2019哈三中二模理科数学题及答案.doc

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2019 年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试
理科数学
本试卷分为第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，共 24 题，满分 150 分，
考试时间 120 分钟。
注意事项
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；
2．选择题必须使用 2B 铅笔填涂，非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，
字体工整，字迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草
稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第 I 卷（选择题，共 60 分）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1． 集合 A { x ||x 1| 2} ，

1
x
B { x | 3 9} ，则 A B
3
A．(1, 2) B．( 1,2) C． (1,3) D．( 1,3)
2．设 Sn 是公差为 d(d 0) 的无穷等差数列 {a } 的前 n 项和，则“ d < 0”是“数列 {Sn} 有
n
最大项”的
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3．ΔABC中， m (cos A,sin A) ，n (cos B, sin B) ，若

1
m n ，则角 C为
2

A． B．
3

2
3

C．

6

D．

5
6
4．已知

1
e
a dx
1
x

，则

1
6
(x )
ax

展开式中的常数项为
A．20 B．-20 C．-15 D．15
5．正三棱柱 ABC—A1B1C1 的所有棱长都为 2，则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为

A．

1
2

B．

1
4

C．

2
3

D．

6
4
6．已知函数 ( ) sin( ) 3 cos( )( 0,| | )
f x x x ，其图象相邻的两条对称
2
**
轴方程为 x 0与

x ，则
2
A． f ( x) 的最小正周期为 2 ，且在 (0, ) 上为单调递增函数
B． f ( x) 的最小正周期为 2 ，且在 (0, ) 上为单调递减函数

C． f ( x) 的最小正周期为 ，且在 (0, )
2

上为单调递增函数

D． f ( x) 的最小正周期为 ，且在 (0, )
2

上为单调递减函数
7．一个几何体的三视图及尺寸如右图所示，则该几何体的
外接球半径为

A．

1
2

B．

3
16

C．

17
4

D．

17
4
8．过抛物线

2 2 ( 0)
y px p 的焦点 F 的直线 l 与抛物线在第一象限的交点为 A，直线 l
与抛物线的准线的交点为 B，点 A 在抛物线的准线上的摄影为 C，若 AF FB ，
BA BC 36，则抛物线的方程为

A．

2 6
y x B．

2 3
y x C．

2 12
y x D．

2 2 3
y x
9．阅读右面的程序框图，输出结果 s 的值为

A．

1
2

B．

3
16

C．

1
16

D．

1
8
10．在平行四边形 ABCD中， AE EB ，CF 2FB ，
连接 CE、DF相交于点 M，若 AM AB AD ，则实数
λ 与 μ 的乘积为

A．

1
4

B．

3
8

C．

3
4

D．

4
3
11．已知函数

3 2 ( ) 1
x mx m n x
y 的两个极值点分别为 x1 ，x2，且 x1 (0,1) ，
3 2
x2 (1, ) ，记分别以 m，n 为横、纵坐标的点 P (m, n) 表示的平面区域为 D，若函数
y loga (x 4)(a 1)的图象上存在区域 D内的点，则实数 a 的取值范围为
A． (1,3] B． (1,3) C． (3, ) D． [3, )
12．设点 P在曲线

x
y e 上，点 Q在曲线

1
y 1 (x 0)
x

上，则 | PQ |的最小值为

A．

2
2

( 1)
e B． 2(e 1) C．

2
2

D． 2
第 II 卷（非选择题，共 90 分）
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。将答案填在答题卡的相应位置上。 ）
13．若复数 z 1 i ，则

z
zi

__________。
14．已知双曲线

2 2
x y
2 2 1(a 0,b 0)
a b

的右焦点为F，由 F 向其渐近线引垂线，垂足为
P，若线段PF的中点在此双曲线上，则此双曲线的离线率为__________。
15．已知平面区域 Ω =

( x, y)

y 0
2
y 4 x

，直线 l: y mx 2m 和曲线 C: y 4 x2
有两个不同的交点，直线 l 与曲线 C围城的平面区域为M，向区域 Ω 内随机投一点 A，点 A
落在区域 M内的概率为P(M ) ，若

2
P(M ) [ ,1] ，则实数 m的取值范围是 __________。
2
16．已知 ΔABC中，∠ A, ∠B, ∠C的对边分别为a,b,c ，若 a = 1,2cosC + c = 2b，则 ΔABC
的周长的取值范围是 __________。
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分 12 分）
2 已知正项数列满足4S (a 1) 。
n n
（1）求数列 {a } 的通项公式；
n

（2）设

b
n

1
a a
n n

1

，求数列 {bn} 的前 n 项和 T n。
n。
18．（本小题满分 12 分）
从某学校高三年级共 1000 名男生中随机抽取 50 人测量身高。 据测量， 被测学生身高全
部介于 155cm到 195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组，第一组 [155,160) ，第二组
[160,165) ，⋯ ，第八组 [190,195] 。下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部
分、其中第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列。
（1）求第六组、 第七组的频率， 并估算高三年级全体男生身高在 180cm以上（含 180cm）
的人数；
（2）学校决定让这 50 人在运动会上组成一个高旗队，在这 50 人中要选身高在 180cm
以上（含 180cm）的三人作为队长，记 X 为身高在 [180,185) 的人数，求 X 的分布列和数学
期望。
19．（本小题满分 12 分）
如图，在四棱锥 P—ABCD中， PA⊥AD，AB∥CD，CD⊥AD，AD = CD = 2AB = 2 ，E，F 分
别为 PC，CD的中点， DE = EC。
（1）求证：平面 ABE⊥平面 BEF；
（2）设 PA = a ，若平面 EBD与平面 ABCD所成锐
二面角 [ , ]
4 3

，求 a 的取值范围。
20．（本小题满分 12 分）

已知椭圆

2 2
x y
C : 1(a b 0)
2 2
a b

过点

3
( 3, )
2

，离心率

1
e ，若点 M (x0, y0 ) 在
2
x y
椭圆 C上，则点 ( 0 , 0 )
N
a b

称为点 M的一个 “椭点”，直线 l 交椭圆 C于 A、B 两点， 若点 A、

B的“椭点”分别是 P、Q，且以 PQ为直径的圆经过坐标原点 O。
（1）求椭圆 C的方程；
（2）若椭圆 C的右顶点为 D，上顶点为 E，试探究 ΔOAB的面积与 ΔODE的面积的大小
关系，并证明。
21．（本小题满分 12 分）

已知函数

2
f (x) ax x xln x(a 0)。
（1）若函数满足 f (1) 2，且在定义域内 f (x) bx2 2x恒成立，求实数 b 的取值范
围；
（2）若函数 f ( x) 在定义域上是单调函数，求实数 a 的取值范围；

（3）当

1
e

x y

1
时，试比较

y
x

与

1 ln
1 ln

y
x

的大小。
选考题：请考生从第 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。
22．（本小题满分 10 分）
选修 4-1 ：几何证明选讲
如图所示， 已知 PA与⊙O 相切，A为切点， 过点 P 的割线交圆于 B、C两点， 弦 CD∥AP，
AD、BC相交于点 E，F 为 CE上一点，且 DE
2 = EF· EC。
（1）求证： CE· EB = EF · EP；
（2）若 CE:BE = 3:2 ，DE = 3 ，EF = 2 ，求 PA的长。
23．（本小题满分 10 分）
选修 4-4 ：坐标系与参数方程

在极坐标系中，已知直线 l 的极坐标方程为 sin( ) 1 2
4

，圆 C 的圆心是
C ，半径为 2 。
( 2, )
4
（1）求圆 C的极坐标方程；
（2）求直线 l 被圆 C所截得的弦长。
24．（本小题满分 10 分）
选修4-5 ：不等式选讲
设函数 f (x) |2x 1| | x 3| 。
（1）解不等式 f (x) 0；
（2）已知关于 x 的不等式 a 3 f (x) 恒成立，求实数 a 的取值范围。
2019 年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试
数学试卷（理工类）答案及评分标准
一、选择题：
题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B A B B B C C D C B B D
二、填空题：
13. 1 14. 2 15. 0,1 16. 2,3
三、解答题：
17. ( Ⅰ) 整理得 an a 2 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 4分
n 1
又 a 1 得 an 2n 1 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 6 分
1
1 1 1
( Ⅱ) 由（ 1）知 )
bn ( ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 8 分
2 2n 1 2n 1

所以

n
Tn ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 12 分
2n 1
18. 解: ( Ⅰ) 第六组
p 0 .08 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
· · 2 分
第七组
p 0 .06 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
· · 4 分
估计人数为
180 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6
分
( Ⅱ) X 可能的取值为 0,1, 2,
14. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7 分

P( x 0)

3
5
3
9
C
C

5
42

P(x

1)

1 2
C C
4 5
3
C
9

20
42

P(x 2)

2 1
C C
4 5
3
C
9

15
42

P(x

3)

3
4
C
C
3
9

2
42
所以 X 的分布列
X 0 1 2 3
P

5
42

10
21

5
14

1
21
· · · · · · · · · · · · · 10 分

E(X ) =

4
3

. · · · · · · · · · · · · · · ·
· · · · · · 12 分
19. ( Ⅰ) AB // CD, CD AD, AD CD 2AB 2， F 分别为 CD 的中点，
ABFD 为矩形，
AB BF · · · · · · · · · · · · · · · · · 分2
DE EC, DC EF , 又 AB // CD , AB EF
BF EF E, AE 面 BEF , AE 面 ABE ,
平面 ABE ⊥平面
BEF · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4 分
( Ⅱ) DE EC, DC EF , 又 PD // EF ， AB // CD, AB PD
又 AB PD , 所以 AB 面
PAD , AB PA · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6 分
法一：建系 AB 为 x 轴， AD 为 y 轴， AP 为 z轴,
a
B (1,0,0), D (0,2,0) P (0,0, a) ，C (2,2,0) , )
E (1,1,
2
平面 BCD 法向量 n1 (0,0,1) ，平面 EBD 法向量
n2 ( 2a, a, 2) · · · · · · · · · · 9 分

cos

2
2
5a

4

[

1
2

,

2
2

]

，可得
2 5 2 15
a [ , ]. · · · · · · · · · · · · · 12 分
5 5
法二：连 AC 交 BF 于点 K , 四边形 ABCF 为平行四边形，所以 K 为 AC 的中点，连 EK ,
则 EK // PA, EK 面 ABCD , BD EK ,
作 KH BD 于 H 点，所以 BD 面 EKH ,
连 EH , 则 BD EH , EHK 即为所
求 · · · · · · · · · · · · · 9 分
a

在 Rt EHK 中，

5a
1 2 1
2
HK , tan [1, 3]
1
2
2
5 5
5
解得
2 5 2 15
a · · · · · · · · · · · · · 12
[ , ]
5 5
分
15. ( Ⅰ) 由已知

3
a
a

2
2

c

3
2
4b
2
b
1

1
2
c

2 2
解得 4
a ，b 3 ，方程为
a 2

2 y
2
x
4 3

1
· · · · · · · 3 分
x1 y x y
1 2 2
( Ⅱ) 设 A( x1 ,y1), B( x2 , y2 ) ，则 )
P( , ), Q( ,
2 2
3 3
（1）当直线 l 的斜率存在时，设方程为 y kx m

y kx
2 y
2
x
4 3

m
1

2 x2 kmx m2
联立得： (3 4k ) 8 4( 3) 0

48(3 4k

2

2
m )

0

有

x
1
x
1

x
2

x
2

8km
3
2
4(m

2
4k
3)

2
3
4k

①
由以 PQ 为直径的圆经过坐标原点 O可得： 3 4 0
x1x y y ·
2 1 2
2 x x km x x m2
整理得： (3 4k ) 4 ( ) 4 0 ②
1 2 1 2

将①式代入②式得：

2 2
2
3 4k m , · · · · · · · · · · · 6 分

3 4k

2 m m
2 2
0, 0, 48

0

又点 O 到直线 y kx m 的距离

d

m
2
1 k

AB 1

2
k

x
1

x 1
2

k

2

4 3

3
3

2
4k
2
4k

2
m

1 k

2

4
3

3
m
2

4k

1

2
k

4

3
2
2m
m
· · · · · · · · · ·
8 分
所以
2
1 2 3m
S OAB · · · · · · · · · · 10 分
ABd 3
2
2 2m
(2) 当直线 l 的斜率不存在时，设方程为 x m（ 2 m 2 ）

联立椭圆方程得：

y

2
2 3(4 m
4

)

2
2 3(4 m )
代入 3x1x2 4y1y2 0得到 0
3m 即
4

2 5
m ，
5

y

2

15
5

S OAB

1
2

AB

d

1
2

m

y1 y
2

3
综上： OAB 的面积是定值 3

1
又 ODE 的面积 2 3 3
2

，所以二者相
等. · · · · · · · 12 分
16. ( Ⅰ) 由原式
1 ln x
1 b ， · · · · · · · · · · · · · · · · 1
x x
分

令

1 ln x
g x) 1
( ，可得 g( x) 在 0,1 上递减，
x x
在 1, 上递增，所以 g( )min g (1) 0
x
即
b 0 · · · · · · · · · · · · · · · 3
分
（Ⅱ） f (x) 2ax ln x,(x 0)

ln x
令 ，
f (x) 0,得2a
x

ln x
设 ，当x e时
h( x)
x

h( x)max

1
e
1
当a 时，函数 f (x) 在(0, ) 单调递
2e
增 · · · · · · · · · · · · · · · 5 分

1
若 ，
0 a
2e

'
g(x) 2ax ln x,(x 0), g (x) 2a

1
x

'
g (x) 0, x

1
2a

，

x

(0,

1
2a

),

g

1
/ g x
/
( x) 0, x ( , ), ( )
2a

0

x

1
2a

时取得极小值即最小值
1 1 1
而当0 a 0
时 g ，
( ) 1 ln
2e 2a 2a
f ， f ( x) 必有极值，在定义域上不单
( ) 0
/ x
必有根
调 · · · · · · · · · · · · · ·8分

a

1
2e

· · · · · · · · · · ·
· · · · · 9 分
（Ⅲ）由 (I) 知

1 ln x
g(x) 1 在 (0,1) 上单调递减
x

1
∴ x y 1
e

时， g( x) g( y) 即
1 ln x 1 ln y
· · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 x y

而 1 x y 1
e 时，

1 ln x 0, 1 ln x 0

y

1 · · · · · · · · · · ·
ln y
x 1 ln x · · · · 12 分
17. （I ）∵ DE 2 EF EC ，∴ EDF C ，
又∵ P C ，∴ EDF P ，∴ EDF ∽ PAE
∴ EA ED EF EP 又∵ EA ED CE EB ，∴ CE EB EF EP · · · 5 分

（II ） BE 3，

9
CE ，
2

BP

15
4

PA 是⊙ O的切线， PA2 PB PC ，

15 3
PA · · · · · · · 10
4
分
18. （ Ⅰ）圆 C 的极坐标方程为：)
2 2 sin( · · · · · · · · · 5
4 分
（Ⅱ）圆心到直线距离为 1，圆半径为 2 ，所以弦长为
2 · · · · · · · · · · · 10分
19. （Ⅰ） f (x) 0的解集为：
2
( , 4) ( , ) · · · · · · · · · · 5 分
3 （Ⅱ）
13
a · · · · · · · · · · 10 分
2