等号与不等号的来历.doc

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等号与不等号的来历

一、等号,不等号
　　为了表示等量关系，用“=”表示“相等”，这是大家最熟悉的一个符号了．
　　说来话长,在15、16世纪的数学书中，还用单词代表两个量的相等关系．例如在当时一些公式里,常常写着aequ或aequaliter这种单词，其含义是“相等”的意思．
　　1557年，英国数学家列科尔德，在其论文《智慧的磨刀石》中说：“为了避免枯燥地重复isaequalleto（等于)这个单词，我认真地比较了许多的图形和记号，觉得世界上再也没有比两条平行而又等长的线段，意义更相同了．"
　　于是，列科尔德有创见性地用两条平行且相等的线段“＝"表示“相等"，“＝”叫做等号．
　　用“＝”替换了单词表示相等是数学上的一个进步．由于受当时历史条件的限制，列科尔德发明的等号，并没有马上为大家所采用．
　　历史上也有人用其它符号表示过相等．例如数学家笛卡儿在1637年出版的《几何学》一书中，曾用“∞"表示过“相等"．
　　直到17世纪,德国的数学家莱布尼兹，在各种场合下大力倡导使用“="，由于他在数学界颇负盛名,等号渐渐被世人所公认．
　　顺便提一下,“≠”是表示“不相等”关系的符号，叫做不等号．“≠”和“=”的意义相反，在数学里也是经常用到的，例如a＋1≠a＋5．
　　二、大于号，小于号
　　现实世界中的同类量，如长度与长度，时间与时间之间，有相等关系，也有不等关系．我们知道,相等关系可以用“=”表示,不等关系用什么符号来表示呢？
　　为了寻求一套表示“大于"或“小于"的符号，数学家们绞尽了脑汁．
　　1629年，法国数学家日腊尔，在他的《代数教程》中，用象征的符号“ff”表示“大于"，用符号“§”表示“小于”．例如，A大于B记作：“AffB”,A小于B记作“A§B”．
　　1631年，英国数学家哈里奥特，首先创用符号“＞”表示“大于”,“＜”表示“小于”，这就是现在通用的大于号和小于号．例如5＞3，－2＜0，a＞b，m＜n．
　　与哈里奥特同时代的数学家们也创造了一些表示大小关系的符号．例如,1631年，数学家奥乌列德曾采用“”代表“大于”;用“”代表“小于”．
　　1634年，法国数学家厄里贡在他写的《数学教程》里，引用了很不简便的符号，表示不等关系,例如：
　　a＞b用符号“a3|2b”表示；
　　b＜a用符号“b2｜3a"表示．
　　因为这些不等号书写起来十分繁琐,很快就被淘汰了．只有哈里奥特创用的“＞

　　有的数学著作里也用符号“”表示“远大于”，其含义是表示“一个量比另一个量要大得多”；用符号“”表示“远小于”，其含义是表示“一个量比另一个量要小得多"．例如，ab，cd．
　　灵活地运用＞、＜、、这些符号，可使某些问题的推理过程变得简单明了．
　　三、大于或等于号，小于或等于号
　　人们在表达不等量关系时，常把等式作为不等式的特殊情况来处理．在许多场合下,要用到一个数（或量）大于或等于另一个数（或量)的情况,可以把“＞”，“＝”这两个符号有机地结合起来,得到符号“≥"，读作“大于或等于”，有时也称为“不小于”．同样，把符号“≤”读作“小于或等于”，有时也称为“不大于"．例如，某天最低气温－5℃，最高气温12℃．换句话说，这一天的气温不低于－5℃,不高于12℃．如果用t代表某天的气温，上面的关系可表示为：
－5℃≤t≤12℃．
　　表面看来，两个符号≥和＞好像差不多，其实是有区别的．
　　那么，怎样理解符号“≥"的含义呢?
　　有人认为,如果一个函数f(x）≥a，就断言f(x）的最小值一定等于a．
　　这种看法是片面的．
　　例如设f(x）=x2＋1，因为x2和1都是非负的，所以它们之和也是非负的,即x2＋1≥0．但不能说x2＋1的最小值是0．
　　其实，f(x）=x2＋1的最小值是1．
　　为什么会产生这样的错误呢？主要是对“≥”这个符号的含义认识不清．“≥”的意思是“＞"或者“=”，即两者必居其一，不要求同时满足．比如给出了两个函数f（x），D(x),它们的定义域相同，如果知道不论对定义域中的那个值x0，f（x0）或者大于D（x0)或者等于D（x0)，而绝不会小于D(x0),根据这种判断,自然可以写出f(x）≥D（x）．但这里并没有说，一定有使f(x）=D（x)的一个点x0．上面所举的例子f（x)=x2＋1≥0，正是属于这样情况．
　　a≥b表示a＞b或者a=b，这两种情况都有可能出现，但不要求同时存在．
　　同样，“≤”也有类似的情况．
　　因此，有人把形如a＞b，b＜a这样的不等式叫做严格的不等式，把形如a≥b，b≤a这样的不等式叫做不严格的不等式．
　　现代数学中又用符号“≮”表示“不小于"，用“≯”表示“不大于”．有了这些符号，在表示不等量关系时,就非常得心应手了．