导数选择题的常用解题策略.pdf

导数选择题的常用解题策略安徽省阜阳第一中学 赵 慧 在高考试卷中,选择题占有相当大的比例,而有关导数的选择题一般有一定的综合性与深度,对知识与素养要求较高。因此,做好导数选择题对取得高分尤为必要。解导数选择题的基本原则是准确、迅速。在解答时,应结合导数知识本身的特点,尽量减少书写过程,灵活、快速地得出答案。下面是解导数选择题的常用策略。一、按部就班,常规处理例1(2 0 2 2年新高考卷)(多选)已知函数f(x)=x3-x+1,则()。A.f(x)有两个极值点B.f(x)有三个零点C.点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心D.直线y=2x是曲线y=f(x)的切线解析:f(x)=3x2-1,令f(x)=0,得x=33。所以f(x)在-,-33 上单调递增,在-33,33 上单调递减,在33,+上单调递增,f(x)有两个极值点,选项A正确。易知f-33 0,f33 0,且x-,f(x)-,故f(x)只有一个零点,选项B错误。对于选项C,验证知f(-x)+f(x)=2成立,于是选项C正确。令g(x)=x3-x,g(x)是奇函数,关于点(0,0)对称。而y=g(x)的图像向上平移一个单位长度得到y=f(x)的图像,所以y=f(x)关于点(0,1)对称。令f(x)=2,得x=1。当x=1时,切线为y=2x-1;当x=-1时,切线为y=2x+3。选项D错误。故选A C。评注:大部分选择题会使用此策略。二、数形结合,直观快捷例2(2 0 2 1年新高考卷)若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线,则()。A.eba B.eabC.0 a eb D.0 bba B.bacC.abc D.acb解析:解导数题时,常用到以下重要结论:当0 x2时,s i n xxt a n x;exx+1;ex ex;l n xx-1;l n x1ex。b-c=4 c o s1414-t a n14 b。a-b=3 13 2-c o s14=1-1214 2-c o s14。令f(x)=1-12x2-c o s x0 x14 。f(x)=s i n x-x 0,所以f(x)在区间0,14 上单调递减,f14 a。故选A。13解题篇 经典题突破方法 高二数学 2 0 2 4年3月 评注:选择题只求结果,不考过程,解题时应用积累的结论可节省时间。四、选取对数,简化运算例4 若 任 意x,a(0,+),ea x+2a ba2x,则b的取值范围为()。A.1e,+B.12 e,+C.1e2,+D.12 e2,+解析:不等式ea x+2a ba2x,两边取对数得a x+2a bl n a2+l n x,即a x-l n x+2b a-2 l n a 0。令f(x)=a x-l n x+2b a-2 l n a,由f(x)=a x-1x=0,得x=1a。易得f(x)m i n=f1a =1+2b a-l n a0,分 离 参 数 得2bl n a-1a。令g(a)=l n a-1a,由g(a)=2-l n aa2=0,得a=e2,易 得g(a)m a x=g(e2)=1e2。于是2b1e2,即b12 e2,选D。评注:数学中取对数可降低运算级别,达到简化运算的效果。五、局部入手,先分后合例5 已知函数f(x)=ea-x+x22+4x-l n(x+4)+ex-a+2 l n 1 54存在零点,则a=()。A.-2 B.l n1 54-2C.-3 D.l n1 54-3解析:令g(x)=ea-x+ex-a+2 l n 1 54,(x)=x22+4x-l n(x+4)。g(x)2 ea-xex-a+2 l n 1 54=1 52,当 且 仅 当ea-x=ex-a+2 l n 1 54,即x=a-l n1 54时 取 等 号。令(x)=(x+4)2-1x+4=0,得x=-3。所以(x)在(-4,-3)上 单 调 递 减,在(-3,+)上单调递增,(x)m i n=(-3)=-1 52。故f(x)=g(x)+(x)1 52+-1 52 =0。又f(x)存在零点,故g(x)=1 52与(x)=-1 52必须同时成立,于是a-l n1 54=-3,解得a=l n1 54-3。选D。评注:解题有时需先研究局部,再进行整合,以达到化整为零,各个击破的目的。六、换元、同构,化难为易例6 已知函数f(x)=ex-1x-x+l n(x)(0)存在零点,则的取值范围为()。A.(0,1 B.1,+)C.(0,3 D.3,+)解析:f(x)存在零点,即方程f(x)=0有解。可化为方程ex-l n(x)-1-x-l n(x)=0有解。令t=x-l n(x),易得et-1-t=0的解为t=1,所以方程x-l n(x)=1有解。令g(x)=x-l n(x)-1,由g(x)=x-1x=0,得x=1。所以g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增,g(x)m i n=g(1)=-l n。于是-l n 0,解得 1。故选B。例7 已知函数f(x)=aex-1-l n x+l n a,g(x)=(1-e)x,若ef(x)g(x),则a的取值范围为()。A.1e,1 B.1e,+C.1,+)D.e,+)解析:ef(x)g(x)可 化 为ex+l n a+e(x+l n a)el n x+e l n x。令(x)=ex+ex,即(x+l n a)(l n x)。而(x)单调递增,所以x+l n a l n x,即l n a l n x-x。易得h(x)=l n x-x的最大值为-1,于是l n a-1,解得a1e。故选B。评注:解题时通过换元,构建同构式,可化繁为简,使问题得到较快解决。(责任编辑 徐利杰)23 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2 0 2 4年3月