方程同时满足两线矢方程将两式相加有将两式相加有证明：证明：此式表明两线矢的交点此式表明两线矢的交点 满足和线矢作用线方程，所以和线满足和线矢作用线方程，所以和线矢过两线矢的交点矢过两线矢的交点。证毕。证毕螺旋的代数运算螺旋的代数运算 两两螺旋螺旋的原部矢量与对偶矢量下标交换后做点积之的原部矢量与对偶矢量下标交换后做点积之和和称为两螺旋的互易积称为两螺旋的互易积n互易积是螺旋理论中最有意义的一种运算。若互易积是螺旋理论中最有意义的一种运算。若$1及及$2 是是两线矢量两线矢量，则，则n可以看出，可以看出，两线矢两线矢的互易积就是两直线的互矩。的互易积就是两直线的互矩。两线矢两线矢共面的充要条件就是其互易积为零共面的充要条件就是其互易积为零螺旋的互易积螺旋的互易积螺旋的代数运算螺旋的代数运算n两个螺旋两个螺旋 ，它们的互易积它们的互易积与与原点的选择无关原点的选择无关这两个新的螺旋的互易积为这两个新的螺旋的互易积为当原点从点当原点从点 O移动到点移动到点 A，这两个螺旋变成，这两个螺旋变成证明：证明：证毕证毕刚体的瞬时螺旋运动刚体的瞬时螺旋运动n在三维空间里刚体最一般的运动形式为螺旋运动，即同在三维空间里刚体最一般的运动形式为螺旋运动，即同时存在刚体绕轴的转动与沿同轴方向的移动。刚体的纯时存在刚体绕轴的转动与沿同轴方向的移动。刚体的纯转动和纯移动都只是螺旋运动的特殊情况。转动和纯移动都只是螺旋运动的特殊情况。刚体的瞬时螺旋运动刚体的瞬时螺旋运动n若刚体若刚体 2 相对刚体相对刚体 1做绕做绕 S 轴的瞬轴的瞬时转动，转动角速度时转动，转动角速度为为 刚体的瞬时转动刚体的瞬时转动n但转动轴线的空间位置还并不明确。但转动轴线的空间位置还并不明确。所以应采用角速度所以应采用角速度线矢量来表示物体的转动运动，即角速度的大小与一个线矢量来表示物体的转动运动，即角速度的大小与一个表示旋转轴作用线的单位线矢之积表示旋转轴作用线的单位线矢之积其中其中 为标量，为标量，S 为单位矢量。为单位矢量。其中其中 S0为为 S 对原点的线矩，与对原点的线矩，与 S 正交。正交。刚体的瞬时螺旋运动刚体的瞬时螺旋运动n转动轴线方程可写为转动轴线方程可写为n可以看出，可以看出，转动线矢量的第二项是刚体上与原点转动线矢量的第二项是刚体上与原点O重合重合的点的速度，也即是做旋转运动的物体上产生的原点重的点的速度，也即是做旋转运动的物体上产生的原点重合点的切向速度合点的切向速度n角速度线矢的第二项可以展开为角速度线矢的第二项可以展开为刚体的瞬时螺旋运动刚体的瞬时螺旋运动n构成刚体的转动线矢的对偶矢量是包括角速度矢量构成刚体的转动线矢的对偶矢量是包括角速度矢量 和刚体上与坐标原点重合点的线速度和刚体上与坐标原点重合点的线速度矢量矢量 v0n当坐标系原点与转轴重合当坐标系原点与转轴重合时，时，转动线矢变为，转动线矢变为n刚体的瞬时转动运动的刚体的瞬时转动运动的Plcker坐标为坐标为 刚体的瞬时螺旋运动刚体的瞬时螺旋运动n若刚体若刚体 2 相对刚体相对刚体 1做做移动运动移动运动，速，速度度v 沿单位矢量沿单位矢量 S方向方向，速度矢量可，速度矢量可以表示为以表示为刚体的瞬时移动刚体的瞬时移动n此单位矢量此单位矢量 S 通常是选在移动副导路的中心方向通常是选在移动副导路的中心方向。n当当S 平行移动后，不会改变刚体的运动状态，因此这样平行移动后，不会改变刚体的运动状态，因此这样的移动速度矢量是自由矢量。的移动速度矢量是自由矢量。刚体的瞬时螺旋运动刚体的瞬时螺旋运动n刚体的瞬时移动也可以看作是刚体的瞬时移动也可以看作是绕一个无穷远处的轴线的绕一个无穷远处的轴线的瞬时转动瞬时转动n由于无穷远处的轴线与由于无穷远处的轴线与 S 正交，且位于无穷远处，则此正交，且位于无穷远处，则此轴线的轴线的Plcker坐标为坐标为 (0;S)，绕此轴的瞬时转动，就可，绕此轴的瞬时转动，就可以表示为以表示为 v(0;S)或或(0;v)刚体的瞬时螺旋运动刚体的瞬时螺旋运动n若若刚体刚体 2 相对刚体相对刚体 1 既有相对转动又有相对移动既有相对转动又有相对移动n刚体通过回转副刚体通过回转副 1 绕轴绕轴S1 旋转旋转n刚体同时又通过移动副刚体同时又通过移动副 2 沿沿S2 做相对移动做相对移动刚体的瞬时转动和瞬时移动的合成刚体的瞬时转动和瞬时移动的合成n刚体的绝对瞬时运动应是此刚体的绝对瞬时运动应是此两个两个运动运动的合成，按的合成，按螺旋螺旋代代数和计算数和计算刚体的瞬时螺旋运动刚体的瞬时螺旋运动n其中下角标其中下角标 i 表示合成的绝对瞬时运动，其原部及对偶表示合成的绝对瞬时运动，其原部及对偶部分别是部分别是n可以可以看看出出n 与与 一般不满足正交的条件一般不满足正交的条件，为一般螺旋运动，为一般螺旋运动刚体的瞬时螺旋运动刚体的瞬时螺旋运动n则合成运动的节距为则合成运动的节距为n可以可以看看出若转动和移动的夹角出若转动和移动的夹角 ，则合运动螺旋的，则合运动螺旋的节距为零，说明合成后依然是一个纯转动，但转动的轴线节距为零，说明合成后依然是一个纯转动，但转动的轴线发生偏移，偏移量大小与发生偏移，偏移量大小与 v2大小有关大小有关。n合成运动的轴线为合成运动的轴线为 ，将前面得到的将前面得到的 、hi 代入可得代入可得刚体的瞬时螺旋运动刚体的瞬时螺旋运动n此时合成运动可表示为如下两项此时合成运动可表示为如下两项n右侧右侧第一项第一项：是绕轴线是绕轴线 Si 的纯转动的纯转动括号中的对偶矢量部分只表示原点括号中的对偶矢量部分只表示原点重合点的切向速度分量重合点的切向速度分量n则合成运动的轴线方程为则合成运动的轴线方程为n右侧右侧第二项第二项：是纯移动分量是纯移动分量，移动速度大小为移动速度大小为 而移动速度的方向也是沿而移动速度的方向也是沿 Si 方向方向刚体的瞬时螺旋运动刚体的瞬时螺旋运动n总之，刚体最一般的运动形式为螺旋运动，表示螺旋运动总之，刚体最一般的运动形式为螺旋运动，表示螺旋运动的物理量是的物理量是运动螺旋（运动螺旋（twist），记为，记为n螺旋的螺旋的节矩节矩还可还可表示为表示为n螺旋轴线为螺旋轴线为n这样合成运动的对偶矢量部分仍表示物体上原点重合点的这样合成运动的对偶矢量部分仍表示物体上原点重合点的速度速度（转动转动切向速度切向速度+沿螺旋轴移动速度）沿螺旋轴移动速度）刚体的瞬时螺旋运动刚体的瞬时螺旋运动n对偶对偶部部矢量矢量表示表示刚体上原点重合点的线速度矢量刚体上原点重合点的线速度矢量，既包含，既包含由转动产生的线速度也包含沿轴线的线速度，假设沿轴线由转动产生的线速度也包含沿轴线的线速度，假设沿轴线移动速度为移动速度为 vi，是与绕轴线的转动无关的量。，是与绕轴线的转动无关的量。n由于存在关系式由于存在关系式 ，可知，可知 ，即，即运动螺旋运动螺旋的节距还等于与螺旋轴线共线的速度的节距还等于与螺旋轴线共线的速度 vi 除以角速度除以角速度 i n当当 i 为零时，为零时，运动螺旋变为，运动螺旋变为n可见可见纯移动也可看作节距无穷大的螺旋运动纯移动也可看作节距无穷大的螺旋运动刚体的瞬时螺旋运动刚体的瞬时螺旋运动n例：例：已知一刚体的角速度矢为已知一刚体的角速度矢为 ，其上一点的线速度矢，其上一点的线速度矢为为 vP，两者方向不同。试求螺旋运动的节距及轴线。，两者方向不同。试求螺旋运动的节距及轴线。与与 共轴的线速度共轴的线速度分量分量为为则螺旋轴线为则螺旋轴线为将将线速度为线速度为 vP 的的点选做坐标原点，点选做坐标原点，则则 vP 即是物体即是物体上原点上原点重合点重合点的线速度的线速度，则螺旋节距为，则螺旋节距为由于由于力螺旋力螺旋n与表示刚体瞬时运动相似，刚体上与表示刚体瞬时运动相似，刚体上的作用力也可以用螺旋来表示。的作用力也可以用螺旋来表示。刚体上的作用力刚体上的作用力n此力对坐标原点之矩此力对坐标原点之矩C0可表示为，标量可表示为，标量 f 与单矢量与单矢量 S 的的线矩线矩 S0 之积之积，n如刚体上有一作用力如刚体上有一作用力 f，它可写为，它可写为标量标量 f 与单位矢量与单位矢量 S 之积之积力螺旋力螺旋nC0 是力是力 f 对原点之矩，即对原点之矩，即n此时表示此力的此时表示此力的 Plcker 坐标为坐标为n当力当力 f 过原点时过原点时，力对原点之矩为零，力对原点之矩为零，或或n所以作用在刚体上的力如以单位线矢所以作用在刚体上的力如以单位线矢量量表示表示力螺旋力螺旋n在刚体上作用两个大小相等方向相在刚体上作用两个大小相等方向相反的平行力反的平行力 f1、f2 刚体上的作用力偶刚体上的作用力偶n自由矢量的齐次坐标为自由矢量的齐次坐标为(0;S)，因此力偶可表示为，因此力偶可表示为n显然此力偶矢量显然此力偶矢量 C 是沿力偶平面的是沿力偶平面的法线方向。法线方向。n力偶是自由矢量，它在刚体内自由地平行移动而不会改力偶是自由矢量，它在刚体内自由地平行移动而不会改变它对刚体作用的效果。变它对刚体作用的效果。力螺旋力螺旋n这样力偶旋量这样力偶旋量 C$也可以认为是一个作用在刚体上的也可以认为是一个作用在刚体上的“无限无限远处的远处的”“无限小的力无限小的力”引起对原点的矩，该引起对原点的矩，该力的作用线与力的作用线与力矩的方向力矩的方向 S 正交正交。n此此无限远处的力所在轴线的无限远处的力所在轴线的 Plcker 坐标为坐标为(0;S)n所以所以由这个力产生的由这个力产生的力偶旋量可表示为力偶旋量可表示为力螺旋力螺旋n一般情况下作用于一个刚体上的空间力系都可以简化为一般情况下作用于一个刚体上的空间力系都可以简化为一个力一个力 和一个力偶和一个力偶刚体上的作用力和作用力偶的合成刚体上的作用力和作用力偶的合成n此力线矢及力偶螺旋又可按旋此力线矢及力偶螺旋又可按旋量代数和结合为一个和旋量量代数和结合为一个和旋量n这里这里S1及及S2都是单位矢量。此力都是单位矢量。此力和力偶可能有不同的方向和力偶可能有不同的方向n式中式中 Si 为单位矢量，为单位矢量，力螺旋力螺旋n根据螺旋代数和根据螺旋代数和的规则，的规则，合成力的合成力的原部和对偶部分别为原部和对偶部分别为n可以可以看看出出n 与与 一般不满足正交的条件一般不满足正交的条件，则为一个力螺旋，则为一个力螺旋力螺旋力螺旋n力螺旋的节距力螺旋的节距 hi 为为n可以可以看看出若力和力偶的夹角出若力和力偶的夹角 ，则合力螺旋的节，则合力螺旋的节距为零，说明合成后依然是一个作用力，但力的作用线距为零，说明合成后依然是一个作用力，但力的作用线发生偏移，偏移量大小与发生偏移，偏移量大小与 C2大小有关大小有关。n合力螺旋的轴线为合力螺旋的轴线为 ，将前面得到的，将前面得到的 、hi 代入可得代入可得力螺旋力螺旋n此时合力螺旋可表示为如下两项此时合力螺旋可表示为如下两项n右侧右侧第一项第一项：是是一个纯作用力，沿一个纯作用力，沿轴线轴线 S1方向方向，表示表示 对原点之矩。对原点之矩。n合成后作用力的作用轴线为合成后作用力的作用轴线为n右侧右侧第二项第二项：是纯是纯力偶，力偶大小为力偶，力偶大小为 而而力偶的作用力偶的作用方向也是沿方向也是沿 S1 方向方向力螺旋力螺旋n刚体上作用的空间任意力系，最后可以合成为一个有确定刚体上作用的空间任意力系，最后可以合成为一个有确定位置的位置的力螺旋力螺旋（wrench），即一个力线矢，即一个力线矢 和与其共线的力偶矢和与其共线的力偶矢 之和之和n力螺旋的力螺旋的节矩节矩还可还可表示为表示为n螺旋轴线为螺旋轴线为n力螺旋力螺旋的对偶矢量部分表示的对偶矢量部分表示或者说是整个力系对原点之矩或者说是整个力系对原点之矩（线矢力产生的矩（线矢力产生的矩+沿线矢力方向力偶矩）沿线矢力方向力偶矩）力螺旋力螺旋n假设力螺旋的对偶部矢量中沿线矢力轴线方向的力偶分量假设力螺旋的对偶部矢量中沿线矢力轴线方向的力偶分量为为 Ci，这是线矢力大小，这是线矢力大小 fi 无关的量。无关的量。n由于存在关系式由于存在关系式 ，可知，可知 ，即，即力螺旋的力螺旋的节距还等于与螺旋轴线共线的力偶节距还等于与螺旋轴线共线的力偶Ci 除以力的大小除以力的大小 fi n当当 fi 为零时，为零时，力螺旋变为，力螺旋变为n可见可见纯力偶也可看作节距无穷大的力螺旋纯力偶也可看作节距无穷大的力螺旋运动螺旋和力螺旋的对比运动螺旋和力螺旋的对比n比较运动学中的运动螺旋及静力学中的力螺旋，看到两者比较运动学中的运动螺旋及静力学中的力螺旋，看到两者都可以用一个数量与一个单位旋量的乘积表示，有相似的都可以用一个数量与一个单位旋量的乘积表示，有相似的数学关系。数学关系。n运动螺旋和力螺旋的节矩都是原点不变量运动螺旋和力螺旋的节矩都是原点不变量，都是沿螺旋方都是沿螺旋方向的两个量之比向的两个量之比。运动螺旋的节矩运动螺旋的节矩力力螺旋的节矩螺旋的节矩运动螺旋和力螺旋的对比运动螺旋和力螺旋的对比节距运动学静力学螺旋运动螺旋力螺旋线矢量角速度线矢力线矢自由矢量移动速度力偶矢n运动学及静力学中的物理量运动学及静力学中的物理量对比对比螺旋系及其相关性螺旋系及其相关性n螺旋系螺旋系（screw system）的概念可以从运动学引出的概念可以从运动学引出螺旋系螺旋系n因此，因此，决定刚体运动的所有螺旋所决定刚体运动的所有螺旋所组成的集合就是螺旋系组成的集合就是螺旋系。n对于一个开链机构，或开链机器人，末端刚体的运动可对于一个开链机构，或开链机器人，末端刚体的运动可以表示为诸构件运动的叠加；当每个运动表示为螺旋时，以表示为诸构件运动的叠加；当每个运动表示为螺旋时，末端的运动就是诸螺旋的线性组合。末端的运动就是诸螺旋的线性组合。n适合线性组合规则的诸螺旋构成一适合线性组合规则的诸螺旋构成一个螺旋系个螺旋系。螺旋系及其相关性螺旋系及其相关性n线性无关的螺旋最多只有六个线性无关的螺旋最多只有六个。n按螺旋的数目螺旋系可分为按螺旋的数目螺旋系可分为：仅含一个螺旋的单螺旋系，仅含一个螺旋的单螺旋系，含两个线性无关螺旋的双螺旋系，也称螺旋含两个线性无关螺旋的双螺旋系，也称螺旋2系或系或2系螺系螺旋；含旋；含3个线性无关螺旋的个线性无关螺旋的3系螺旋，以及系螺旋，以及4系螺旋，系螺旋，5系系螺旋和螺旋和6系螺旋等等系螺旋等等n在这些螺旋系中在这些螺旋系中螺旋螺旋2系系及及螺旋螺旋3系系是最重要又是最基本是最重要又是最基本的，研究的也比较充分的，研究的也比较充分螺旋系及其相关性螺旋系及其相关性n例：例：一个串联机械臂的螺旋系一个串联机械臂的螺旋系 当所有运动副都表示为螺旋时，按理论力学，其末端当所有运动副都表示为螺旋时，按理论力学，其末端件的运动是所有连接构件运动的叠加，在这里也就是所有件的运动是所有连接构件运动的叠加，在这里也就是所有螺旋的线性组合，这些螺旋就构成一个典型的螺旋系。螺旋的线性组合，这些螺旋就构成一个典型的螺旋系。由于每个运动副有一个相对由于每个运动副有一个相对转动角速度转动角速度 i，运动可以用一个，运动可以用一个螺旋螺旋$i 表示，则这个运动副的相表示，则这个运动副的相对运动就可以表示为对运动就可以表示为 i$i。螺旋系及其相关性螺旋系及其相关性n例：例：一个串联机械臂的螺旋系一个串联机械臂的螺旋系末端件的瞬时运动可以由下面的螺旋方程求得末端件的瞬时运动可以由下面的螺旋方程求得这里的这里的 n 个螺旋，个螺旋，$1,$2,$n，就，就构成了一个螺旋系。当构成了一个螺旋系。当 n 6 时时，它，它们线性们线性无无关关，构成一个，构成一个 n 系螺旋。系螺旋。其中其中螺旋系及其相关性螺旋系及其相关性n对于对于 n 个螺旋个螺旋，若可以若可以找到一找到一组不全为零的实数组不全为零的实数 i，使得和螺旋为零，使得和螺旋为零，则这则这 n 个螺旋为线性相关个螺旋为线性相关螺旋的相关性螺旋的相关性n按螺旋的加法规则，则按螺旋的加法规则，则这些螺旋的原部和对偶部的和分这些螺旋的原部和对偶部的和分别为零，即别为零，即螺旋系及其相关性螺旋系及其相关性n螺旋系的线性相关可以由用螺旋系的线性相关可以由用Plcker坐标所表示的螺旋坐标所表示的螺旋矩阵的秩来判断。矩阵的秩来判断。如前所述螺旋的如前所述螺旋的Plcker坐标可以表示为这样的坐标可以表示为这样的6个元素个元素（l m n;p q r）。）。n个螺旋系的相关性，就可以由螺旋个螺旋系的相关性，就可以由螺旋系的系的Plcker坐标表示的矩阵的秩来判断坐标表示的矩阵的秩来判断n螺旋的螺旋的Plcker坐标有坐标有6个分量，显然三维空间中线性无个分量，显然三维空间中线性无关的螺旋的数目最多关的螺旋的数目最多6个个。螺旋系及其相关性螺旋系及其相关性n螺旋的相关性与坐标系的选择无关螺旋的相关性与坐标系的选择无关设有设有n个螺旋，其原部和对偶部对于坐标系个螺旋，其原部和对偶部对于坐标系O表示为表示为已知这已知这n个螺旋是线性相关的，按螺旋线性相关的定义，个螺旋是线性相关的，按螺旋线性相关的定义，必可找到一组不全为零的数必可找到一组不全为零的数 i，使得和螺旋为零，使得和螺旋为零当坐标系由当坐标系由O点移至点移至A点后，各螺旋相应地表示为点后，各螺旋相应地表示为证明：证明：螺旋系及其相关性螺旋系及其相关性n螺旋的相关性与坐标系的选择无关螺旋的相关性与坐标系的选择无关按螺旋做和原理和螺旋为按螺旋做和原理和螺旋为证明（续）：证明（续）：和螺旋原部及对偶部三项均为零，所以仍保持有和螺旋原部及对偶部三项均为零，所以仍保持有证毕证毕螺旋系及其相关性螺旋系及其相关性n将空间直线的相关性按其表达螺旋的秩来分类将空间直线的相关性按其表达螺旋的秩来分类Grassmann线几何原理（线矢量的相关性）线几何原理（线矢量的相关性）n线簇秩为线簇秩为 1 时，在时，在3维空间仅有一条直线。维空间仅有一条直线。n线簇秩为线簇秩为 2 时，有两种情况：时，有两种情况：(a)空间相错的两条直线空间相错的两条直线 (b)平面汇交的线束平面汇交的线束螺旋系及其相关性螺旋系及其相关性n线簇秩为线簇秩为 3 时，常见有四种情况。时，常见有四种情况。(a)空间不平行不相交的三条直线（单叶双曲面）空间不平行不相交的三条直线（单叶双曲面）(b)汇交点在两个平面的交线上的两个平面线束汇交点在两个平面的交线上的两个平面线束 (c)空间共点线束空间共点线束 (d)共面线束共面线束螺旋系及其相关性螺旋系及其相关性n线簇秩为线簇秩为 4 时，也称为线汇，常见有四种情况。时，也称为线汇，常见有四种情况。(4a)四条相互在空间不平行不相交的直线四条相互在空间不平行不相交的直线 (4b)能同时与另两条直线相交的能同时与另两条直线相交的若干若干条直线条直线 (4c)有有1条公共交线的条公共交线的3个平面线束个平面线束 (4d)包括共点包括共点及及共面的直线簇，而且汇交点在其平面上共面的直线簇，而且汇交点在其平面上螺旋系及其相关性螺旋系及其相关性n线簇秩为线簇秩为 5 时，也称为线性丛，常见有两种情况。时，也称为线性丛，常见有两种情况。(5a)一般线性丛，线性无关的空间五条不相交的直线一般线性丛，线性无关的空间五条不相交的直线 (5b)特殊线性丛，所有直线能与一条直线相交（特殊线性丛，所有直线能与一条直线相交（因为选因为选该公共该公共交交线为线为Z轴时，轴时，所有直线所有直线对对Z轴轴的线矩为零的线矩为零）螺旋系及其相关性螺旋系及其相关性偶量的相关性偶量的相关性n偶量的情况比较简单，由于偶量为自由矢量，方向相同偶量的情况比较简单，由于偶量为自由矢量，方向相同的偶量都是线性相关的，因此只有如下三种情况：的偶量都是线性相关的，因此只有如下三种情况：(a)相同方向的偶量只有一个是独立的相同方向的偶量只有一个是独立的 (b)平面中存在两个独立的偶量平面中存在两个独立的偶量 (c)三维空间中存在三个独立的偶量三维空间中存在三个独立的偶量螺旋系及其相关性螺旋系及其相关性线矢量和偶量的混合螺旋系线矢量和偶量的混合螺旋系n两平行线矢和一法向偶量两平行线矢和一法向偶量 如果某物体承受了如果某物体承受了 3 个螺旋，个螺旋，$1，$2 和和$3。前。前2个是个是节距为零的线矢量，第节距为零的线矢量，第 3 个是节距为无穷大的偶量，而个是节距为无穷大的偶量，而且后者与前且后者与前2个螺旋轴线组成的平面相垂直个螺旋轴线组成的平面相垂直可以看出：线性无关的只有两个可以看出：线性无关的只有两个螺旋系及其相关性螺旋系及其相关性线矢量和偶量的混合螺旋系线矢量和偶量的混合螺旋系n共面三线矢和一法向偶量共面三线矢和一法向偶量 如果如果空间有四个螺旋空间有四个螺旋，$1，$2，$3和和$4。前。前3个是节个是节距为零的线矢量距为零的线矢量且它们共面且它们共面，第，第 4 个是节距为无穷大的个是节距为无穷大的偶量，而且与前偶量，而且与前3个螺旋轴线个螺旋轴线所在所在的平面相垂直的平面相垂直可以看出：线性无关的只有三个可以看出：线性无关的只有三个螺旋系及其相关性螺旋系及其相关性线矢量和偶量的混合螺旋系线矢量和偶量的混合螺旋系n空间平行三线矢及一个相垂直的偶量空间平行三线矢及一个相垂直的偶量 这四这四个螺旋个螺旋，$1，$2，$3和和$4 中，中，前前3个是节距为个是节距为零零且相互平行且相互平行的线矢量，的线矢量，它们分布在空间不同的平行平面它们分布在空间不同的平行平面上，上，第第 4 个是节距为无穷大的偶量，个是节距为无穷大的偶量，而且而且后者后者与与前前3个个螺旋螺旋轴线轴线相相垂直垂直。可以看出：线性无关的只有三个可以看出：线性无关的只有三个螺旋系及其相关性螺旋系及其相关性序号序号几何特点几何特点图示图示线矢线矢偶量偶量1共轴112平面平行213平面汇交224空间平行315共面326空间共点33螺旋系及其相关性螺旋系及其相关性序号序号几何特点几何特点图示图示线矢线矢偶量偶量7单页双曲面上不相交的直线3-8（a）有公共交线，且交角为一定；（b）有一条公共交线；（c）有两条公共交线；（d）有三条公共交线；4543-9平行平面，且无公垂线5-10三维空间任意情况63螺旋系及其相关性螺旋系及其相关性序号序号几何特点几何特