2019长春高三二模数学理科.doc

长春市普通高中2019届高三质量监测（二）数学试题卷（理科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数，则在复平面内对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.集合，则
A. B. C. D.
3.命题“”的否定是
A. B.
C. D.
4.下列函数中，在内单调递减的是
A. B. C. D.
5.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为
A. B. C. D.

6.等差数列中，是它的前项的和，，，则该数列的公差为
A. B. C. D.
7.右边的折线图给出的是甲、乙两只股票在某年中每月的收盘价格，已知股票甲的极差是元，标准差为元；股票乙的极差为元，标准差为元，根据这两只股票在这一年中的波动程度，给出下列结论：
①股票甲在这一年中波动相对较小，表现的更加稳定；
②购买股票乙风险高但可能获得高回报；
③股票甲的走势相对平稳股票乙的股价波动较大；
④两只股票在全年都处于上升趋势.
其中正确结论的个数是
A. B. C. D.
收盘价/元乙
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
40
35
30
25
20
15
10
5
0
收盘价/元甲

8.直线绕原点顺时针旋转得到直线，若的倾斜角为，则的值为
A. B. C. D.
9.正方形边长为，点为边的中点，为边上一点，若，则
A. B. C. D.

10.已知曲线在点处的切线为，则下列各点中不可能在直线上的是
A. B. C. D.
11.已知双曲线的左、右焦点分别为，过且与渐近线垂直的直线分别与该渐近线和轴相交于两点，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为，
A. B. C. D.
12.定义在上的函数有零点，且值域 ，则的取值范围是
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分.
13.已知实数满足，则的最大值为 .
14. 直线与抛物线围成的封闭图形的面积为 .
15.在中，角的对边分别为，，，则的面积的最大值为 .
16.正方体的棱长为，分别是的中点，则过且与平行的平面截正方体所得截面的面积为 ，和该截面所成角的正弦值为 .
三、解答题：共70份，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22~23选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分
17.(本小题满分12分)
各项均为整数的等差数列，其前项和为，成等比数列.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和.
18. (本小题满分12分)
某研究机构随机调查了两个企业各名员工，得到了企业员工收入的频数分布表以及企业员工收入的统计图如下：

（1）若将频率视为概率，现从企业中随机抽取一名员工，求该员工收入不低于元的概率；
（2）①若从企业收入在的员工中，按分层抽样的方式抽取人，而后在此人中随机抽取人，求这人收入在的人数的分布列；
②若你是一名即将就业的大学生，根据上述调查结果，并结合统计学相关知识，你会选择去哪个企业就业，并说明理由.
19. (本小题满分12分)
在四棱锥中, 底面为直角梯形， ,
，平面，,是的中点.
(1)求证: 平面平面；
(2)求二面角的余弦值.

20. (本小题满分12分)
已知椭圆的左、右焦点为，是椭圆上一点，且满足轴，，离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点为轴正半轴上的定点，过点的直线交椭圆于两点，设为坐标原点，,求点的坐标.
21. (本小题满分12分)
已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若方程有两个实数根，求实数的取值范围.
（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.
22. (本小题满分10分)选修4-4 坐标系与参数方程选讲
在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求直线的普通方程以及曲线的参数方程；
（2）当时，为曲线上动点，求点到直线距离的最大值.

23. (本小题满分10分) 选修4-5 不等式选讲
已知函数.
(1)求不等式的解集；
(2) 若不等式的解集为，求的取值范围.

长春市普通高中2019届高三质量监测（二）
数学（理科）试题参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1.B【命题意图】本题考查复数的运算.
【试题解析】B .故选B.
2.A【命题意图】本题考查集合运算.
【试题解析】A .故选A.
3.D【命题意图】本题考查含有一个量词的否定.
【试题解析】D　易知. 故选D.
4.A【命题意图】本题主要考查函数的性质.
【试题解析】A 易知. 故选A.
5.B【命题意图】本题考查三视图的相关知识.
【试题解析】B　易知. 故选B.
6.C【命题意图】本题主要考查等差数列的相关知识.
【试题解析】C　.故选C
7.C【命题意图】本题考查统计识图能力.
【试题解析】C　易知①②③正确.故选C.
8.D【命题意图】本题主要考查倾斜角及三角恒等变换的相关知识.
【试题解析】D 由题意可知
.故选D.
9.D【命题意图】本题主要考查平面向量的相关知识.
试题解析】D　由数量积的几何意义可知，由是中点，所以.故选D.
10.C【命题意图】本题主要考查数形结合思想的运用.
【试题解析】C 画出切线扫过的区域，如图所 示，则不可能在直线上的点为.故选C.
11.B【命题意图】本题考查双曲线的相关知识.
【试题解析】B　由题意可知所以，
从而.故选B.
12.C【命题意图】本题是考查三角函数的相关知识.
【试题解析】C　由，有，所以，从而. 故选C.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 【命题意图】本题考查线性规划问题.
.
【试题解析】由可行域可确定目标函数在处取最大值.
14. 【命题意图】本题是考查定积分运算.
【试题解析】由题意封闭图形的面积为.
15. 【命题意图】本题是考查解三角形的相关知识.
【试题解析】由得，所以所以所以，因为有，由余弦定理得，从而. 所以所以所以
16. ； 【命题意图】本题是考查线面平行性质与判定，线面角的计算.
【试题解析】取的中点，则平面过与平行，易求矩形的面积为，取中点，所以为和该截面所成角，从而（或者由空间向量计算求解）.
三、解答题
17.(本小题满分12分)
【命题意图】本题考查数列的基本方法.
【试题解析】解：（1）由题意可知，
可得.（6分）
（2）由（1）12分）
18.(本小题满分12分)
【命题意图】本题考查统计知识及概率相关知识.
【试题解析】解：（1）由饼状图知工资超过5000的有68人，故概率为0.68.（4分）

0
1
2

（2）①A企业[2000,5000)中三个不同层次人数比为1:2:4，即按照分层抽样7人所抽取的收入在[3000,4000)的人数为2. 的取值为0,1,2，
因此，，
，的分布列为：
（9分）

② A企业的员工平均收入为：

B企业的员工平均收入为：
.
参考答案1：选企业B，由于B企业员工的平均收入高.
参考答案2：选企业A，A企业员工的平均收入只比B企业低10元，但是A企业有高收入的团体，说明发展空间较大，获得8000元以上的高收入是有可能的.
参考答案3：选企业B，由于B企业员工平均收入不仅高，且低收入人数少.
（如有其它情况，只要理由充分，也可给分） （12分）
19.(本小题满分12分)
【命题意图】本小题以四棱锥为载体，考查立体几何的基础知识. 本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.
【试题解析】解：（1）在直角梯形中，， 在中，由余弦定理，，又，
有是等腰三角形，所以，平面，
所以平面 平面.（6分）
（2）以为原点，为轴，建立空间直角坐标系，，，有
，令平面的法向量为，由，可得一个，由（1）可知平面的一个法向量为，所以经计算的余弦值为. （12分）
20.(本小题满分12分)
【命题意图】本小题考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆的相关知识.
【试题解析】解：（1）由题意知，，
所以. （4分）
（2）设，设，由条件可得，，联立直线和椭圆，
有，有，
由，由韦达定理可得. （12分）
21.(本小题满分12分)
【命题意图】本小题主要考查函数与导数的相关知识，以导数为工具研究函数的方法，考查学生解决问题的综合能力.
【试题解析】解：（1）由题可得，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递增；
，在上单调递减.（4分
（2）令，易知单调递增且一定有大于0的零点，不妨设为，即，
故若有有两个零点，需满足，
即
令，所以在上单调递减，由，所以的解集为，由，所以
当时，，有，
令，由于，所以，故，所以，故，在上有唯一零点，另一方面，在上，当时，由增长速度大，所以有，
综上，. （12分）

22. (本小题满分10分)
【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识.
【试题解析】（1）直线的普通方程为，
曲线的极坐标方程可化为，化简可得. （5分）
（2）当时，直线的普通方程为.
有点的直角坐标方程，可设点的坐标为
因此点到直线的距离可表示为
当时，取最大值为.（10分）

23.(本小题满分10分)
【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式等内容. 本小题重点考查化归与转化思想.
【试题解析】（1）
由，则. （5分）
（2）
由的解集为可知：，
即. （10分）

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