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(完整word版)离散数学集合论部分测试题离散数学集合论部分综合练习本课程综合练习共分3次，分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，这3次综合练习基本上是按照考试的题型安排练习题目，目的是通过综合练习，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。本次是集合论部分的综合练习。一、单项选择题1若集合A=a，b，B= a，b， a，b ，则（ ） AAB，且AB BAB，但AB CAB，但AB DAB，且AB2若集合A2，a， a ，4，则下列表述正确的是( )Aa， a A B a A C2A DA3若集合A a，a，1，2，则下列表述正确的是( ) Aa，aA B2ACaA DA4若集合A=a，b， 1，2 ，B= 1，2，则（ ） AB A，且BA BB A，但BA CB A，但BA DB A，且BA 5设集合A = 1, a ，则P(A) = ( ) A1, a B,1, a C,1, a, 1, a D1, a, 1, a 6若集合A的元素个数为10，则其幂集的元素个数为（ ） A1024 B10 C100 D17集合A=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8上的关系R=|x+y=10且x, yA，则R的性质为（ ） A自反的 B对称的 C传递且对称的 D反自反且传递的 8设集合A = 1，2，3，4，5，6 上的二元关系R =a , ba , bA , 且a +b = 8，则R具有的性质为（ ）A自反的 B对称的C对称和传递的 D反自反和传递的9如果R1和R2是A上的自反关系，则R1R2，R1R2，R1-R2中自反关系有（ ）个 A0 B2 C1 D3 10设集合A=1 , 2 , 3 , 4上的二元关系R = 1 , 1，2 , 2，2 , 3，4 , 4，S = 1 , 1，2 , 2，2 , 3，3 , 2，4 , 4，则S是R的（ ）闭包 A自反 B传递 C对称 D以上都不对 24135图一 11设集合A = 1 , 2 , 3 , 4 , 5上的偏序关系的哈斯图如图一所示，若A的子集B = 3 , 4 , 5，则元素3为B的（ ） A下界 B最大下界 C最小上界 D以上答案都不对12设A=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8，R是A上的整除关系，B=2, 4, 6，则集合B的最大元、最小元、上界、下界依次为 ( ) A8、2、8、2 B无、2、无、2 C6、2、6、2 D8、1、6、113设A=a, b，B=1, 2，R1，R2，R3是A到B的二元关系，且R1=, ，R2=, , ，R3=, ，则（ ）不是从A到B的函数 AR1和R2 BR2 CR3 DR1和R3二、填空题1设集合A有n个元素，那么A的幂集合P(A)的元素个数为 2设集合Aa，b，那么集合A的幂集是 应该填写：,a,b,a,b 3设集合A=0, 1, 2, 3，B=2, 3, 4, 5，R是A到B的二元关系，则R的有序对集合为 4设集合A=0, 1, 2，B=0, 2, 4,R是A到B的二元关系，则R的关系矩阵MR 5设集合A=a,b,c，A上的二元关系R=,，S=,则(RS)1=6设集合A=a,b,c，A上的二元关系R=, , , ，则二元关系R具有的性质是7若A=1,2，R=|xA, yA, x+y=10，则R的自反闭包为 8设集合A=1, 2，B=a, b，那么集合A到B的双射函数是 9设A=a，b，c，B=1，2，作f：AB，则不同的函数个数为 三、判断说明题（判断下列各题，并说明理由） 图一1设A、B、C为任意的三个集合，如果AB=AC，判断结论B=C 是否成立？并说明理由2如果R1和R2是A上的自反关系，判断结论：“R-11、R1R2、R1R2是自反的” 是否成立？并说明理由 3 若偏序集的哈斯图如图一所示，则集合A的最大元为a，最小元不存在 4若偏序集的哈斯图如图二所示，则集合A的最大元为a，最小元不存在图二 5设N、R分别为自然数集与实数集，f：NR，f (x)=x+6，则f是单射四、计算题1设集合Aa, b, c，B=b, d, e，求（1）BA； （2）AB； （3）AB； （4）BA2设A=a, b, 1, 2，B= a, b, 1, 1，试计算（1）（A-B） （2）（AB） （3）（AB）-（AB）3设集合A=1,2,1,2，B=1,2,1,2，试计算（1）（A-B）； （2）（AB）； （3）AB 4设A=0，1，2，3，4，R=|xA，yA且x+y0，S=|xA，yA且x+y3，试求R，S，RS，R-1，S-1，r(R)5设A=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12，R是A上的整除关系，B=2, 4, 6（1）写出关系R的表示式； （2）画出关系R的哈斯图；adbc图三（3）求出集合B的最大元、最小元 6设集合Aa, b, c, d上的二元关系R的关系图如图三所示（1）写出R的表达式； （2）写出R的关系矩阵； （3）求出R2 7设集合A=1，2，3，4，R=|x, yA；|x-y|=1或x-y=0，试（1）写出R的有序对表示； （2）画出R的关系图；（3）说明R满足自反性，不满足传递性五、证明题 1试证明集合等式：A (BC)=(AB) (AC)2试证明集合等式A (BC)=(AB) (AC) 3设R是集合A上的对称关系和传递关系，试证明：若对任意aA，存在bA，使得R，则R是等价关系 4若非空集合A上的二元关系R和S是偏序关系，试证明：也是A上的偏序关系参考解答一、单项选择题1A 2B 3C 4B 5C 6A 7B 8B9B 10C 11C 12B 13B二、填空题12n2,a,b,a,b 3，4 5, 6反自反的7, 8, ，, 98三、判断说明题（判断下列各题，并说明理由）1解：错 设A=1, 2，B=1，C=2，则AB=AC，但BC 2解：成立 因为R1和R2是A上的自反关系，即IAR1，IAR2。 由逆关系定义和IAR1，得IA R1-1； 由IAR1，IAR2，得IA R1R2，IA R1R2。所以，R1-1、R1R2、R1R2是自反的。3解：正确 对于集合A的任意元素x，均有R（或xRa），所以a是集合A中的最大元按照最小元的定义，在集合A中不存在最小元4解：错误集合A的最大元不存在，a是极大元5解：正确 设x1，x2为自然数且x1x2，则有f(x1)= x1+6 x2+6= f(x2)，故f为单射 四、计算题1解：（1）BA=a, b, cb, d, e= b （2）AB=a, b, cb, d, e=a, b, c, d, e （3）AB=a, b, cb, d, e=a, c（4）BA= ABBA=a, b, c, d, e b =a, c, d, e 2解：（1）（A-B）=a, b, 2 （2）（AB）=a, b, 1, 2, a, b, 1 （3）（AB）-（AB）=a, b, 2, a, b, 1 3解：（1）A-B =1,2 （2）AB =1,2 （3）AB=，, 4解：R=, S=, RS=， 123469578101112图四：关系R的哈斯图R-1=， S-1= S， r(R)=IA 5解：（1）R=I, , , , , , , , , , , , , （2）关系R的哈斯图如图四 （3）集合B没有最大元，最小元是：2 6解：R, , , R2 = , , , , , , 1234图五 =, , 7解：（1）R=, （2）关系图如图五（3）因为,均属于R，即A的每个元素构成的有序对均在R中，故R在A上是自反的。 因有与属于R，但不属于R，所以R在A上不是传递的。五、证明题 1证明：设，若xA (BC)，则xA或xBC，即 xA或xB 且 xA或xC即xAB 且 xAC ，即 xT=(AB) (AC)，所以A (BC) (AB) (AC) 反之，若x(AB) (AC)，则xAB 且 xAC， 即xA或xB 且 xA或xC，即xA或xBC，即xA (BC)，所以(AB) (AC) A (BC) 因此A (BC)=(AB) (AC)2证明：设S=A(BC)，T=(AB)(AC)， 若xS，则xA且xBC，即 xA且xB 或 xA且xC， 也即xAB 或 xAC ，即 xT，所以ST 反之，若xT，则xAB 或 xAC， 即xA且xB 或 xA且xC 也即xA且xBC，即xS，所以TS 因此T=S 3设R是集合A上的对称关系和传递关系，试证明：若对任意aA，存在bA，使得R，则R是等价关系 证明：已知R是对称关系和传递关系，只需证明R是自反关系 aA，$bA，使得R，因为R是对称的，故R； 又R是传递的，即当R，R R；由元素a的任意性，知R是自反的所以，R是等价关系 4若非空集合A上的二元关系R和S是偏序关系，试证明：也是A上的偏序关系证明：. ，所以有自反性；因为R，S是反对称的， 所以，RS有反对称性 ，因为R，S是传递的， 所以，有传递性 总之，R是偏序关系 8