转化与化归思想解决不等式问题.doc

(完整版)转化与化归思想解决不等式问题
第二讲 不等式、线性规划
转化与化归思想解决不等式中的有关问题
典例分析
迁移应用
【典例】（2015聊城模拟）已知不等式，
（1）若对一切恒成立,则实数的取值范围是
（2）若对一切恒成立,则实数的取值范围是
【思想模板】（1)根据不等式对一切恒成立，求实数的取值范围,想到转化与化归的思想方法,分离参数后把问题转化为求函数的最值问题；
（2）看到不等式对一切恒成立,求实数的取值范围，想到转化与化归的思想方法，变换主元,把问题转化为函数的最值问题。
（2015重庆模拟）若正实数满足
，且不等式
恒成立,
则实数的取值范围是
【思想模板】看到含有三个变量的不等式
恒成立，想到分离出参数,把问题转化为求函数的最值问题.
【解析】∵正实数满足
，即x+2y=4xy-4，
∴不等式
恒成立，即恒成立，变形得恒成立，即恒成立。
∵x>0,y>0，∴，
∴4xy=x+2y+4 ，即

或（舍去）,可得，
要使恒成立,
只需恒成立，
化简得，解得或
。.
【答案】

【解析】（1）因为,不等式可化为，
设，，则，故函数在上单调递增,则的最小值为,即，
所以，故实数的取值范围是。
（2）因为，则将原式子看做关于的函数，即
，由题意可知，
解得，或，故实数的取值范围是
。
【答案】（1) (2）
【思想启迪】解(1)题的关键是分离参数,构造函数，不不等式在闭区间上的恒成立问题转化为求函数在闭区间上的最小值问题；解（2）题的关键是根据已知的不等式构造出关于的函数,把问题转化为求函数的最小值问题，对于这两个题目要区别哪个量的范围是已知条件.
【易错提醒】解（1）时求函数的最小值容易出现的失误是利用基本不等式求其最小值，而事实上由于，基本不等式中的等号是不成立的，即不能用其求最小值。