2023年高考数学一轮复习 课件 第十三单元 概率与统计.pdf

2023届新奉索高考第一轮复习第十三单元概率与统计|数学13.1随机事件及其概率目o学基础知识 O讲考点考向 O悟方法技巧学基础知识知识清单1.随机事件和确定事件在条件S下,一定会发生的事件叫作相对于条件S的 必然事件.在条件S下，一定不会发生的事件叫作相对于条件S的不可能事件.必然事件与不可能事件统称为确定事件.(4)在条件S下可能发生也可能不发生 的事件.叫作随机事件.(5)确定事件和随机事件统称为事件.一般用大写字母A,用C,表示.2.频率和概率在相同的条件S下重复次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出 nA现的次数叽为事件A出现的频数,称事件A出现的比例力(A尸二为事件A出现的频率.对于给定的随机事件A,如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率以A)稳定在某个常数上才巴这个常数记作尸(A),称为事件A的概率，简称为A的概率.3.事件的关系与运算定义符n表小包含关系若事件A发生,则事件 3一定发生汶时称事 件5包含事件A（或称 事件A包含十事件5）3.A（或 AU5）相等关系若BA且心民贝!称 事件人与事件B相等A=B6目录定义符号表示并事件若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件AUB（或 A+3）（和事件）A与事件B的并事件（或和事件）交事件若某事件发生当且仅当事件A发牛日事件R发牛，则称此事件为事AOB（或 AB）（积事件）件A与事件B的交事件（或积事件）互斥事件若AHB为不可能事件，则称事件A与事件B 互斥ACB=0对立事件若为不口能事件4 U B为必然事且件，则称事件A与事件B互为对立事件AUB=U4.概率的几个基本性质概率的取值范围：.必然事件的概率为J_.不可能事件的概率为。.(4)概率的加法公式若事件A与事件B互斥，则P(A UB尸尸(A)+P(3).(5)对立事件的概率若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)=LP(B)【目录,拓展知识1.频率随着试验次数的改变而改变，概率是一个常数.2.对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件,“互斥”是“对立”的必 要不充分条件.3.概率的一般加法公式P(A U B)=P(A)+P(5)-P(An5)中,易忽视只有当AAB=0,gp A.B 互斥时,P(A U B)=P(A)+P(3),止匕时 P(AnB)=O.夯实基础【概念辨析】1.判断下面结论是否正确.(对的打，错的打x)(1)事件发生的频率与概率是相同的.(X)(2)两个事件的和事件发生是指两个事件同时发生.(x)对于任意事件A,8总有公式尸(AU5)=尸(A)+P(3).(x)(4)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件.(V)【对接教材】2.把语文、数学、英语三本学习书随机分给甲、乙、丙三位同学，每人一本，则 事件A为“甲分得语文书”，事件B为“乙分得数学书”，事件C为“丙分得英语书”,则下列说法正确的是（C）.A.A与5是不可能事件C.A与5不是互斥事件B.A+5+C是必然事件D.B与C既是互斥事件也是对立事件解析都是随机事件，可能发生,也可能不发生，故A,B都不正确;“A,中可能同时 发生，故与“十不互斥，故C正确;“中与“。既不互斥，也不对立，故D不正确.3.一个盒子内装有红球、白球、黑球三种球,其数量分别为3,2,1,从中任取两球，则互斥 而不对立的两个事件为（D）.A.至少有一个白球渚B是白球B.至少有一个白球;至少有一个红球C.恰有一个白球;一个白球一个黑球D.至少有一个白球;红球、黑球各一个解析红球、黑球各取一个，则一定取不到白球，故“至少有一个白球”“红球、黑球 各一个为互斥事件，又任取两球还包含“两个红球”这个事件，故不是对立事件.【易错自纠】4.（2022.北京模拟）根据历年气象统计资料，某市在七月份的某一天吹南风的概率为25%,下雨的概率为35%,吹南风或下雨的概率为38%,则既吹南风又下雨的概率为（A）.A.22%B.13%C.24%D.28%解析由题知，既吹南风又下雨的概率为25%+35%-38%=22%.故选A.5.一只袋子中装有7个红球,3个绿球，从中无放回的任意抽取两次,每次只取一个，取得28个红球的概率为高取得2个绿球的概率为白则取得2个同颜色球的概率为15；至少1b14 JL 5-取得1个红球的概率为 云.解析由于“取得2个红球”与“取得2个绿球”是互斥事件，取得2个同颜色球，只需两互斥事件有一个发生即可，因而取得2个同颜色球的概率设事件A为“至少取得1个红球工事件B为“取得2个绿球工由于事件A“至少取得1个红球”与事件5“取得2个绿球”是对立事件，则至少取得1个红球的概率尸(4)=1-尸=1-2=与 JL Cj JL lJ讲考点考向【目录,考点1事件的关系【题组过关】1.（2022.山东青岛期末）某人打靶时连续射击两次,设事件A为“只有一次中靶”乃为“两次都中靶”，则下列结论正确的是（C）.A.AQBB.ACW。C.A U B为“至少一次中靶”D.A与3互为对立事件解析事件A为“只有一次中靶”乃为“两次都中靶”，所以A,B是互斥但不是对立事件，所以A,B,D选项错误,A U B为“至少一次中靶工C选项正确.2.在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张,若事件“2张全是移动卡的概率是宗则概率是看的事件是（A）.A.至多有一张移动卡 B.恰有一张移动卡C.都不是移动卡 D.至少有一张移动卡解析概率是高的事件是“2张全是移动卡”的对立事件，包含“一张移动卡，一张联通卡”“两张全是联通卡”两个事件,即至多有一张移动卡，故选A.3.（2022.辽宁模拟）口袋里装有1红,2白,3黄共6个除颜色外完全相同的小球，从中取 出两个球，事件A为“取出的两个球同色”乃为“取出的两个球中至少有一个黄球为“取出的两个球至少有一个白球”，。为“取出的两个球不同色”乃为“取出的两个球中至 多有一个白球”.下列判断中正确的序号为 3.A与。是对立事件;5与C是互斥事件;。与E是对立事件;尸（C U E）=1.解析当取出的两个球为一黄一白时乃与C都发生，不正确;当取出的两个球中 恰有一个白球时，事件c与E都发生，不正确;显然A与。是对立事件，正确;C u E为必然事件,p（c UE）=1，正确.点拨 判断事件间关系的方法:(1)要考虑试验的前提条件,无论是包含、相等，还 WVWWWVVVVWVVVW是互斥、对立，其发生的条件都是一样的。)考虑事件间的结果是否有交事件,可考虑利用Venn图分析，对较难判断关系的，也可列出全部结果，再进行分析.考点2随机事件的频率与概率【题组过关】1.某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车 的赔付结果统计如下：赔付金额（元）010002000 30004000车辆数（辆）500130100150120若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；在样本车辆中，车主是新司机的占10%,在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%,估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率解析(1)设A表示事件“赔付金额为3000元”乃表示事件“赔付金额为4000 元，以频率估计概率，得尸(A尸输=0.15,尸=搞=0.12.因为投保金额为2800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是3000元和4000 元，所以所求概率约为尸(A)+尸(5)=0.15+0.12=0.27.设。表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知彳导样本车辆中车主 为新司机的有0.1X 1000=100辆,而赔付金额为4000元的车辆中,车主为新司机 的有0.2x120=24辆，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为 磊=0.24,由频率估计概率得尸(。=0.24.2.（2022.甘肃月考）下列说法正确的是（D）.A.甲、乙二人比赛,甲胜的概率为|,则比赛5场，甲胜3场B.某医院治疗一种疾病的治愈率为10%,前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈C.随机试验的频率与概率相等D.天气预报中，预报明天降水概率为90%,是指降水的可能性是90%解析A选项，此概率只说明发生的可能性大小，具有随机性，并非一定是5场胜3场；B选项,此治愈率只说明发生的可能性大小，具有随机性，并非10人一定有人治愈；C选项，试验的频率可以估计概率，并不等于概率；D选项,概率为90%,即可能性为90%.故选D.4【目录,点拨(1)概率与频率的关系:概率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频 XA/WWlA/WWlA/WWW率是随机的，而概率是一个确定的值,通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率作为随机事件概率的估计值.(2)随机事件概率的求法:利用频率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数,这个常数就是概率.考点3互斥事件与对立事件的概率【典例迁移】典例某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得,1000张奖券为一个 开奖单位，设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个.记1张奖券中特等奖、一等奖、二等 奖的事件分别为AAG求1张奖券的中奖概率.解析设力张奖券中奖”为事件M则M-AUBU C,依题意得，尸(加=嬴，尸(为=盖？尸(=蒜，因为A3,C两两互斥，所以 P(M)=P(A UBU。=尸+尸+P(O=二蒜，故1张奖券的中奖概率为焦.点拨求互斥事件与对立事件概率的方法直 接 法将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的 事件的概率的和，运用互斥事件概率的求和 公式计算晓泰正事祥而得芟事彳,而诲簟;苒甫公氏）=1-尸（床），即运用逆向思维（正难则，特别是“至多”“至少”，用间接法求就 显得较为简便6【追踪训练】（2022.四J11宜宾押题）某盒子里有若干个除颜色外完全相同的蓝色球紫色球和黑色球，已知从盒中一次性取出3个球都是蓝色球的概率是上，取出3个球都是 165紫色球的概率是白，取出3个球都是黑色球的概率是白，若从盒中任意取出3个球，则这 165 1653个球的颜色不全相同的概率是（B）.A怖 B.g C.W D.白55 55 11 11解析:“3个球的颜色不全相同”的对立事件为“3个球恰好是同一颜色”，而任意取出3个球恰好是同一颜色的概率尸二+白+白=康，165 165 165 55所求概率为J J J J悟方法技巧方法突破正难则反的思想人们的思维活动既有“求同”和“定势”的方面，又有“求异”和“变通”的方面求 同与求异,定势与变通是人的思维个性的两极.我们习惯的思维方式是正向思维,即从条件入手，进行正面的推导和论证，使问题得到解决.目录典例(2022.广州三校联考)易系辞上有“河出图，洛出书，之说，河图洛书是中华文化,阴阳术数之源，其中河图的排列结构是 一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如 图，白圈为阳数，黑点为阴数若从阳数和阴数中各取一数分别记为。力，则满足|。力归2的概率为(c).D噂解析若从阳数和阴数中各取一数分别记为，瓦由于事件(力)共有5x5=25个，满足I。出 2 的有(1,2),(3,2),(3,4),(5,4),(5,6),(7,6),(7,8),(9,8),(9,10),共 9 个,记事件 B 为 满足|。力|2的事件厕P(5)4,则满足|/巨2的事件的概率为P宙)=1-尸0尸1卷4.方法总结第一步判断事件4的概率计算是否适合用间接 法，而判断的标准是正向思考时分类较多，其对立面的分类较少，此时应用间接法第二步利用互斥事件或交、并事件的概率计算公 式计算事件4的对立事件了的概率4第三步:运用公式P(4)=1_P(Z)求解【突破训练】某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员 工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表.一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数（人）X3025y10结算时间（分钟/人）11.522.53已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.确定N的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；（2）求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率（将频率视为概率）.目录，解析由已知得25+丁+10=552+30=45,所以=15,y=20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的 结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本,顾客一次购物的结算时间的 平均值可用样本平均数估计，其估计值为1x15+15x30+2落+2.5X20+3X10=9(分钟).(2)记A为“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”分别表示“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”和“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率，得。(4)=里=3尸02)=旦=十川 V 100 5 1 7 100 101 1 7P(A)=1-P(Ai)-P(A2)=1-=-.。-L U故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为高.2023届新奉索高考第一轮复习第十三单元概率与统计|数学13.2古典概型与几何概型目o oo学基础知识讲考点考向 悟方法技巧学基础知识知识清单1,基本事件的特点任何两个基本事件都是互用的任何事件（除不可能事件）都可以表示成里本事生的和.2.古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型.有限性:试验中所有可能出现的基本事件只有有限个.(2)等可能性:每个基本事件出现的可能性相互.如果一次试验中可能出现的结果有个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是工；如果某个事件A包括的结果有m个,那么事 n件4的概率P(A)=二3.古典概型的概率公式P(A)=人包含的基本事件的个数基本事件的总数4.几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例 则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型.5.几何概型的概率公式构成事件”的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）目录，拓展知识(1)对古典概型的理解一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点有限性 和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型.正确判断试验的类型是解 决概率问题的关键.古典概型是一种特殊的概率模型，但并不是所有的试验都是古典概型.古典概型是一种特殊的概率模型，但并不是所有的试验都是古典概型.在几何概型中，如果A是确定事件，若A是不可能事件，则P(A)=O肯定成立;若随机事件所在的区域是一个单点，由于单 点的长度、面积和体积都是。，则它出现的概率为0,显然它不是不可能事件,因此由 P(A)=0不能推出A是不可能事件.若A是必然事件，则P(A)=1肯定成立;若随机事件所在的区域是从全部区域中扣除 一个单点，则它出现的概率是1,但它不是必然事件,因此由P(A)=1不能推出A是必然 事件.【概念辨析】夯实基础1.判断下面结论是否正确.(对的打，错的打x)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关.(X)几何概型与古典概型中的基本事件发生的可能性都是相等的，其基本事件个数都有限.(X)(3)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个事件是等可能事件.(x)在古典概型中,若事件A中基本事件构成集合A,所有的基本事件构成集合/,则事件A的概率为card(Z)card(/)【对接教材】2.已知5件产品中有2件次品，其余为合格品.现从这5件产品中任取2件，恰有 一件次品的概率为 0.6.解析由列举法可知，从5件产品中任取2件共有10种取法，恰有一件次品的取法有6种，所以恰有一件次品的概率为搞=063,设不等式组:表示的平面区域为2在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率为1.解析如图,正方形0A5C及其内部为不等式组表示的平面区 域。，且区域D的面积为4,而阴影部分表示的是区域D内到坐 标原点的距离大于2的区域.易知该阴影部分的面积为4-九.因 此满足条件的概率是?=1之【易错自纠】4.掷一个骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现，事件B表示“小于5的点,2数出现“，则一次试验中，事件A+B发生的概率为 W.解析掷一个骰子的试验有6种可能结果，依题意得尸(4)=|4,尸(5)W=|,6 3 6 3所以尸(3)=1-尸(5)=1-|4显然A与后互斥从而尸(A+后尸尸+尸(片)=；+9|.【目录,5.在区间-2,4上随机地取一个数%若%满足的概率为|,则m=36-解析由|小九得-彷把祖.当0加二2时，由题意得誓解得加=25舍去.O O当2 m 4时而题意得U解得m=3.O O讲考点考向考点1古典概型的概率计算【典例迁移】例1某游乐场在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所 示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的 数分别为砂奖励规则如下：若孙W3,则奖励玩具一个;若孙N8,则奖励水杯一个;其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀.小毛准备参加此项活动.奥求小毛获得玩具的概率；(2)请比较小毛获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.【目录,解析用数对(羽y)表示儿童参加活动先后记录的数，则样本空间。与点集S=(%,y)W N,y W N，1 x 4,l y=%由列举法可知，基本事件总数=10,其中一个函数是奇函数、另一个函数是增函数的事件有（产羽尸/）,（产羽尸%5）（产%3尸%5）,（y=x-l y=x）,1 _.A 2（y=xL产马.（产尸1,尸党,共6种故满足条件的概率P=-=-.U J2.(2022.陕西西安期末)在区间-3,3上随机取一个整数使得ln(x+2)-ln 50 成立的概率为(B).3-7*A4-7B6-7*C5-7*D解析由ln(%+2)-ln5 0得。%+25,解得-2%3在区间-3,3上的整数有-3,2-1,0,1,23共7个;在区间(23)上的整数有-1,0,12共4个.故所求概率尸三.3.（2022.重庆第五次月考）斐波那契数列又称黄金分割数列，因为数学家列昂纳 多斐波那契以兔子繁殖为例子引入，故又称为“兔子数列”.在数学上斐波那契数 列被以下递推方法定义:数列斯满足=。2=1，诙+2=+1+以（N*）.现从该数列 的前10项中随机地抽取一项，则该数除以3余数为1的概率为（D ）.1 1 3 1A.：B.y C.|D.：8 4 8 2解析数列诙满足1=2=1,即+2=斯+1+斯（几叶）数列的前10项为1,1,2,3,5,8,13,21,34,55该数列被 3 除所得的余数为 1,1,2,022,1,0,1,1,所以10项中共有5项满足除以3余数为1,故所求概率尸=3=；.【目录,点拨求解古典概型的交汇问题，关键是把相关的知识转化为事件，然后利用古典 WWWWWWWWWW概型的有关知识解决，一般步骤如下：(1)将题目条件中的相关知识转化为事件；(2)判断事件是否为古典概型；选用合适的方法确定基本事件个数；(4)代入古典概型的概率公式求解.考点3几何概型【考向变换】考向1与长度(角度)有关的几何概型例2已知圆C：%2+y2=l,直线/：产左(%+2),在上随机选取一个数匕则事件，直线I 3-V3与圆。相离”发生的概率为二【目录,解析当直线/与圆。相离时力给1,解得Q4或k1+1有零1-4 A1-3B1-2 C2-3 D解析令U2%,函数有零点就等价于方程己2什1=0有正根，M 0,进而可得h+。a得介1,工1七2。，又，引22,所以函数有零点的实数a应满足仁1,2,故P=住故选A.如图扇形A。打的圆心角为120。点。在弦上，且AP二%凡延长OP交弧AB于点C现向扇形AOB内投一点，则该点落在扇形AOC 1内的概率为 Z.解析设04=3,则A3=38，所以4尸二遮,由余弦定理可求得。尸二遍,乙4。尸=3。,3ti所以扇形AOC的面积为扇形AOB的面积为3兀,从而所求概率为六三.4 3Tt 4考向2与面积有关的几何概型例3（2022.陕西西安仿真模拟）已知力是区间0,4上的任意实数，则函数1）=苏.加:+1在2,+8）上单调递增的概率为（D）.A-A，8B-i解析因为力是区间0,4上的任意实数则函数於）=加以+1在2,+8）上单调递增，所以幺2得左4,即图中阴影部分所示，Za一一一_,”：4x4-ixlx4 14 7则所求概率尸=-=77=54X4 lo o点拨 求与面积有关的几何概型的概率的方法:(1)确定所求事件构成的区VWWWWWVWWWW域图形，判断是否为几何概型;(2)分别求出。和所求事件对应的区域面积，用几何概型的概率计算公式求解.【追踪训练3（2022.江西八校联考）小华爱好玩飞镖，现有如图 所示的两个边长都为2的正方形ABCD和OPQR构成的标靶图形，若。点正好是正方形ABCD的中心，而正方形OPQR可以绕点。旋 转，则小华随机向标靶投飞镖射中阴影部分的概率是（D）.1-3A1-4R1-9 C1-7D解析如图，连接0504可得与OAN全等，所以S四边形mon产Sao；x2xl=l,即正方形ABC。和。尸。H重叠的面积为1.又正方形 乙A5CZ）和。尸。尺构成的标靶图形面积为4+4.1=7,故小华随机向标靶投飞镖射中阴影部分的概率是:，故选D.悟方法技巧方法突破古典概型与数学文化的交汇问题数学文化是一种命题的载体，命题者常常从九章算术等中国古代数学名著中挖掘素材，如古典概型中的数学文化.典例（2022.江苏联考）周髀算经中给出了冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二节气的日影长依次成等差数列的结论,已知某地立春与立夏两个节气的日影长分别为10.5尺和4.5尺,现在从该地日影长小于9尺的节气中随机抽取2个节气进行日影长情况统计，则所选取的2个节气中至少有1个节气的日影长小于5尺的概率为（D）.A 3A方4b513,21Dl【目录,解析设这十二节气中第N*)个节气的日影长为斯尺，由题意可知数列斯为等差数列，设其公差为d,由题意得。4=10.5,10=4.5,6d=的0-。4=-6,d=-l,an-a+(n-4)d=10.5-(n-4)=14.5-n.令诙=14.55.5;令诙=14.5-5,解得n9.5.由列举法可知，从该地日影长小于9尺的节气中随机抽取2个节气，所有的基本事件有21个,“至少有一个节日的日影长小于5尺”所包含的基本事件有共 15 个,故所求概率为那V 乙JL/方法总结概率与古典概型的结合问题，要先读懂题意，然后利用排列组合求出总的基本事件与部分基本事件，最后利用古典概型公式求解.【突破训练】（2022.湖北宜昌月考）周易是我国古代典 籍，用“卦”描述了天地世间万象变化.如图所示的是一个八卦图，包 含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成,其中表示一个阳爻二二表示一个阴爻）若从八卦中任取两卦,这两卦的六个爻中恰有一个阳爻的概率为（B）.A 3 ARB,卷D.；4【目录,解析由列举法可知，从八卦中任取两卦的基本事件有28个，由图可知，仅有一个阳爻的有坎、艮、震三卦，没有阳爻的是坤卦,所以两卦的六个爻中恰有一个阳爻的基本事件有3个，所以两卦的六个爻中恰有一个阳爻的概率尸=/.Zo2023届新奉索高考第一轮复习第十三单元概率与统计|数学13.3随机抽样目o学基础知识 O讲考点考向 O悟方法技巧学基础知识知识清单1.简单随机抽样定义:一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取个个体作为 样本且每次抽取时各个个体被抽到的机会都速瞳，就称这样的抽样方法为简单随 机抽样.(2)常用方法:抽签法和随机数法.2.系统抽样步骤:先将总体的N个个体编号；根据样本容量，当“是整数时，取分段间隔kA n n在第1段用 简单随机抽样 确定第一个个体编号/()；按照一定的规则抽取样本.(2)适用范围:适用于总体中的个体数较多时.3.分层抽样定义:在抽样时，将总体分成耳丕交叉_的层，然后按照一定的比例,从各层 独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本,这种抽样方法叫作分层抽样.适用范围:适用于总体由差异比较明显的几个部分组成时.【目录,拓展知识随机数法编号要求:应保证各号数的位数相同，而抽签法则无限制.系统抽样是等距抽样,入样个体的编号相差人的整数倍.n分层抽样是按比例抽样,每一层入样的个体数为该层的个体数乘以抽样比(4)三种抽样方法的比较类别共同点各自特点相互联系适用范围简单随机抽样是不放回抽样，抽样 过程中，每个个体被 抽到的机会(概率)相等从总体中逐个抽取总体中的个数较 少系统抽样将总体均分成几部分，按事先确定的规则，在 各部分抽取在起始部分抽样 时,采用简单随机 蝌总体中的个数比 较多分层抽样将总体分成几层，分层 进行抽取在各层抽样时，采 用简单随机抽样 或者系统抽样总体由差异明显 的几部分组成夯实基础【概念辨析】1.判断下面结论是否正确.（对的打 飞，错的打X）在抽签法中，先抽的人抽中的可能性大（X）（2）系统抽样在起始部分抽样时采用简单随机抽样.（V）（3）在分层抽样的过程中，哪一层的样本越多，该层中个体抽取到的可能性越大.（x）（4）要从1002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2个学 生，这样对被剔除者不公平.（x）【对接教材】2.在一次游戏中，获奖者可以得到5件不同的奖品，这些奖品要从由150编号的 50种不同奖品中随机抽取确定，用系统抽样的方法为某位获奖者确定5件奖品的 编号可以为（A）.A.7,17,27,37,47C.11,22,33,44,50B.1,357,9D.12,15,19,23,28解析采用系统抽样的等距抽样法才由样间距为随机抽取的第1个奖品编号，设为。（1%勺0）,则其他奖品编号分别为10+。,20+4,30+4,40+4,所以可知A正确.3.一个公司共有N名员工，下设一些部门，要采用按比例分层抽样的方法从全体员工中抽取样本容量为的样本，已知某部门有加名员工，那么从该部门抽取的员工人数 mn是2ZE解析该部门每个员工被抽到的概率是去设这个部门抽取了 X个员工，则王吟所以广等.m N N【易错自纠】4.山东荷泽某牡丹种植基地，培育A,民。三个品种的红牡丹分别有1200株、1000株 800株,现用分层抽样的方法，从三个品种中抽取150株参加节日展览,则应从。品种 中抽取（C）株.A.60 B.50 C.40 D.3 0解析8001200+1000+800X 150=40.目录5.（2022.郑州调研）某校有高中生1500人，现采用系统抽样法抽取50人做问卷调查,将高一、高二、高三学生（高一、高二、高三分别有学生495人、490人、515人）按1,2,3,1500编号，若第一组用简单随机抽样的方法抽取的号码为23,则所抽样本 中高二学生的人数为（C）.A.15 B.16 C.17 D.18解析采用系统抽样法从1500人中抽取50人,所以将1500人平均分成50组，每组30人,并且在第一组抽取的号码为23,所以第组抽取的号码为念=23+（止1）*30 二30-7,而高二学生的编号为496到985,所以496s30-73985,又金N*,所以173彷33,则共有17人故选C.i讲考点考向考点1简单随机抽样【题组过关】1.（2022吉林梅河口联考）2021年5月31日世界无烟日，新华小区随机调查了 300个成年 人，结果其中有45个成年人吸烟.对于这个关于数据收集与处理的问题，下列说法正确的 是（D）.A.调查的方式是普查 B.样本是45个吸烟的成年人C.本小区只有255个成年人不吸烟 D.本小区约有15%的成年人吸烟【目录,解析由题意知，该调查方式是抽样调查，所以A项不正确；因为样本是这300个成年人，所以B项不正确；只是样本的300中，有255个成年人不吸烟，所以C项不正确；根据样本数据，可估计该小区成年人吸烟的概率为羔=15%,所以D项正确.故选D.2.（2022.云南昆明月考）某工厂为了对40个零件进行抽样调查，将其编号为 00,01,38,39.现要从中选出5个,利用下面的随机数表，从第1行第3列开始，由左至右依次读取很U选出来的第5个零件编号是（C）.0347 43732616 80451457 2042A.3 68636 96476011 14105332 3732B.163661 46989577 74242707 3607C.116371 62336762 42815124 5179D.14解析从题中所给的随机数表第1行第3列开始从左往右依次读取,重复的数字只 读一次，读到的小于40的编号依次分别为3 6,3 3,26,16,11.3.（2022.贵州安顺月考）从一群玩游戏的小孩子中随机抽取20人,一个小孩分一个苹果 让他们返回继续游戏，过了一会儿，再从中抽取30人，发现其中有5个小孩曾分过苹果,估计参加游戏的小孩人数为（C）.A.80 B.100 C.120 D.无法计算解析设参加游戏的小孩人数为羽由题意得竺=磊,解得=120,x 30所以参加游戏的小孩人数为120,故选C.【目录,点拨(1)简单随机抽样的特点:抽取的个体数较少;是逐个抽取;是VWWVWWVWVWWW不放回抽取;是等可能抽取.只有四个特点都满足的抽样才是简单随机抽样.(2)抽签法与随机数表法的适用情况:抽签法适用于总体中个体数较少的 情况，随机数表法适用于总体中个体数较多的情况.一个抽样试验能否用抽签 法,关键看两点:一看抽签是否方便;二看号签是否易搅匀.考点2系统抽样【典例迁移】例1（2019年全国I卷）某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生 编号为1,2,.,1000,从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体 质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（C）.A.8号学生 B.200号学生C.616号学生 D.815号学生【目录,解析由题意将1000名学生分成100组，每组10名学生，用系统抽样方法等距抽 取,46号学生被抽到，所以第一组抽到6号,且每组抽到的学生号构成等差数列诙,公差6?=10,所以 斯+i=6+10(WN*),若8=6+10厕几=：,不符合题意;若200=6+10,则几=19.4,不符合题意;若 616=6+10,则几=61,符合题意;若815=6+10,贝!=80.9,不符合题意.【变式设问】若本例条件不变，则被抽到的学生的最小编号为最大 编号为996.解析根据题意，可知此系统抽样的抽样间隔为翳=10,共分100组,46号在第5 组，故被抽到的最小编号在第1组，是46-10 x4=6,最大编号在第100组，是 46+10 x95=996.点拨系统抽样的注意点:(1)系统抽样适用的条件是总体容量较大，样本容量也 较大.(2)若不改变抽样规则，则所抽取的号码构成一个等差数列,其首项为第一组所抽 取的号码，公差为样本间隔.(3)抽样规则改变，应注意每组抽取一个个体这一特性不 变.(4)如果总体容量N不能被样本容量n整除,可随机地从总体中剔除余数，然后再按 系统抽样的方法抽样，其中起始编号的确定应用简单随机抽样的方法.【追踪训练1(1)(2022.四J11蓉城联考)要从96个接种了新冠疫苗的人中抽 取16人检查体内的抗体情况，将这96人随机编为1到96号，再用系统抽样法抽 出16个号把抽出的号从小到大排列,已知第1,3,13个号成等比数列，则抽出的最 大号为(B).A.92 B.93 C.95 D.96解析设第1个抽取的编号为(16),则第个抽取的编号为+(小 l)x号a+65-l),所以第3个编号为a+12,第13个编号为a+7 2,又因为第1,3,13 个号成等比数列，则(+12)2=(+72),解得。=3,则最大编号为3+6x(164)=93.（2）（2022.江西宜春月考）现从编号为12，6的观众中，采用系统抽样的方法抽取八位 幸运观众，其中有两个编号为21与93,则所抽取的8个编号的中位数为（C）.A.45 B.48 C.51 D.57解析由题意96名观众用系统抽样的方法抽取8人,则抽样间隔为二12,O又其中有两个编号为21与93,可知第一组选取的编号为9,则第4个和第5个编号分别为45和57,所以中位数为45+57=51.2考点3分层抽样【考向变换】考向1求总体容量或样本容量例2（1）（2022.广东深圳调研）某高中有三个年级,其中高一学生900人，高二学生860 人，现采用分层抽样的方法调查学生的视力情况,在抽取的样本中有高二学生43人、高 三学生39人，则该高中的学生总人数应为（c）.A.2600 B.2580C.2540 D.2500【目录,解析设高三学生有n人，已知高二学生有860人,在抽取的样本中有高二学生43 人、高三学生39人，根据分层抽样的特点可得野二看得九=780,所以该高中的学生 总人数应为900+860+780=2540,故选C.（2）（2022.天津滨海新区月考）某单位职工分老、中、青三个层次,其中青年职工350人,中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中 抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（D）.A.3 5 B.25 C.20 D.15解析设样本容量为则由分层抽样的性质可得白二砧言币奇，D J J O J U I 乙 J U I J U所以415,所以样本容量为15.点拨 分层抽样的计算应根据抽样比构造方程求解，其中“抽样比WWWWWVWVWVWW样本容量二各层样本数量,总体容量一各层个体数量【追踪训练2交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知 晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为N,其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为 12,21,25,43厕这四个社区驾驶员的总人数为（B）.A.101 B.808 C.1212 D.2012解析甲社区每个个体被抽到的概率为54样本容量为12+21+25+43=101,370 O所以四个社区中驾驶员的总人数N=学=808.（2022.安徽六校联考）某工厂生产的A乃三种不同型号的产品的数量之比为2 3:5,为研究这三种产品的质量，现用分层抽样的方法从该工厂生产的三种产品中 抽取样本容量为的样本，若样本中A型产品有10件，则”的值为（c）.A.15 B.25 C.50 D.60解析（法一）某工厂生产的4民。三种不同型号产品的数量之比为2：3：5,用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，则A型产品被抽取的抽样比为元|大4,因 乙 I。I J J为A产品有10件，所以取平=50.故选C.5（法二）由题意彳导七二竺，解得=50.故选C.2+3+5 71考向2求每层中的样本数量例3（2022.江西南昌摸底测试）疫苗是全球最终战胜新冠肺炎疫情的关键，某生物技 术公司研制出一种新冠疫苗，为测试该疫苗的有效性（若疫苗有效的概率小于90%,则认 为测试没有通过），公司选定2000个样本分成三组，测试结果如下表：A组3组C组疫苗有效673660y疫苗无效7790Z现用分层抽样的方法在全部测试结果中抽取360个,问应在。组中抽取多少个?（2）已知这465,zN25,求该疫苗不能通过测试的概率.|【目录,解析(1)。组样本个数为 y+z=2000-(67 3+77+660+90)=500,现用分层抽样的方法在全部测试结果中抽取360个，则应在C组中抽取的个数为喘x500=90.乙U U U(2)记“疫苗不能通过测试”为事件M,由知y+z=500,且y,zN,所以。组的测试结果中疫苗有效与无效的可能的情况有(465,35),(466,34),(467,33),.,(47 5,25),共 11 个.因为疫苗有效的概率小于90%时认为测试没有通过，所以疫苗不能通过测试时，必须有673黑+丫 0.9,即 67 3+660+y 1800,解得 y 467,乙U U U所以事件包含的基本事件有(465,35),(466,34),共2个，所以故该疫苗不能通过测试的概率为白【目录,点拨 分层抽样问题类型及解