余式定理及因式定理的应用.doc

初二数学竞赛培训专题：余式定理及因式定理的应用初二（ ）班 姓名： 学号： _一、知识要点：1、的意义：已知多项式，若把用带入所得到的值，即称为在=的多项式值，用表示。2、被除式、除式、商式、余式之间的关系：设多项式除以所得的商式为，余式为，则：=+3、余式定理：多项式除以之余式为；多项式除以之余式。4、因式定理：设，为关于的多项式，则为的因式；为的因式。二、余式定理应用：1、（1）已知， 求f(x)除以、所得的余式；（2）设f(x)=2x2+kx+10除以2x1余5，求k的值；（3）以x23x4除多项式f(x)与g(x)，分别得余式3x+2与4x+7， 求以x4除f(x)+g(x) 所得的余式。2、设，求f (7)。3、计算：（1）；（2）。4、（1）、都是多项式，已知，则以除之余式是什么？（2）除以之余式为，且除以之余式为 ，则除的余式是什么？三、因式定理应用：1、设x2为f(x)=3x3+x2kx+5的因式，试求k的值。2、已知x+1与x2都是的因式，试求a与b的值。3、设k为负整数，若f (x) = x4 - 2x3 + x2 + kx - 3有整系数一次因式，求k之值。4、设x 3 +x2 47x15 有因式 3x+1 与 2x3，则第三个因式是什么？ 5、试证明：(1)是的因式。(2)是的因式。(是正整数)(3)f(x)=(x+6)n1可被x+5整除。(是正整数)四、整系数一次因式检验法：设f(x)为整系数多项式，若axb为f(x)之因式(其中a , b 为整数 , a0 , 且a , b互质)，则（1）（2）( ab )例1、设，试问下列何者是f(x)的因式？ (1)2x1 ，(2) x2，(3) 3x1，(4) 4x1，(5) x1，(6) 3x4例2、把下列多项式分解因式：(1) (2) (3) （4）（5）五、用待定系数法求多项式：技巧：若除以之余式为，若的次数为n，则可设：。1、已知多项式，且，则除以的余式是什么？2、除以得余式，除以得余式，则除以的余式是什么？3、设次多项式f(x)除以，的余式分别是3, 7, 13,试求f(x)除以的余式？4、除以得余式，除以得余式，则除以的余式为何？5、设多项式f(x)为三次多项式式，若f(1)= f(2)=f(3)= 0，f(4)=12，试求？6、设多项式f(x)为二次多项式式，且f (1998) = 1，f (1999) = 2，f (2000) = 7，求f (2002)。7、设实系数f(x)= x3+ax2+bx+c 且 f(x) 除以x+1 的余式为9 ，除以x2x+1 的余式为5x+2，试求a,b,c的值。8、求整数（1310 + 134 + 1）除以整数（132 + 13 + 1）所得的余数。 5