第五章留数及其应用.doc

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第五章 留数及其应用
§1. 孤立奇点
一. 孤立奇点的分类
1. 孤立奇点的概念
定义： 若函数在点不解析，但在点的某一去心邻域内处处解析.则称为的孤立奇点.
例1. 求下列函数的奇点，并各奇点是否为孤立奇点.
(1） (2)
（3） (4)
注意: 孤立奇点一定是奇点， 但奇点不一定是孤
立奇点.
2. 孤立奇点的分类
设为的孤立奇点, 在点的洛朗展式为。
（ⅰ) 若有恒成立，则称为 的可去奇点。
（ⅱ) 若有，但对于有恒成立，则称为的m阶极点.
(ⅲ) 若有，则称为 的本性奇点。

说明: (1)

为的洛朗展式，其和函数为在点解析的函数。
（2） 无论函数在点是否有定义,补充定义 则函数在点解析。

3. 孤立奇点的类型的判断
（1) 可去奇点的判定方法
定理1 设在点的某一邻域 内解析,则为的可去奇点的充分必要条件是:.
定理1’ 设是的孤立奇点，则为的可去奇点的充分必要条件是： 在内有界。

（2) 极点的判定方法
结论： 是的m阶极点的充要条件是：

其中在邻域内解析,且。

定理2设在点的某一邻域 内解析，则为的极点的充要条件是:是的m阶极点的充要条件是： 其中为一确定的非零复常数，m为正整数.

(3) 本性奇点的判定方法
定理3 设在点的某一邻域 内解析，则为的本性奇点的充要条件是: 极限与均不成立.

例2. 判断下列函数的奇点的类型：
（1） （2)
（3)

二. 函数的零点与极点的关系
定义： 若有正整数m，使得,其中
在点解析且,则称为 的m阶零点。

定理4 若在点解析,则为 的m阶零点的充要条件是：

但

例3. 判断函数的零点及其阶数。
定理5 若为 的m阶极点,则为 的m阶零点。反之亦然.
例4. 判断函数的极点及其阶数.

三. 函数在无穷远点的性态
定义： 若存在R〉0，有函数在无穷远点的邻域内解析，则称无穷远点为的孤立奇点。
设在无穷远点的邻域内的洛朗展式为那么规定:
（ⅰ) 若有恒成立，则称为的可去奇点。
(ⅱ） 若有,但对于有恒成立,则称为的m阶极点.
(ⅲ） 若有,则称为的本性奇点。

定理6 设在区域内解析，则
为的可去奇点、极点和本性奇点的充要条件分别是：极限存在、为无穷及即不存在,也不是无穷。

例5. 判断下列函数的奇点的类型：
(1）
(2）
（3）
(4）
例6. 判断函数的孤立奇点的类型。

§2. 留数
一. 留数的概念及留数定理
定义： 设为解析函数的孤立奇点，其洛朗展式为,称系数为在处的留数，记作Res.
例6 求在孤立奇点0处的留数.

例7 求在孤立奇点0处的留数。

例8 求在孤立奇点0处的留数。

定理7（留数定理) 设在区域D内除有限多个孤立奇点外处处解析,C是D内包围各奇点的任意一条正向简单闭曲线,那么

例9 计算积分 。

二. 函数在极点的留数
法则Ⅰ 如果为的简单极点,则
Res.
例10 求在各孤立奇点处的留数.

法则Ⅱ 设，其中在点解析，如果为的一阶零点，则为的一阶极点,且

例11 求在的留数。

法则Ⅲ 如果为的m阶极点,则
Res.
例12求在孤立奇点0处的留数。

例13 计算积分

例12 计算积分

三. 无穷远点的留数
定义： 设函数在区域内解析,即为函数的孤立奇点,则称

为在的留数，记作Res.

定理8 如果函数在z平面只有有限多个孤立奇点(包括无穷远点)，设为.则在所有孤立奇点处的留数和为零。

法则Ⅳ(无穷远点的留数） 若为函数的孤立奇点，则
Res Res。

例14求在它各有限奇点的留数之和.

例15 计算积分其中C为正向圆周

§3. 留数在定积分计算中的应用
一. 形如的积分
思想方法 ： 把定积分化为一个复变函数沿某条周线的积分 .
两个重要工作: 1） 积分区域的转化,
2) 被积函数的转化.

当从0到时，z沿单位圆的正向绕行一周.
例16 计算
的值。

二. 形如的积分
设为复函数的实值形式，其中满足条件:
（1) ；
（2） 在实轴上无零点；
(3） 在上半平面内只有有限多个孤立奇点
则有
=.

例17计算积分

三. 形如的积分
定理9 （若当引理） 设函数在闭区域：
上连续,并设是该闭区域上一段以原点为中心,以为半径的圆弧.若在该闭区域上有
，
则对任何a〉0，有
.

由若当引理可知：
.
其中为真分式在上半平面内的所有孤立奇点。
例18. 计算积分:

另：在二、三两种类型的实积分中,若对应的复函数在实轴上也有孤立奇点，则有

例19. 计算积分