2019长春高三二模数学理科.doc

长春市普通高中2019届高三质量监测（二）数学试题卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，则在复平面内对应的点位于A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2.集合，则A. B. C. D. 3.命题“”的否定是A. B. C. D. 4.下列函数中，在内单调递减的是A. B. C. D. 5.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为A. B. C. D. 6.等差数列中，是它的前项的和，则该数列的公差为A. B. C. D. 7.右边的折线图给出的是甲、乙两只股票在某年中每月的收盘价格，已知股票甲的极差是元，标准差为元；股票乙的极差为元，标准差为元，根据这两只股票在这一年中的波动程度，给出下列结论：股票甲在这一年中波动相对较小，表现的更加稳定；购买股票乙风险高但可能获得高回报；股票甲的走势相对平稳，股票乙的股价波动较大；两只股票在全年都处于上升趋势.其中正确结论的个数是A. B. C. D. 收盘价/元乙1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 124035302520151050收盘价/元甲8.直线绕原点顺时针旋转得到直线，若的倾斜角为，则的值为A. B. C. D. 9.正方形边长为，点为边的中点，为边上一点，若，则A. B. C. D. 10.已知曲线在点处的切线为，则下列各点中不可能在直线上的是A. B. C. D. 11.已知双曲线的左、右焦点分别为，过且与渐近线垂直的直线分别与该渐近线和轴相交于两点，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为，A. B. C. D. 12.定义在上的函数有零点，且值域 ，则的取值范围是A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13.已知实数满足，则的最大值为 .14. 直线与抛物线围成的封闭图形的面积为 .15.在中，角的对边分别为，则的面积的最大值为 .16.正方体的棱长为，分别是的中点，则过且与平行的平面截正方体所得截面的面积为 ，和该截面所成角的正弦值为 .三、解答题：共70份，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答，第2223选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.(本小题满分12分) 各项均为整数的等差数列，其前项和为，成等比数列.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和.18. (本小题满分12分) 某研究机构随机调查了两个企业各名员工，得到了企业员工收入的频数分布表以及企业员工收入的统计图如下：（1）若将频率视为概率，现从企业中随机抽取一名员工，求该员工收入不低于元的概率；（2）若从企业收入在的员工中，按分层抽样的方式抽取人，而后在此人中随机抽取人，求这人收入在的人数的分布列；若你是一名即将就业的大学生，根据上述调查结果，并结合统计学相关知识，你会选择去哪个企业就业，并说明理由.19. (本小题满分12分) 在四棱锥中, 底面为直角梯形， ,，平面，,是的中点.(1)求证: 平面平面；(2)求二面角的余弦值.20. (本小题满分12分)已知椭圆的左、右焦点为，是椭圆上一点，且满足轴，离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）若点为轴正半轴上的定点，过点的直线交椭圆于两点，设为坐标原点，,求点的坐标.21. (本小题满分12分) 已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若方程有两个实数根，求实数的取值范围.（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.22. (本小题满分10分)选修4-4 坐标系与参数方程选讲 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程以及曲线的参数方程；（2）当时，为曲线上动点，求点到直线距离的最大值.23. (本小题满分10分) 选修4-5 不等式选讲已知函数.(1)求不等式的解集；(2) 若不等式的解集为，求的取值范围.长春市普通高中2019届高三质量监测（二）数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.B【命题意图】本题考查复数的运算. 【试题解析】B .故选B. 2.A【命题意图】本题考查集合运算. 【试题解析】A .故选A. 3.D【命题意图】本题考查含有一个量词的否定.【试题解析】D易知. 故选D. 4.A【命题意图】本题主要考查函数的性质.【试题解析】A 易知. 故选A.5.B【命题意图】本题考查三视图的相关知识.【试题解析】B易知. 故选B.6.C【命题意图】本题主要考查等差数列的相关知识. 【试题解析】C.故选C 7.C【命题意图】本题考查统计识图能力.【试题解析】C易知正确.故选C. 8.D【命题意图】本题主要考查倾斜角及三角恒等变换的相关知识. 【试题解析】D由题意可知.故选D. 9.D【命题意图】本题主要考查平面向量的相关知识. 【试题解析】D由数量积的几何意义可知，由是中点，所以.故选D. 10.C【命题意图】本题主要考查数形结合思想的运用. 【试题解析】C 画出切线扫过的区域，如图所示，则不可能在直线上的点为.故选C. 11.B【命题意图】本题考查双曲线的相关知识. 【试题解析】B由题意可知所以，从而.故选B. 12.C【命题意图】本题是考查三角函数的相关知识. 【试题解析】C由，有，所以，从而. 故选C.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 【命题意图】本题考查线性规划问题. 【试题解析】由可行域可确定目标函数在处取最大值. 14. 【命题意图】本题是考查定积分运算. 【试题解析】由题意封闭图形的面积为. 15. 【命题意图】本题是考查解三角形的相关知识. 【试题解析】由得，所以所以所以，因为有，由余弦定理得，从而. 所以所以所以16. ； 【命题意图】本题是考查线面平行性质与判定，线面角的计算. 【试题解析】取的中点，则平面过与平行，易求矩形的面积为，取中点，所以为和该截面所成角，从而（或者由空间向量计算求解）.三、解答题17.(本小题满分12分)【命题意图】本题考查数列的基本方法. 【试题解析】解：（1）由题意可知，可得.（6分）（2）由（1），.（12分）18.(本小题满分12分)【命题意图】本题考查统计知识及概率相关知识.【试题解析】解：（1）由饼状图知工资超过5000的有68人，故概率为0.68.（4分）012（2）A企业2000,5000)中三个不同层次人数比为1:2:4，即按照分层抽样7人所抽取的收入在3000,4000)的人数为2. 的取值为0,1,2，因此，的分布列为：（9分） A企业的员工平均收入为：B企业的员工平均收入为：. 参考答案1：选企业B，由于B企业员工的平均收入高. 参考答案2：选企业A，A企业员工的平均收入只比B企业低10元，但是A企业有高收入的团体，说明发展空间较大，获得8000元以上的高收入是有可能的. 参考答案3：选企业B，由于B企业员工平均收入不仅高，且低收入人数少.（如有其它情况，只要理由充分，也可给分）（12分） 19.(本小题满分12分)【命题意图】本小题以四棱锥为载体，考查立体几何的基础知识. 本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.【试题解析】解：（1）在直角梯形中，在中，由余弦定理，又，有是等腰三角形，所以，平面，所以平面平面.（6分）（2）以为原点，为轴，建立空间直角坐标系，有，令平面的法向量为，由，可得一个，由（1）可知平面的一个法向量为，所以经计算的余弦值为. （12分）20.(本小题满分12分)【命题意图】本小题考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆的相关知识.【试题解析】解：（1）由题意知，所以. （4分）（2）设，设，由条件可得，联立直线和椭圆，有，有， 由，由韦达定理可得. （12分）21.(本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的相关知识，以导数为工具研究函数的方法，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】解：（1）由题可得， 当时，在上单调递增；当时，在上单调递增；，在上单调递减.（4分）（2）令，易知单调递增且一定有大于0的零点，不妨设为，即，故若有有两个零点，需满足，即令，所以在上单调递减，由，所以的解集为，由，所以当时，有，令，由于，所以，故，所以，故，在上有唯一零点，另一方面，在上，当时，由增长速度大，所以有，综上，. （12分）22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识.【试题解析】（1）直线的普通方程为，曲线的极坐标方程可化为，化简可得. （5分）（2）当时，直线的普通方程为. 有点的直角坐标方程，可设点的坐标为因此点到直线的距离可表示为当时，取最大值为.（10分）23.(本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式等内容. 本小题重点考查化归与转化思想.【试题解析】（1）由，则. （5分）（2）由的解集为可知：，即. （10分）2019长春二模理科数学 第 9 页 共 9 页