定积分及其应用技术.doc

第19课时 定积分及其应用
一.知识梳理
1.定积分的概念：设函数在区间上有定义，将区间等分成分小区间，每个小区间长度为( ),在每个小区间上取一点，依次为，作和 .如果无限趋近于0(亦即趋向于)时，无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分，记为 ，其中 称为被积函数， 称为积分区间， 称为积分下限， 称为积分上限，
2.微积分基本定理：对于被积函数，如果，则= .
3.定积分的运算性质：⑴= ；
⑵ ；⑶ .
4.定积分的几何意义：在区间上曲线与轴所围成图形面积的 (即轴上方的面积减去轴下方的面积)；
⑴当在区间上大于0时，表示由直线和曲线所围成的曲边梯形的面积，这也是定积分的几何意义.
⑵当在区间上小于0时，表示由直线和曲线所围成的曲边梯形的面积的 .
⑶当在区间上有正有负时，表示介于直线之间轴之上、之下相应的曲边梯形的面积的 .
5.定积分在物理中的应用：⑴匀变速运动的路程公式，作变速直线运动的物体所经过的路程，等于其速度函数在时间区间上的定积分，即 .
⑵变力做功公式，一物体在变力(单位：)的作用下作直线运动，如果物体沿着与相同的方向从移动到(单位：)，则力所作的功为 .
二．基础训练
1. .
2.已知质点的速度，则从到质点所经过的路程是 .
3.已知的力作用于静止的弹簧，弹簧伸长1cm，则将静止的弹簧拉长6cm，弹力所做的功为 焦.
4. .
5.已知在区间上且由直线及曲线所围成的图形面积为，则 .
6.由直线及曲线所围成的图形面积为，则用定积分表示，则
为 .
三.典型例题
1.求定积分
⑴； ⑵； ⑶； ⑷.

2.求曲线及直线所围封闭区域的面积．

3.求抛物线与直线围成的平面图形的面积.

A
l
x
y

S
O
4.如图，过点A(6，4)作曲线的切线l．
⑴求切线l的方程；
⑵求切线l，x轴及曲线所围成的封闭图形的面积S．

四.课后作业
1.若，则 .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
7.已知为偶函数且，则 .
8.求曲线与所围成图形的面积为 .
9.一物体以的速度运动，在前30s内的平均速度为 .
10.求函数在区间上的积分.

11.已知抛物线，过原点的直线平分由抛物线与轴所围成的封闭图形的面积，求的方程.

12.已知方程为常数。
⑴若，，求方程的解的个数的期望；
⑵若内等可能取值，求此方程有实根的概率．

x
y
O
y＝ax2(a＞0)
x＝1
1
【阅读材料】如图，用图“以直代曲”的方法计算直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝ax2(a＞0)围成的阴影图形的面积．

解 （1）分割——把区间[0，1]等分成n个小区间：[0，]，[，]，…，[，]，…，[，]．
（2）以直代曲——△Si≈f()×△x＝a×．
（3）作和——因为每个小矩形的面积是相应的小曲边梯形面积的近似值，所以以n个小矩形面积之和就是曲边三角形面积S的近似值，
即S＝△S1＋△S2＋…＋△Sn＝△Si≈×n×(n＋1)×(2n＋1)＝×(1＋)×(2＋)．
（4）逼近——当分割无限变细，即△x无限趋近于0（亦即n趋向于＋∞）时，×(1＋)×(2＋)无限趋近于S，而当n趋向于＋∞时，×(1＋)×(2＋)无限趋近于．由此可知S＝．
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