2020-2021学年北师大版高中数学必修5双基限时练15.docx

双基限时练(十五)
一、选择题
1．在△ABC中，sin2A·sin2B＝1，则△ABC是(　　)
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形
C．等边三角形 D．直角三角形
解析　在△ABC中，由sin2A·sin2B＝1，知
又A、B为△ABC的内角，∴A＝B＝45°.
∴△ABC为等腰直角三角形，故选B.
答案　B
2．在△ABC中，sin2A＝sin2B＋sinBsinC＋sin2C，则A等于(　　)
A．30° B．60°
C．120° D．150°
解析　由正弦定理，可知a2＝b2＋c2＋bc，由余弦定理，可知A＝120°.
答案　C
3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，则△ABC的外接圆的直径是(　　)
A．4 B．5
C．5 D．6
解析　∵S△ABC＝acsinB＝2，∴c＝4.
又b2＝a2＋c2－2ac·cosB
＝1＋32－2×1×4×＝25，
∴b＝5，又2R＝＝5.
答案　C
4．在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，则AC边上的高为(　　)
A. B.
C. D．3
解析　由余弦定理可知13＝9＋16－2×3×4×cosA，得cosA＝，又A为三角形的内角，
∴A＝，∴h＝AB·sinA＝.
答案　B
5．在△ABC中，A＝60°，且最大边的长和最小边的长是方程x2－7x＋11＝0的两根，则第三边的长为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
解析　设最大的边长为x，最小的边长为y.
由韦达定理，A＝60°，
∴y≤a≤x，由余弦定理，得
a2＝x2＋y2－2xycos60°＝(x＋y)2－3xy＝49－33＝16，故a＝4.
答案　C
6．在钝角△ABC中，a＝1，b＝2，则最大边c的取值范围是(　　)
A．1<c<3 B．2<c<3
C.<c<3 D．2<c<3
解析　由cosC＝<0得c2>a2＋b2＝5.∴c>.又c<a＋b，∴<c<3.
答案　C
二、填空题
7．在△ABC中，sinA＝2cosBsinC，则三角形为____________．
解析　由已知得sinBcosC＋cosBsinC＝2cosBsinC，
∴sin(B－C)＝0，∴B＝C.
答案　等腰三角形
8．在△ABC中，若m＝(sinA，cosA)，n＝(cosB，sinB)，m·n＝sin2C，则角C＝________.
解析　∵m·n＝sinAcosB＋cosAsinB＝sin2C，得cosC＝，又C为△ABC的内角，∴C＝.
答案　
9．在△ABC中，AB＝12，∠ACB的平分线CD把三角形面积分成32两部分，则cosA＝________.
解析　∵CD是∠ACB的平分线，
∴＝
＝＝＝.
又B＝2A，∴＝，∴cosA＝.
答案　
三、解答题
10．在△ABC中，sinA＋cosA＝，AC＝2，AB＝3，求tanA的值和△ABC的面积．
解　∵sinA＋cosA＝cos(A－45°)＝，
∴cos(A－45°)＝.又0°<A<180°，
∴A－45°＝60°，∴A＝105°，
tanA＝tan(45°＋60°)＝＝－2－，
sinA＝sin105°＝sin(45°＋60°)
＝sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝，
S△ABC＝AC·AB·sinA
＝×2×3×＝(＋)．
11．△ABC中，D为BC上的一点，BD＝33，sinB＝，cos∠ADC＝，求AD.
解　由cos∠ADC＝>0，知B<.
由已知得cosB＝，知sin∠ADC＝，
从而sin∠BAD＝sin(∠ADC－B)
＝sin∠ADC·cosB－cos∠ADCsinB
＝×－×＝.
由正弦定理，得＝.
∴AD＝＝＝25.
12．已知锐角△ABC中，bsinB－asinA＝(b－c)sinC，其中a、b、c分别为内角A、B、C的对边．
(1)求角A的大小；
(2)求cosC－sinB的取值范围．
解　(1)由正弦定理得b2－a2＝(b－c)·c.
即b2＋c2－a2＝bc.
∴cosA＝＝＝.
又∵A为三角形内角，∴A＝.
(2)∵B＋C＝π，∴C＝π－B.
∵△ABC为锐角三角形，
∴
∴<B<.
又∵cosC－sinB＝cos－sinB
＝－cosB＋sinB＝sin，
∵<B<，∴－<B－<.
∴－<sin(B－)<.
即cosC－sinB的取值范围为.
思 维 探 究
13．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，cosB＝，且·＝－21.
(1)求△ABC的面积；
(2)若a＝7，求角C.
解　(1)∵·＝－21，∴·＝21.
∴·＝||·||·cosB＝accosB＝21.∴ac＝35，
∵cosB＝，∴sinB＝.
∴S△ABC＝acsinB＝×35×＝14.
(2)∵ac＝35，a＝7，∴c＝5.
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB＝32，
∴b＝4.由正弦定理＝.
∴sinC＝sinB＝×＝.
∵c<b且B为锐角，∴C肯定是锐角．∴C＝45°.