高考新教材数学一轮复习课件 第十一章 数学建模.pdf

第十一章第一节数学建模常见的几类数学模型。课程标准】数学建模活动是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法 构建模型解决问题的过程.主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出 问题，分析问题、构建模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解 决实际问题.目录CONTENTS考点分类突破课时过关检测01考点分类突破理解透规律明课堂讲练变化究其本考点函数模型定向精析突破考向1二次函数模型ID一块形状为直角三角形的铁皮，直角边长分别是4 0 cm与60 cm,现在将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，问怎样剪才能使剩下的 残料最少？并求出此时残料的面积.解设直角三角形为4 5G AC=4 0,叱=60,矩形为CDEF,如图所示，设庭=y,则由Rt Al/sRt也用得煞=譬即处？=_就础HD BD9 y 609罡埋得 7=4 0一条，C-1,人J S 2 6。40 xj=|x2-4 0 x+1 2 00=|(x-30)2+600(0 x 0),并且周期7=12,0=7=不=大L l时才可对冲浪爱好者开放,-.|cos 5+11,/-COS/0.2kn-7t2kn+(kELZ),SP 12k-3t12k+3(kZ).0W，2 4,故可令中k分别为0,1,2,得 0/仗3 或 9t0),则从表中可以得到4=4,co2 7T 2 7r 57r.9 乂由 4 sm=4.0,可得 sii9=1,取=一n2,故 y=4 sin 券一；I/乙）BP j=4 cos 弟.答案：J=-4 cos旬(答案不唯一)考点2)数列模型师生共研过关圆某地规划对一片面积为a的沙漠进行治理，每年治理面积占上一年底沙 漠面积的百分比均为x(OVx Vl).当治理面积达到这片沙漠面积一半时，正好用了 10年时间，则求x的值为.若2022年年初这片沙漠面积为原沙漠面积的“，按照规划至少还需_年，使剩余沙漠面积至多为原沙漠面积的1.N-解析由于每年治理面积占上一年底沙漠面积的百分比均为x（OVx Vl）,且治理面积达到这片沙漠面积一半时，正好用了 10年，则 a(lX 严=%,即（lr严1 解得=1一目.1。设从2022年开始，还需治理年，贝!I年后剩余面积为#。（1一”）”,令:a（l一即（1力力，右耳解得心15,故至少还需治理15年.1答案】1一59 15I解题技法数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率，减薄率，银行信贷，浓度匹配，养老保险，圆钢堆垒等问题.这就要求同学们除熟练运用 有关概念式外，还要善于观察题设的特征，联想有关数学知识和方法，迅速确定 解题的方向，以提高解数列题的速度.解答应用性问题，应充分运用观察、归 纳、猜想的手段，建立出有关等差（比）数列、递推数列模型，再综合其他相关知识 来解决问题.。训练某公司经销一种数码产品，第1年可获利200万元.从第2年起，由于市场竞争等 方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发 新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？解：设从第1年起，第年的利润为小,则由题意知的=200,%一“一1=一20(22,N*).所以每年的利润时可构成一个等差数列%,且公差d=2Q.从而 斯=i+(一l)d=2 2 020.若斯v0,则该公司经销这一产品将亏损，由斯=2 2 020v0,得心11,即从第12年起，该公司经销此产品将亏损.考点立体几何模型.师生共研过站颤在趣味折纸活动中，小芳利用如图纸带折出正四面体，图 中四个正三角形的边长皆为4 cm,若所折成的正四面体在一个圆柱形容器内可任意转动，则该容器体积的最小值为cm3.解析折成的正四面体在一个圆柱形容器内可任意转动，要使 该圆柱体积最小，即转化求正四面体的外接球直径，此时圆柱底面的 直径及圆柱的高均为正四面体外接球直径2R,借助正方体模型如图，易得：所示正方体的边长为2 A 体对角线长为2#,所以2 K=2#,即所以此时圆柱的体积为丫=(#&2九=12#击答案12#九。解题技法I根据题目所提供的信息，如数值特征 结构特征、位置特征等快速建立出相应的特殊模型，从而做出判断.c川练如图，在棱长为4的正方体ASCD-Ai/GOi中，拉是棱4 A上 的动点，N是棱3C的中点.当平面AMN与底面A3CD所成的 角最小时，AiM=.解析：建立空间直角坐标系，如图，设M(4,0,)(0 今DiN=O2 x+4 ja z=O,2 x+4 j4 z=0(4a)z x=4，(a+4)z y=8令 z=8,贝!|x=82 a,y=a+49 所以 n=(82 e a+4,8),设平面ABCD的一个法向量为h=(0,0,1),设平面DiMN与底面ABCD所成的夹角为仇所以 cos。一 向司-/(8-2 a)2+(a+4)2+82q 24 19 R=_2 4 a+14 4J当时，cos。有最大，则夕有最小，所以答案：54考点解析几何模型.师生共研过关硕某学习小组研究一种卫星接收天线（如图所示），发现其曲面与轴截面 的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天 线，经反射聚焦到焦点处（如图所示），已知接收天线的口径（直径）为4.8 m,深度为1m,则该抛物线的焦点到顶点的距离为m.图图解析如图所示，在接收天线的轴截面所在平面建立直角坐标系，使接y 收天线的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，焦点在l轴上，设抛物线的 y 标准方程为y2=2x g0),由已知条件可得，点4(1,2.4)在抛物线上，所以2p=2.42,解得尸=2.88,所以所求抛物线的标准方程为丁=5.76x,N 焦点坐标为(1.44,0),因此，该抛物线的焦点到顶点的距离为L 4 4.B答案1.447解题技法解决圆锥曲线实际应用的五个步骤建立适当的坐标系；设出合适的圆锥曲线的标准方程；通过计算求出圆锥曲线的标准方程；(4)求出需要求出的量；还原到实际问题中，从而解决实际问题.。训练“天问一号”推开了我国行星探测的大门，通过一次发射，将实现火星环绕、着陆、巡视，是世界首创，也是我国真正意义上的首次深空探测.2021年2月10日，天 问一号探测器顺利进入火星的椭圆环火轨道（将火星近似看成一个球体，球心为椭 圆的一个焦点）.2月15日17时，天问一号探测器成功实施捕获轨道“远火点（椭 圆轨迹上距离火星表面最远的一点）平面机动”，同时将近火点高度调整至约265 公里.若此时远火点距离约为11 945公里,火星半径约为3 400公里,则调整后“天 问一号”的运行轨迹（环火轨道曲线）的离心率约为.（精确到0.1）解析：设椭圆的方程为$+=13。0),由椭圆的性质可得椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a-c,最大值为a+c,根据题意可得a-c=3 400+265=3 665,a+c=3 400+11 945=15 345,解得 a=9 505,c=5 840,所以椭圆的离心率为 e58409 5052 06答案：0.65考点概率与统计模型.师生共研过关硕某工厂有5台机器，在1个月中,1台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修.每台机器出现故障的 概率为;.已知1名工人每月只有维修1台机器的能力，每台机器不出现故障或出现故 障时有工人维修，就能使该厂获得10万元的利润，否则将亏损3万元.该工厂每月需 支付给每名维修工人L 5万元的工资.(1)若每台机器在当月不出现故障或出现故障时有工人进行维修，则称工厂能正常 运行.若该厂只有2名维修工人，求工厂每月能正常运行的概率；(2)已知该厂现有4名维修工人.记该厂每月获利为X万元，求X的分布列与数学期望；以工厂每月获利的数学期望为决策依据，试问该厂是否应再招聘1名维修工人？解(1)因为该工厂只有2名维修工人，故要使工厂正常运行，最多只有 2台机器出现故障.所以该工厂每月能正常运行的概率为陟+竭.吩+C徽2.03=；.(2)X的所有可能取值为31,44,fll 1 1 31P(X=31)=5=就,P(X=4 4)=19=9.所以X的分焉漏X3144P13231321 31 1395所以 E(X)=31X会+4 4 X=堂.若工厂再招聘一名维修工人，则工厂一定能正常运行，此时工厂所获利润为5x 101.5x 5=4 2.5万元，1 395因为岁42.5,所以该厂不应该再招聘1名维修工人.解题技法求离散型随机变量的均值与方差的解题策略求离散型随机变量的均值与方差.可依题设条件求出离散型随机变量的概率 分布列，然后利用均值、方差公式直接求解；(2)由已知均值或方差求参数值.可依据条件利用均值、方差公式得出含有参 数的方程，解方程即可求出参数值.。训练某平台组织了“伟大的复兴之路新中国73周年知识问答”活动，规则如下：共 有30道单选题，每题4个选项中只有一个正确，每答对一题获得5颗红星，每答错 一题反扣2颗红星；若放弃此题，则红星数无变化.答题所获得的红星可用来兑换 神秘礼品，红星数越多奖品等级越高.小强参加该活动，其中有些题目会做，有些 题目可以排除若干错误选项，其余的题目则完全不会.请问：对于完全不会的题目，小强应该随机从4个选项中选一个作答，还是选择 放弃？（利用统计知识说明理由）若小强有12道题目会做，剩下的题目中，可以排除一个错误选项、可以排除两个 错误选项和完全不会的题目的数量比是3：2：1.请问：小强在本次活动中可以获得 最多红星数的期望是多少？解：(1)对于任一道完全不会的题目，若选择放弃，则获得的红星数为0；若选择作答，设小强从四个选项中选一个作答获得的红星数为其分布列为e5-2p14341 3 1所以=5*点一2*：=一30,故应该选择放弃作答.3由题意知，可以排除一个选项的题目有(3012)又7=9道，J I/I 1设这9道题目中每道题目小强从四个选项中选一个作答获得的红星数为X,其分布列为X5-2P13231 2 1所以(X)=5X2 X=；2可以排除两个选项的题目有(3012)X口17Pl=6道，I/I JL设这6道题目中每道题目小强从四个选项中选一个作答获得的红星数为Y,其分 布列为Y5-2P12121 1 3所以()=5义52义5=5；完全不会的题目有(3012)X 3+2+1=3道,由知应选择放弃，这3道题中每道题得到的红星数的期望为0.1 3因此，小强在本次活动中可以获得的最多红星数的期望是12 X5+9X；+6X；+3X0=72.第二节数学模型的构建与拟合目录CONTENTS考点分类突破卷/课时过关检测01考点分类突破理解透规律明课堂讲练变化究其本考点,已知数学模型解决实际问题.师生共研过关皿为保护环境，绿色出行，某高校今年年初成立自行车租赁公司，初期投 入36万元，建成后每年收入25万元，该公司第年需要付出的维修费用记作时 万元，已知斯为等差数列，相关信息如图所示：(1)设该公司前年总盈利为y万元，试把y表示成的函数，并求出y的最大 值；(总盈利即年总收入减去成本及总维修费用)(2)求该公司经过几年经营后，年平均盈利最大，并求出最大值.解(1)由题意，每年的维修费用是以6为首项，2为公差的等差数列,则%=6+2(-1)=2+4,N*.6+(2+4)2,7 所以 了=25%一 彳 36=/+20-36=一(-lOf+64.所以当=10时，y取最大值为64万元.(2)年平均盈利！=一|n+T|+2 0-2 A/nX+2 0=8,I fl y l 当且仅当 尸斗，即=6时取等号，所以经过6年，年平均盈利最大，最大值为8万元.I解题技法I1.求解已知数学模型解决实际问题的关注点(1)认清所给数学模型，弄清哪些量为待定系数；(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.2.利用所给数学模型，借助所给模型的性质求解实际问题，并进行检验，例如：涉及到个数时，变量应取正整数；涉及到费用、速度等问题，变量的取值 应该为正数.。训练为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层，体育馆要建造可使用20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费 用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=五%（OWx WlO,左为常数），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设/（x）为隔热层建造费 用与20年的能源消耗费用之和.求k的值及/（x）的表达式；隔热层修建多厚时，总费用x）达到最小？并求最小值.解：(1)当 x=0 时，C=8,：.k=40940:.C(x)=t(0 x10),O“I A。,2 0X4 0,800 7,/(%)=6+不不=6+亚x(0Wx/10)由得於)=2(3x+5)+10(0 x 2/(x),则下列不等式成立的是A.2 02152 022)2 02212 021)()B.2 021/2 022)V2 022/2 021)C.2 02 1A2 022)2 022/(2 021)D.2 021/(2 022)2 022/(2 021)a/(x)e.Wf(x)2xf(x)xff(x)2f(x)解析令g(x)”,则/(x尸J 1，八八/V 2f(x),所以在(0,+8)上 g，(x)0,即g(x)=尊在(0,+8)上为增函数.*v所以 g(2 02 2)g(2 02 1)誓瞟干器，即 2 02152 022)2 02252 021),故选 A.答案A考向2构造数列模型(O风雨桥是侗族最具特色的建筑之一.风雨桥由桥、塔、亭 组成.其亭、塔平面图通常是正方形、正六边形和正八边形.如图是 风雨桥亭、塔正六边形的正射影.其正六边形的边长计算方法如下：Aibi=Aob0一2出。A2B2=A1B1 B1B2 9 A3B3=A2B2B2B39，AnBn=n-rn-l Bj1TBn,其中 Bn-iBn=*9=B2B=BB2=GN.根据每层边长间的规律.建筑师通过推算，可初步估计需要多少材料.所用材料中，横向梁所用木料与正六边形的周长有关.某一风雨桥亭、塔共5层，若Aoo=8m,80岛=().5 m.则这五层正六边形的周长总和为E()A.35 m B.45 m C.210 m D.2 70 m解析由已知得：AnBn=An-xBn-x Bn-iBn9=B?B3=BiB?=瓦为=0.5,因此数列A忠N*）是以1=4%=8为首项，公差 为d=-0.5的等差数列，设数列A志N*）前5项和为S5,因此 有S5=5%+1x 5X4d=5X8-；X5X4 X0,5=35 m,所以这五层正六边形的 周长总和为6s5=6X35=2 10 m.故选C.答案C考向3构造几何模型0设a,0，7为平面，I,m,为直线，则zw 的一个充分条件为（）A.“JL/,aCfl=l9 ml B.nA.fi,maC.a Ay=/n,fiVyD.a J_ mAa解析构造如下图形：如图知A错；如图知C错；如图在正方体中,两侧面”与小相交于1,都与底面 垂直，内的直线机JLa,但帆与小不垂直,故D错.答案B3，解题技法自建模型时主要抓住四个关键：“求什么，设什么，列什么，限制什么”.求什么就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务.设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心因素 为自变量.列什么就是把问题中已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、不等式等.限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人不能是半个等.。训练1.正三棱锥P-4 8C中，已知点在出 上，PA,PB,PC两两垂直，PA=4,PE=3EA,正三棱锥P-ABC的外接球为球0,过点作球O的截面“，则“截球O所 得截面面积的最小值为()A.n B.2n C.3n D.4n解析：由B4,PB,PC两两垂直，可知该三棱锥由棱长为4的正方体四个顶点组 成,三棱锥外接球的直径为所在正方体的体对角线,设外接球半径为R,：.R=25 过。作 OH_LRi,H为垂足，OH=2/i,在 Rt ZkOHE 中，OH=2 HE=19：.OE=39当。垂直截面a时，截面圆半径最小.设半径为r9r2=R2-OE2=(2yj3)2-32=3,3=九，=3九.故选C.答案：C2.已知函数若存在使得噂一/(X),则*V实数b的取值范围是.解析：令g(x)igO,x e1,2,则/(x)=/(x)+a/(x)0在x 1,2 上有解,e.2 x(xb)10,即 bVx一士在 1,2 上有解，设入(x)=x士,1,2,1 7 7MVMr)ma x，Za)=X一%在口,2上为增函数，久01帆=入(2)=0)B.y=mdc+/i(/n090a l)D.j=/nlogflx+w(/n0,0,a Wl)解析：由函数图象可知符合条件的只有指数函数模型，并且冽0,0V”VL故选B.答案：B考向2拟合函数的应用皿）某蛋糕店制作的蛋糕尺寸有6,8,10,12,14,16（单位：英寸）六种，根据日常销 售统计，将蛋糕尺寸、平均月销量y（个）以及成本和单价的数据整理得到如下的表格.蛋糕尺寸（英寸）6810121416平均月销量y（个）9121515138成本（兀）20406080100120单价阮）5090140180200220(1)求该蛋糕店销售蛋糕的平均月利润(利润=销售收入一成本)；根据题中数据，从y=a+bx与 尸c+d(x11)2两个模型中选择更合适的，建立y关于”的经验回归方程(系数精确到001).参考公式:对于一组数据。1)，(“2,。2)，(3，。3)，(孙，)，其经验n s(%一 )(%-p)A A A 八 八=1回归方程。=加+”的斜率和截距的最小二乘估计分别是U=/=-,(u U)21=1A A A Aa=vfiu9参考数据：E(y y)(x x X)=2,E(xr x)2=70,(y y)(t t)=i=l i=l 1=16 160,E(t-t)2=600,Z=1解(1)根据题意，该蛋糕店销售蛋糕的平均月利润为9x 30+12 x 50+15x 80+15x 100+13x 100+8x 100=5 670(元).(2)由表中的数据可知x与y之间不是线性关系，所以选y=c+d(x-ll)2,设工=(XII)2,则/=。+%-1-1 35y=.X(9+12+15+15+13+8)=12,t=X(2 5+9+l+l+9+2 5)=y,A-160 4 A-A,4 35d=-一0 2 7,c=y d t 212+正义丁心15 11,600 15 15 3所以=15.11-0.2 7r,因此y关于x的经验回归方程为f=15.11-0.2 7(x-ll)2.，解题技法解决此类问题的步骤训练为帮助乡村致富，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，测得了平均金属含量y（单位：g/m与样本对原点的距离忒单位：m）的数据，并作了初步处理，得到了下面的一些统计量的值表中=；，XyU9 X(x X)21=19 X(u U)21=19 X j)2i=i9(即一i=iX)8-J)X(%一 1=1u)(y y)697.900.21600.1414.122 6.13-1.40利用样本相关系数的知识，判断y=+必与y=c+g哪一个更适宜作为平均金属含量,关于样本对原点的距离X的回归方程类型？根据的结果回答下列问题：建立y关于X的经验回归方程；样本对原点的距离X=2 O时，金属含量的预报值是多少？已知该金属在距离原点x m时的平均开采成本W(单位：元)与x,y关系为W=1000(y-lnx)(lx l00),根据的结果回答，x为何值时，开采成本最大？附：对于一组数据51),2)，&，Sn),其样本相关系数r=.3-t)s s)i=1 A1-，其经验回归方程s：A/L(t t)2X(S s)2 n _ E(t-t)(s S)A i=1 A _ A 计分别为/?-,a=s fi t.d i=l=a+flt的斜率和截距的最小二乘估9 E(即一%)(y y)解:(l)y=a+bx的样本相关系数ri=9 _ 9 E(即一 X)2E(y y)2i=i i=i26,13#0X14.129 S(%一)8-y)心0.898,y=c+的样本相关系数，2=1=19 _ 9 E(%)2E(y-y)2 i=i i=i-1,4 0 0.14 X14.12=一0996,同卜21，y=c+(更适宜作为平均金属含量y关于样本对原点的距离X的回归方程类型.9 _ _E(3 一 )(y-y)八i 1.4 0 A A(2)/=-=-10,a=y-fiu=91.9一(-10)X0.21=9 _ uqE(%)2 Z=1A 10 A IQ100,J=100-lQu=100,关于x的经验回归方程为y=100a in当x=2 0时，金属含量的预报值为y=100斤=99.5 g/m3./uf ioW=1 000(y-lnx)=l 000 100-In x(lx lOO),JA 10,7 E,10 1 10-X令/U)=100一7一lnx(l/x W100)，则/(x)=-2-=2,当IWxVIO时，f(x)0,於)单调递增；当10Vx 100时，f(x)0,单调递减,/U)在x=10处取得极大值，也是最大值，此时W取得最大值，故X为10时，开采成 本最大.