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(完整版)对数平均数
高考又见对数平均数
在历年的高考压轴题中我们总是能见到对数平均数的影子。2018年高考理科数学全国Ⅰ卷的压轴题最后一问，实际上就是对数平均数不等式的应用。加强对对数平均数的理解，无疑能对我们解决压轴题有很大的帮助。
对于a〉b〉0，我们把称作a与b的对数平均数，并且有：算术平均数>对数平均数>几何平均数，即：
〉>
证明方法Ⅰ（几何证明）：如图，分别过A(a，0）、B（b,0）、C(，0）、D（,0)作x轴的垂线，与函数y=交于F、G、E、H四点,过E作函数的切线,分别与BG、AF交于M、N两点。

比较曲边四边形GBAF的面积S1与梯形MBAN的面积S2，得S1>S2，其中：
S1==ln a-ln b,
S2=•AB=CE•AB=•(a—b）
∴ ln a—ln b>•(a-b)
即:〉……①
比较梯形GBDH的面积S3与曲边四边形GBDH的面积S4，得S3>S4,其中：
S3=（GB+HD)•BD=（+）(—b）=
S4==ln—ln b=-ln b=
∴ >
即:〉……②
综合①②，得：〉> （a〉b〉0)
证明方法Ⅱ(函数证明）：
令f(x)=+—1 (x>1）,则有:
f`(x)=-==>0
∴ f(x)>f(1）=0，即：+—1〉0，
令x=,代入整理得： 〉
即：>……①
令g（x）=x—2•ln x— (x〉1),则有：
g`(x）=1—+=>0
∴ g(x）>g（1)=0，即x—2•ln x—〉0,
令x=,代入整理得：>ln a-ln b
即：>……②
综合①②，得：>> （a〉b〉0)

经过上述证明，我们对对数平均数有了一定的了解，接下来看一看2018年高考数学理科全国Ⅰ卷第21题：
已知函数f(x)=-x+a•ln x
(1) 讨论f（x)的单调性；
(2) 若f(x)存在两个极值点x1、x2，求证：<a-2
第一问略。第二问，由题意可知，x1、x2分别为方程:x2—ax+1=0的两个解，故有：x1•x2=1，且x1+x2=a〉0。
f(x1)-f(x2）=（-x1+a•ln x1）—(-x2+a•ln x2)
=+x2—x1+a(ln x1—ln x2) (其中x1x2=1）
=2（x2-x1）+a(ln x1-ln x2)
∴ =a•—2
要证明题目要求的不等式,其实就是证明<1.
根据 〉,令a、b分别等于x1、x2，则ab=x1x2=1,即：
〉1.可以看到，本题其实就是对数不等式的倒数写法.

经典例题：下面是一道在各地区调考、模拟考中的经常出现的一个题型（当然实际题目会略加变化）.因其构思精巧，计算复杂,这一题常常被用作压轴题最后一问.让我们一起来体会一下。
x1、x2是函数y=-ax+a的两个零点，求证x1x2<x1+x2 。
依题意有:，两式相除得:=,
两边取对数得:x1—x2=ln(x1-1）-ln（x2-1），
∴ =1
根据对数不等式有：〉
即：1〉，整理得：x1x2<x1+x2
证毕.

从上述例子中我们可以体会到对数平均数不等式的巧妙应用。在各地区历年高考压轴题中,这样的例子有很多。对数不等式对基本不等式进行了很好的补充，在指数函数、对数函数的计算中有着广泛的应用.