由递推公式求通项的9种方法经典总结.doc

精析由递推公式求通项的9种方法
1．an＋1＝an＋f(n)型
把原递推公式转化为an＋1－a n＝f(n)，再利用累加法(逐差相加法)求解，即an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝a1＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(n－1)．
[例1]　已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝an＋，求an.
[解]　由条件，知an＋1－an＝＝＝－，则(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＝＋＋＋…＋，
所以an－a1＝1－.
因为a1＝，所以an＝＋1－＝－.
2．an＋1＝f(n)an型
把原递推公式转化为＝f(n)，再利用累乘法(逐商相乘法)求解，即由＝f(1)，＝f(2)，…，＝f(n－1)，累乘可得＝f(1)f(2)…f(n－1)．
[例2]　已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝·an，求an.
[解]　由an＋1＝·an，得＝，
故an＝··…··a1＝××…××＝.即an＝.
3．an＋1＝pan＋q(其中p，q均为常数，pq(p－1)≠0)型
对于此类问题，通常采用换元法进行转化，假设将递推公式改写为an＋1＋t＝p(an＋t)，比较系数可知t＝，可令an＋1＋t＝bn＋1换元即可转化为等比数列来解决．
[例3]　已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3，求an.
[解]　设递推公式an＋1＝2an＋3可以转化为an＋1－t＝2(an－t)，即an＋1＝2an－t，则t＝－3.
故递推公式为an＋1＋3＝2(an＋3)．
令bn＝an＋3，则b1＝a1＋3＝4，且＝＝2.
所以{bn}是以b1＝4为首项，2为公比的等比数列．
所以bn＝4×2n－1＝2n＋1，即an＝2n＋1－3.
4．an＋1＝pan＋qn(其中p，q均为常数，pq(p－1)≠0)型
(1)一般地，要先在递推公式两边同除以qn＋1，得＝·＋，引入辅助数列{bn}，得bn＋1＝·bn＋，再用待定系数法解决；
(2)也可以在原递推公式两边同除以pn＋1，得＝＋·n，引入辅助数列{bn}，得bn＋1－bn＝n，再利用叠加法(逐差相加法)求解．
[例4]　已知数列{an}中，a1＝，an＋1＝an＋n＋1，求an.
[解]　法一：在an＋1＝an＋n＋1两边乘以2n＋1，得2n＋1·an＋1＝(2n·an)＋1.
令bn＝2n·an，则bn＋1＝bn＋1，
根据待定系数法，得bn＋1－3＝(bn－3)．
所以数列{bn－3}是以b1－3＝2×－3＝－为首项，
以为公比的等比数列．
所以bn－3＝－·n－1，即bn＝3－2n.
于是，an＝＝3n－2n.
法二：在an＋1＝an＋n＋1两边乘以3n＋1，得
3n＋1an＋1＝3nan＋n＋1.
令bn＝3n·an，则bn＋1＝bn＋n＋1.
所以bn－bn－1＝n，bn－1－bn－2＝n－1，…，
b2－b1＝2.
将以上各式叠加，
得bn－b1＝2＋…＋n－1＋n.
又b1＝3a1＝3×＝＝1＋，
所以bn＝1＋＋2＋…＋n－1＋n
＝＝2n＋1－2，
即bn＝2n＋1－2.
故an＝＝3n－2n.
5．an＋1＝pan＋an＋b(p≠1，p≠0，a≠0)型
这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令an＋1＋x(n＋1)＋y＝p(an＋xn＋y)，与已知递推式比较，解出x，y，从而转化为{an＋xn＋y}是公比为p的等比数列．
[例5]　设数列{an}满足a1＝4，an＝3an－1＋2n－1(n≥2)，求an.
[解]　设递推公式可以转化为an＋An＋B＝3[an－1＋A(n－1)＋B]，
化简后与原递推式比较，得
解得
令bn＝an＋n＋1.(*)
则bn＝3bn－1，又b1＝6，故bn＝6·3n－1＝2·3n，
代入(*)式，得an＝2·3n－n－1.
6．an＋1＝pa(p>0，an>0)型
这种类型一般是等式两边取对数后转化为an＋1＝pan＋q型数列，再利用待定系数法求解．
[例6]　已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝ ·a(a>0)，求数列{an}的通项公式．
[解]　对an＋1＝·a的两边取对数，
得lg an＋1＝2lg an＋lg .
令bn＝lg an，则bn＋1＝2bn＋lg .
由此得bn＋1＋lg＝2，记cn＝bn＋lg，则cn＋1＝2cn，
所以数列{cn}是以c1＝b1＋lg＝lg为首项，2为公比的等比数列．
所以cn＝2n－1·lg.
所以bn＝cn－lg＝2n－1·lg－lg
＝lg＝lga1－2n，
即lg an＝lga1－2n，所以an＝a1－2n.
7．an＋1＝(A，B，C为常数)型
对于此类递推数列，可通过两边同时取倒数的方法得出关系式
[例7]　已知数列{an}的首项a1＝，an＋1＝，n＝1,2,3，…，求{an}的通项公式．
[解]　∵an＋1＝，∴＝＋，
∴－1＝.
又－1＝，
∴是以为首项，为公比的等比数列，
∴－1＝·＝，
∴an＝.
8.型
由原递推关系改写成然后再按奇偶分类讨论即可
例8.已知数列中，求
解析：
，故
即数列是奇数项和偶数项都是公差为2的等差数列，

9.型
将原递推关系改写成，两式作商可得然后分奇数、偶数讨论即可
例9.已知数列中，求
解析：
6