余式定理及因式定理的应用.doc

初二数学竞赛培训专题：
余式定理及因式定理的应用

初二（ ）班 姓名： 学号： _

一、知识要点：
1、的意义：已知多项式，若把用带入所得到的值，即称为在=的多项式值，用表示。

2、被除式、除式、商式、余式之间的关系：设多项式除以所得的商式为，余式为，则：=×+

3、余式定理：多项式除以之余式为；多项式除以之余式。
4、因式定理：设，，为关于的多项式，则为的因式；
为的因式。

二、余式定理应用：
1、（1）已知， 求f(x)除以、所得的余式；
（2）设f(x)=2x2+kx+10除以2x–1余5，求k的值；
（3）以x2–3x–4除多项式f(x)与g(x)，分别得余式3x+2与–4x+7， 求以x–4除f(x)+g(x) 所得的余式。

2、设，求f (7)。

3、计算：（1）；
（2）。

4、（1）、都是多项式，已知，，则以除之余式是什么？
（2）除以之余式为，且除以之余式为 ，则除的余式是什么？

三、因式定理应用：
1、设x–2为f(x)=3x3+x2–kx+5的因式，试求k的值。

2、已知x+1与x–2都是的因式，试求a与b的值。

3、设k为负整数，若f (x) = x4 - 2x3 + x2 + kx - 3有整系数一次因式，求k之值。

4、设x 3 +x2 – 47x–15 有因式 3x+1 与 2x–3，则第三个因式是什么？

5、试证明：
(1)是的因式。
(2)是的因式。(是正整数)
(3)f(x)=(x+6)n–1可被x+5整除。(是正整数)

四、整系数一次因式检验法：
设f(x)＝为整系数多项式，若ax–b为f(x)之因式(其中a , b 为整数 , a0 , 且a , b互质)，则
（1） （2）( a–b )

例1、设，试问下列何者是f(x)的因式？ (1)2x–1 ，(2) x–2，(3) 3x–1，(4) 4x＋1，(5) x–1，(6) 3x–4

例2、把下列多项式分解因式：
(1) (2) (3) 　（4）
（5）

五、用待定系数法求多项式：
技巧：若除以之余式为，若的次数为n，则可设：。

1、已知多项式，且，，则除以的余式是什么？

2、除以得余式，除以得余式，则除以的余式是什么？

3、设次多项式f(x)除以，，的余式分别是3, 7, 13,试求f(x)除以的余式？

4、 除以得余式，除以得余式，则除以的余式为何？

5、设多项式f(x)为三次多项式式，若f(1)= f(2)=f(3)= 0，f(4)=12，试求？

6、设多项式f(x)为二次多项式式，且f (1998) = 1，f (1999) = 2，f (2000) = 7，求f (2002)。

7、设实系数f(x)= x3+ax2+bx+c 且 f(x) 除以x+1 的余式为9 ，除以x2–x+1 的余式为5x+2，试求a,b,c的值。

8、求整数（1310 + 134 + 1）除以整数（132 + 13 + 1）所得的余数。

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