由递推公式求通项的9种方法经典总结.doc

精析由递推公式求通项的9种方法1an1anf(n)型把原递推公式转化为an1a nf(n)，再利用累加法(逐差相加法)求解，即ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)a1f(1)f(2)f(3)f(n1)例1已知数列an满足a1，an1an，求an.解由条件，知an1an，则(a2a1)(a3a2)(a4a3)(anan1)，所以ana11.因为a1，所以an1.2an1f(n)an型把原递推公式转化为f(n)，再利用累乘法(逐商相乘法)求解，即由f(1)，f(2)，f(n1)，累乘可得f(1)f(2)f(n1)例2已知数列an满足a1，an1an，求an.解由an1an，得，故ana1.即an.3an1panq(其中p，q均为常数，pq(p1)0)型对于此类问题，通常采用换元法进行转化，假设将递推公式改写为an1tp(ant)，比较系数可知t，可令an1tbn1换元即可转化为等比数列来解决例3已知数列an中，a11，an12an3，求an.解设递推公式an12an3可以转化为an1t2(ant)，即an12ant，则t3.故递推公式为an132(an3)令bnan3，则b1a134，且2.所以bn是以b14为首项，2为公比的等比数列所以bn42n12n1，即an2n13.4an1panqn(其中p，q均为常数，pq(p1)0)型(1)一般地，要先在递推公式两边同除以qn1，得，引入辅助数列bn，得bn1bn，再用待定系数法解决；(2)也可以在原递推公式两边同除以pn1，得n，引入辅助数列bn，得bn1bnn，再利用叠加法(逐差相加法)求解例4已知数列an中，a1，an1ann1，求an.解法一：在an1ann1两边乘以2n1，得2n1an1(2nan)1.令bn2nan，则bn1bn1，根据待定系数法，得bn13(bn3)所以数列bn3是以b1323为首项，以为公比的等比数列所以bn3n1，即bn32n.于是，an3n2n.法二：在an1ann1两边乘以3n1，得3n1an13nann1.令bn3nan，则bn1bnn1.所以bnbn1n，bn1bn2n1，b2b12.将以上各式叠加，得bnb12n1n.又b13a131，所以bn12n1n2n12，即bn2n12.故an3n2n.5an1pananb(p1，p0，a0)型这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令an1x(n1)yp(anxny)，与已知递推式比较，解出x，y，从而转化为anxny是公比为p的等比数列例5设数列an满足a14，an3an12n1(n2)，求an.解设递推公式可以转化为anAnB3an1A(n1)B，化简后与原递推式比较，得解得令bnann1.(*)则bn3bn1，又b16，故bn63n123n，代入(*)式，得an23nn1.6an1pa(p0，an0)型这种类型一般是等式两边取对数后转化为an1panq型数列，再利用待定系数法求解例6已知数列an中，a11，an1 a(a0)，求数列an的通项公式解对an1a的两边取对数，得lg an12lg anlg .令bnlg an，则bn12bnlg .由此得bn1lg2，记cnbnlg，则cn12cn，所以数列cn是以c1b1lglg为首项，2为公比的等比数列所以cn2n1lg.所以bncnlg2n1lglglglga12n，即lg anlga12n，所以ana12n.7an1(A，B，C为常数)型对于此类递推数列，可通过两边同时取倒数的方法得出关系式例7已知数列an的首项a1，an1，n1,2,3，求an的通项公式解an1，1.又1，是以为首项，为公比的等比数列，1，an.8.型由原递推关系改写成然后再按奇偶分类讨论即可例8.已知数列中，求解析：，故即数列是奇数项和偶数项都是公差为2的等差数列，9.型将原递推关系改写成，两式作商可得然后分奇数、偶数讨论即可例9.已知数列中，求解析：6