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(完整word版)离散数学集合论部分测试题
离散数学集合论部分综合练习
本课程综合练习共分3次，分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，这3次综合练习基本上是按照考试的题型安排练习题目，目的是通过综合练习，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。本次是集合论部分的综合练习。

一、单项选择题
1．若集合A={a，b}，B={ a，b，{ a，b }}，则（ ）．
A．AÌB，且AÎB B．AÎB，但AËB
C．AÌB，但AÏB D．AËB，且AÏB
2．若集合A＝{2，a，{ a }，4}，则下列表述正确的是( )．
A．{a，{ a }}ÎA B．{ a }ÍA
C．{2}ÎA D．ÎA
3．若集合A＝{ a，{a}，{1，2}}，则下列表述正确的是( )．
A．{a，{a}}ÎA B．{2}ÍA
C．{a}ÍA D．ÆÎA
4．若集合A={a，b，{ 1，2 }}，B={ 1，2}，则（ ）．
A．B Ì A，且BÎA B．BÎ A，但BËA
C．B Ì A，但BÏA D．BË A，且BÏA
5．设集合A = {1, a }，则P(A) = ( )．
A．{{1}, {a}} B．{,{1}, {a}}
C．{,{1}, {a}, {1, a }} D．{{1}, {a}, {1, a }}
6．若集合A的元素个数为10，则其幂集的元素个数为（ ）．
A．1024 B．10 C．100 D．1
7．集合A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}上的关系R={<x，y>|x+y=10且x, yA}，则R的性质为（ ）．
A．自反的 B．对称的
C．传递且对称的 D．反自反且传递的
8．设集合A = {1，2，3，4，5，6 }上的二元关系R ={a , bêa , bA , 且a +b = 8}，则R具有的性质为（ ）．
A．自反的 B．对称的
　　C．对称和传递的　 D．反自反和传递的
9．如果R1和R2是A上的自反关系，则R1∪R2，R1∩R2，R1-R2中自反关系有（ ）个．
A．0 B．2 C．1 D．3
10．设集合A={1 , 2 , 3 , 4}上的二元关系
R = {1 , 1，2 , 2，2 , 3，4 , 4}，
S = {1 , 1，2 , 2，2 , 3，3 , 2，4 , 4}，
则S是R的（ ）闭包．
A．自反 B．传递 C．对称 D．以上都不对
2
4
1
3
5
图一
11．设集合A = {1 , 2 , 3 , 4 , 5}上的偏序关系
的哈斯图如图一所示，若A的子集B = {3 , 4 , 5}，
则元素3为B的（ ）．
A．下界 B．最大下界
C．最小上界 D．以上答案都不对
12．设A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，R是A上的整除关系，B={2, 4, 6}，则集合B的最大元、最小元、上界、下界依次为 ( )．
A．8、2、8、2 B．无、2、无、2
C．6、2、6、2 D．8、1、6、1
13．设A={a, b}，B={1, 2}，R1，R2，R3是A到B的二元关系，且R1={<a，2>, <b，2>}，R2={<a，1>, <a，2>, <b，1>}，R3={<a，1>, <b，2>}，则（ ）不是从A到B的函数．
A．R1和R2 B．R2 C．R3 D．R1和R3

二、填空题
1．设集合A有n个元素，那么A的幂集合P(A)的元素个数为 ．
2．设集合A＝{a，b}，那么集合A的幂集是 ．
应该填写：{Æ,{a,b},{a},{b }}
3．设集合A={0, 1, 2, 3}，B={2, 3, 4, 5}，R是A到B的二元关系，

则R的有序对集合为　 　　　　　　．
4．设集合A={0, 1, 2}，B={0, 2, 4},R是A到B的二元关系，

则R的关系矩阵MR＝
　　　　　　　　　　　　　　　 　　．
5．设集合A={a,b,c}，A上的二元关系
R={<a, b>,<c. a>}，S={<a, a>,<a, b>,<c, c>}
则(R·S)－1=　　　　　　　　　　　．
6．设集合A=｛a,b,c｝，A上的二元关系R={<a, b>, <b, a>, <b, c>, <c, d>}，则二元关系R具有的性质是　　　　　　　　　．
7．若A={1,2}，R={<x, y>|xÎA, yÎA, x+y=10}，则R的自反闭包为 ．
8．设集合A={1, 2}，B={a, b}，那么集合A到B的双射函数是
　　　　　　　　　　　　　 ．
9．设A={a，b，c}，B={1，2}，作f：A→B，则不同的函数个数为 ．

三、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）

图一
1．设A、B、C为任意的三个集合，如果A∪B=A∪C，判断结论B=C 是否成立？并说明理由．
2．如果R1和R2是A上的自反关系，判断
结论：“R-11、R1∪R2、R1ÇR2是自反的” 是否
成立？并说明理由．
3． 若偏序集<A，R>的哈斯图如图一所示，
则集合A的最大元为a，最小元不存在．
4．若偏序集<A，R>的哈斯图如图二所示，
则集合A的最大元为a，最小元不存在．
图二

5．设N、R分别为自然数集与实数集，f：N
→R，f (x)=x+6，则f是单射．

四、计算题
1．设集合A＝{a, b, c}，B={b, d, e}，求
（1）BÇA； （2）AÈB； （3）A－B； （4）BÅA．
2．设A={{a, b}, 1, 2}，B={ a, b, {1}, 1}，试计算
（1）（A-B） （2）（A∪B） （3）（A∪B）-（A∩B）．
3．设集合A={{1},{2},1,2}，B={1,2,{1,2}}，试计算
（1）（A-B）； （2）（A∩B）； （3）A×B．
4．设A={0，1，2，3，4}，R={<x，y>|xÎA，yÎA且x+y<0}，S={<x，y>|xÎA，yÎA且x+y£3}，试求R，S，R·S，R-1，S-1，r(R)．
5．设A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}，R是A上的整除关系，B={2, 4, 6}．
（1）写出关系R的表示式； （2）画出关系R的哈斯图；
a
d
b
c
图三
（3）求出集合B的最大元、最小元．
6．设集合A＝{a, b, c, d}上的二元关系R的关系图
如图三所示．
（1）写出R的表达式；
（2）写出R的关系矩阵；
（3）求出R2．
7．设集合A={1，2，3，4}，R={<x, y>|x, yÎA；|x-y|=1或x-y=0}，试
（1）写出R的有序对表示； （2）画出R的关系图；
（3）说明R满足自反性，不满足传递性．

五、证明题
1．试证明集合等式：AÈ (BÇC)=(AÈB) Ç (AÈC)．
2．试证明集合等式AÇ (BÈC)=(AÇB) È (AÇC)．
3．设R是集合A上的对称关系和传递关系，试证明：若对任意aÎA，存在bÎA，使得<a, b>ÎR，则R是等价关系．
4．若非空集合A上的二元关系R和S是偏序关系，试证明：也是A上的偏序关系．

参考解答
一、单项选择题
1．A 2．B 3．C 4．B 5．C 6．A 7．B 8．B
9．B 10．C 11．C 12．B 13．B

二、填空题
1．2n
2．{Æ,{a,b},{a},{b }}
3．{<2, 2>，<2, 3>，<3, 2>}，<3, 3>
4．
5．{<a. c>, <b, c>}
6．反自反的
7．{<1, 1>, <2, 2>}
8．{<1, a >, <2, b >}，{<1, b >, <2, a >}
9．8

三、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）
1．解：错．
设A={1, 2}，B={1}，C={2}，则A∪B=A∪C，但B¹C．
2．解：成立．
因为R1和R2是A上的自反关系，即IAÍR1，IAÍR2。
由逆关系定义和IAÍR1，得IAÍ R1-1；
由IAÍR1，IAÍR2，得IAÍ R1∪R2，IAÍ R1ÇR2。
所以，R1-1、R1∪R2、R1ÇR2是自反的。
3．解：正确．
对于集合A的任意元素x，均有<x, a>ÎR
（或xRa），所以a是集合A中的最大元．
按照最小元的定义，在集合A中不存在最
小元．
4．解：错误．
集合A的最大元不存在，a是极大元．
5．解：正确．
设x1，x2为自然数且x1¹x2，则有f(x1)= x1+6¹ x2+6= f(x2)，故f为单射．

四、计算题
1．解：（1）BÇA={a, b, c}Ç{b, d, e}={ b }
（2）AÈB={a, b, c}È{b, d, e}={a, b, c, d, e }
（3）A－B={a, b, c}－{b, d, e}={a, c}
（4）BÅA= AÈB－BÇA={a, b, c, d, e }－{ b }={a, c, d, e }
2．解：（1）（A-B）={{a, b}, 2}
（2）（A∪B）={{a, b}, 1, 2, a, b, {1}}
（3）（A∪B）-（A∩B）={{a, b}, 2, a, b, {1}}
3．解：（1）A-B ={{1},{2}}
（2）A∩B ={1,2}
（3）A×B={<{1},1>，<{1},2>，<{1},{1,2}>，<{2},1>，<{2},2>，
<{2},{1,2}>，<1,1>，<1,2>，<1, {1,2}>，<2,1>，<2,2>,
<2, {1,2}>}
4．解：R=Æ,
S={<0,0>,<0,1>,<0,2>,<0,3>,<1,0>,<1,1>,<1,2>,<2,0>,<2,1>,<3,0>}
R·S=Æ，
1
2
3
4
6
9
5
7
8
10
11
12
图四：关系R的哈斯图
R-1=Æ，
S-1= S，
r(R)=IA．
5．解：（1）R=IÈ{<1,2>, <1,3>, …, <1,12> ,
<2,4>, <2,6>, <2,8>, <2,10>, <2,12>, <3,6>, <3,9> ,
<3,12>, <4,8>, <4,12>, <5,10>, <6,12>}
（2）关系R的哈斯图如图四
（3）集合B没有最大元，最小元是：2
6．解：R＝{<a, a>, <a, c>, <b, c>, <d,d>}

R2 = {<a, a>, <a, c>, <b, c>, <d, d>}·{<a, a>, <a, c>, <b, c>, <d, d>}
°
°
°
°
1
2
3
4
图五
={<a, a>, <a, c>, <d,d>}
7．解：（1）R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,
<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,2>,<3,4>,<4,3>}
（2）关系图如图五
（3）因为<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>均属于R，
即A的每个元素构成的有序对均在R中，故R在
A上是自反的。
因有<2,3>与<3,4>属于R，但<2,4>不属于R，
所以R在A上不是传递的。

五、证明题
1．证明：设，若x∈AÈ (BÇC)，则x∈A或x∈BÇC，
即 x∈A或x∈B 且 x∈A或x∈C．
即x∈AÈB 且 x∈AÈC ，
即 x∈T=(AÈB) Ç (AÈC)，
所以AÈ (BÇC)Í (AÈB) Ç (AÈC)．
反之，若x∈(AÈB) Ç (AÈC)，则x∈AÈB 且 x∈AÈC，
即x∈A或x∈B 且 x∈A或x∈C，
即x∈A或x∈BÇC，
即x∈AÈ (BÇC)，
所以(AÈB) Ç (AÈC)Í AÈ (BÇC)．
因此．AÈ (BÇC)=(AÈB) Ç (AÈC)．
2．证明：设S=A∩(B∪C)，T=(A∩B)∪(A∩C)， 若x∈S，则x∈A且x∈B∪C，即 x∈A且x∈B 或 x∈A且x∈C，
也即x∈A∩B 或 x∈A∩C ，即 x∈T，所以SÍT．
反之，若x∈T，则x∈A∩B 或 x∈A∩C，
即x∈A且x∈B 或 x∈A且x∈C
也即x∈A且x∈B∪C，即x∈S，所以TÍS．
因此T=S．
3．设R是集合A上的对称关系和传递关系，试证明：若对任意aÎA，存在bÎA，使得<a, b>ÎR，则R是等价关系．
证明：已知R是对称关系和传递关系，只需证明R是自反关系．
"aÎA，$bÎA，使得<a, b>ÎR，因为R是对称的，故<b, a>ÎR；
又R是传递的，即当<a, b>ÎR，<b, a>ÎR Þ<a, a>ÎR；
由元素a的任意性，知R是自反的．
所以，R是等价关系．
4．若非空集合A上的二元关系R和S是偏序关系，试证明：也是A上的偏序关系．
证明：.① ，所以有自反性；
②因为R，S是反对称的，
所以，RÇS有反对称性．
③ ，因为R，S是传递的，

所以，有传递性．
总之，R是偏序关系．
8