高考数学 新教材 课件 第1章 集合与常用逻辑用语.pdf

1.1集合修核心素养概说（教师独具内容）1.能够在现实情境或数学情境中概括出数学对象的一般特征，并用集 合语言表达，初步学会用三种语言（自然语言、图形语言、符号语言）表达数 学研究对象，并能进行转换，掌握集合的基本关系与基本运算.2.“交”“并”“补”运算是集合部分的重点内容，除了理解运算的意 义外，更重要的是利用集合的性质正确地进行集合运算，包括数集、点集的 运算，养成利用数轴解决数集运算、利用直角坐标系解决点集运算的习惯，体会数形结合思想.3.重点提升数学抽象、逻辑推理和数学运算素养.鲤例要求（教师独具内容）1.了解集合的含义，会用“列举法”“描述法”“区间”表示集合是 重点，而利用集合中元素的“三性”（确定性、互异性、无序性）解决问题及 集合相等在历年的考试中有不少涉及.对特殊集合的符号（复数集C,实数 集R,有理数集Q,整数集z,自然数集N,正整数集N*）必须会熟练运用.2.关于子集，首先要理解子集的概念，其次是子集的判断、证明（AUB=任意E 5）有限集中子集的个数.3.集合内容常常结合不等式进行考查，方法是先从元素的结构特点入 手，通过通分、化简、变形等技巧，使元素结构一致，然后在同一个数轴上 表示出两个集合，比较不等式端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之 间的关系.4.高考中，在选择题中直接考查，每年必考，难度较小.一般作为“工 具”类知识点出现在各类题型的答案中，尤其与不等式和方程结合较多.修核心知识导图（教师独具内容）补集：Ct4二国%（U,且渥4）定义 产书确定性、Zxwy 1集口（描述法,）列举法节%属于：aeA/不属于小子集:=金子集：枭避目等：二交集：ACB=xx$4,且X&并集：4出4%1%幺，或%右图示法国5年考频统计（教师独具内容）考点5年考情分值题型难度核心考题示例考向关联考点素养集合的含义 与表示2020全国出卷，理12018全国II卷，理22017全国D1卷，理1集合的含义与 表示直线与圆的 相关知识5选择题易数学 运算2021新高考I卷J2021新高考fl卷，22021全国甲卷，理1,文12021全国乙卷，理2,文12020全国I卷，理2,文12020全国口卷，理1,文12020全国田卷，文1集合的基本 运算2019全国I卷，理1,文2 2019全国B卷，理1,文12019全国川卷，理1,文1 2018全国I卷，理2,文12018全国II卷，文22。18全国川卷，理1,文1 2017全国I卷，理1,文12017全国II卷，理2,文1 2017全国川卷，文1集合的基本 运算不等式的解 法5选择题易数学 运算基础知识过关O知识梳理1.集合与元素(1)集合中元素的三个特性：回确定性、区无序性、圆互异性.(2)元素与集合的关系是眄属于或画不属于,用符号 或画庄 表示.点击核对常见数集的符号表示集合非负整数集（或自然数集）正整数集整数集有理数集实数集符号圆N但IN*（或 N+）四Z回Q叵IR点击核对2.集合的基本关系(1)子集:一般地,对于两个集合A和B,如果集合A中回任意一个元素都 是集合3中的元素，就称集合A为集合3的子集.记作：1皿 或瓯.读作“A包含于3”(或“3包含A”).(2)相等：一般地，如果集合A的圆任何一个元素都是集合3的元素,同时集合B的因任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相 等，记作场4=,也就是说，若瓯4a 5,且困.A,则A=B.点击核对蚂mA(3)真子集：如果集合但存在元素1且,就称集 合A是集合5的真子集，记作同4 W或B A).(4)空集：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做 囿空集，记 为 四，并规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.点击核对3,集合的基本运算点击核对，性质AU0=AAUA=AAUB=BUAA jb=ab-AQ0=0AAA=AAQB=BnAAQB=A=瓯4U3AU)二Un 同0ad)_()=Cu(An3)=(:必)“阴u(AUB)=(uA)n(uB)点击核对4.区分下列集合的表示含义集合/(1)=01/(JT)0/(1)，丁=/y=f(j?)方程不等式函数V函数y函数V含义/(1)/Cz)0=/(%)=/(%)=f（工）=0的的解集的回定的园值图象上解集义域域的网点5.集合中元素与子集个数的关系若有限集A中有个元素，则，的子集有 回2 个,真子集有 蚂2一 个,非空子集有圆2-1个,非空真子集有回2-2个.点击核对份课前自我鉴定1.思考辨析(正确的打“J”，错误的打“义”)任何一个集合都至少有两个子集.(X)(2)xy=x2+1=yy=x2+1=(x,y)y=x2+1.(x)若 1V%,贝 Ij 尤=一 1 或=1.(X)(4)对任意集合A,B,都有(AH5)U(AU5).(V)2.设集合4=1,2,6,5=2,4,。=X园一1忘%忘5,则(41)门0等于()A.2C.1,2,4,6)答案BB.1,2,4)D.x R|-lx l,集合三0,所以 5=%|x a .由 AU5=S 得 AU5,所以 a WLs析5,已知集合A=7,2加-1,5=7,苏，且A=3,则实数冽=1解析若A=5,贝IJ加2 二 2加一 1 即 m2-2m+1=0,即z=l.s析真题赏析1.（2021 新高考 I 卷）设集合 A=R 2x 4,5=2,3,4,5,贝 IJAA5A.2 B.2,3 C.3,4 D.2,3,4答案B解析 因为 A=R-2,贝1JMAN=1-3X,4B.1-30 x X,4AC.%|4x 5 D.x|0 x 5答案B解析 由已知得“AN二j；W%4.故选B.2PART TWO核心素养例析一、基础知识巩固考点1 集合的概念例 1 设集合 A=x Z|x|W2,5素有（）A.5个 B.4个 C.3个yy=x1+l,x EA,贝1J 3 中的元D.无数个答案C解析依题意有A=_ 2,-10,1,2,代入y=f+1 得3=1，2,5,故3中有3个元素.例2 若集合A=x R|Qf-3x+2=0中只有一个元素，贝lj。0或苫9 9解析 当=0时，显然成立；当时，/=(-3)2-8=0,即，二和追踪练习1.已知集合A=九N|lv x v log 2Q,集合A中至少有3个元素，则%的取值范围为（16，+8）解析 因为集合A中至少有3个元素，所以log 2左4,所以左24=16.2.已知集合4=机+2,2m2+m5若3A,则用的值为3-23解析 由题意，得加+2=3或2m2+m=3,则zn=1或冽=一，,当7 n=1时，加+2=3且2/+加=3,根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当=时3-21-2=2+m+2m 2 而 33,符合题意.故加=一:方法点拨解决集合概念问题的一般思路研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件,当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么.深刻理解元素 的互异性，在解决集合中含有字母的问题时，一定要返回代入验证，防止与 集合中元素的互异性相矛盾.考点2 集合间的关系例3 已知集合人=%国产-3%+2=0,5=XNOX5,则满足条件Ac Cc 5的集合C的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4答案D解析因为A=1,2,5=1,2,3,4,Ac CCB5则集合。可以 为1,2,1,为 3,1,2,4,1,2,3,4,共 4 个.例 4 已知集合4=九|-2Wx W5,B=x|m+lx 2m-l5 若收 A,则实数m的取值范围为_匕二!1解析 因为3UA,所以若3=0,贝IJ2机-k机+1,此时机2;若2m-l m+1,BW。,则加+12-2,解得2W加W3.由可得，符合题意的实数用的2m-l5,取值范围为（-8,3.追踪练习3.设“为非空的数集,MU1,2,3,且M中至少含有一个奇数元素，则这样的集合“共有（)A.6个 B.5个 C.4个D.3个答案A解析由题意知,M=1,3,1,2,15 3,2,3,1,2,3,共6个.4.若集合 A=1,2,B=x GR|x2+7nx+l=O3 且 BUA,则实数加的取值范围为-2,0.解析若3=0,则/=，40,解得2(加2,符合题意；若 1e5,贝I仔+机+1=0,解得机=-2,此时5=1,符合题意；若23,贝J22+2加+1=0,解得加二一|,此时3=2,2,不符合题意.综上所述,实数机的取值范围为-2,2).【方法点拨】判断集合之间的关系不能仅凭表面的理解，应当注意观察 集合中元素之间的关系.集合之间一般是包含或相等关系.解题时要思考两 个问题：(1)两个集合中的元素分别是什么；(2)两个集合中元素之间的关系是什么.考点3 集合的基本运算例 5 已知集合 M=x-4x 2 3 N=x|x2-x-60,贝1J MG N=()A.x-4x 3 B.x-4x -2C.x-2x2 D,x2x3答案C解析 因为 N=x-2x3,M=x|-4x 2,所以 MHN=x-2x-1,B=x-2x-2 B.xx-1C.x-2x-1 D.x-l x-2.B-A 66-2-1 2%6.如图，设全集 U=N,集合A=1,3,5,7,8,3=1,2,3,4,5,则图中阴影部分表示的集合为（）A.2,4C.15 3,5)B.7,8D.1,2,3,4,5)答案A解析 由题图可知阴影部分表示的集合为(必)ns因为集合人二口，3,5,7,8,B=1,2,3,4,5,U=N,所以(4)03=2,4.故选 A.除析:方法点拨集合间的运算问题要进行集合之间的运算，先确定要运算的集合.集合。的补集是由全 集U中不属于集合。中的所有元素组成的.特别要注意求某一集合的补集 的前提是明确全集，同一集合在不同全集下的补集是不同的.考点4 集合新定义问题例7定义集合运算：AQB=ZZ=xy,yEB,设集合A=1,0,1,5=sina,c os a,则集合AOB的所有元素之和为（）A.1 B.0C.-1 D.sin a+c os a答案B解析 因为所以工的可能取值为-1,0,1.同理，y的可能取值 为sina,c os ot,所以孙的所有可能取值为（重复的只列举一次）：-sin a,0,sin a,-c os a,c os a,所以所有元素之和为0.故选B.，追踪练习/7.设。和。是两个集合，定义集合P-Q=xx P,且依Q,如果 P=x|lv 2v 4,Q=yy=2+sinx,x R5 那么 P Q=()A.x|Ox 1C.x|l%2B.%|0 x 2D.x|Ox l答案D解析 由题意得 P=x0 x2,。=y|lWy W3,所以 P-Q=x|Ox l.故选 D.:方法点拨集合运算问题的四种常见类型及解题策略离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Ve nn图求解.连续型数集的运算，常借助数轴求解.已知集合的运算结果求集合，借助数轴、Ve nn图求解.(4)根据集合运算求参数，先化简集合，然后把符号语言译成文字语言,最后应用数形结合求解.二、核心素养提升例1若数集A=1,2,，恁2V2）具有性质P:对任意的i,j（l WiWjWn）,，吗与?两数中至少有一个属于A,则称集合A 为“权集”.则（）A.1,3,4为“权集”B.1,2,3,6为“权集”C.“权集”中元素可以有0D.“权集”中一定有元素1答案B4解析对于A,由于3义4与w均不属于数集1,3,4,故A不正确；对于B,选1,2时，有1义2属于1,2,3,6,同理取1,3,取1,6,取2,3时也满足，取2,6时，有属于1,2,3,6,取3,6时，有，属 于1,2,3,6,所以B正确；对于C,由“权集”定义知”且*需要有意义，故不能有。，故C不正确；对于D，如集合2,4,符合“权集”定义，但不含1,所以D不正确.例2 对于集合N,定义M 且尤4N,MN=(M TV)U(AT-M).A=yy=x1-3x,x R5 B=yy=-2X,x R5 贝1AB=()f 9 1 9 A.一z，0 B.一1 0l f J，91 r 9C.-8,-u 0,+)D.-8,-u(0,+)答案C9解析因为A 三-jB=【91，ab=（a-b）u（b-a）VVO,所以 A 5=y|y NO,B-A9y 丁三0或y v-j.故选C.析A in例3定义集合的商集运算为方=mA3几5；已知集合4=k 份2,4,6,B=xx=-1,ZCA,则集合九”中的元素个数为（）、J X/A.6 B.7 C.8 D.9答案BBU1-21-31-41-6-7O11 2由题忌知，B1-251-31-4 场 1一65 角 On素养提升以集合为背景的新定义问题是近几年高考命题创新型试题的一个热点，此类题目常常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，这类试题只是以集合为依托，考查考生理解问题、解决创新问题的能力.常 见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中集合只是基本的依 托.对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解 或排除错误选项，当不满足新定义的要求时，只需通过举反例来说明，以达 到快速判断结果的目的.3PART THREE课时作业一、单项选择题1,已知集合 A=%枕一 IN。,B=0,1,2,则 ACl3=()A.0 B.1 C.1,2 D0,1,2)答案c解析 由题意知，A=x|xl,则AG3=1，2.2.已知集合人=1,2,3,5,7,11,B=x|3%155 则 AAB 中元 素的个数为（）A.2 B.3 C.4 D.5答案B解析 VA=1,2,3,5,7,11,B=x|3%15,/.AnB=55 7,11),ACI3中有3个元素.故选B.3.已知N均为R的子集，且(CrMUN,则MU(r7V)=()A.0 B.M C.N D.R答案B解析如图所示，易知答案为B.4.（2021.山西长治二中第六次模拟）设集合A=1,2,3,B=x|x2-2x+m=0,若AnB=3,贝Ij3=()A.-15 3 B.-2,3C.-15-2,3 D.3答案A解析 依题意可知3是集合B的元素，即32-2X3+加=0,解得加二-3,由 f 2x-3=0,解得=一1,3.故选 A.5.5=4x W l,或三 3,B=xax4 5 若 AU5=R,则实数的取值范围是（）A.3。4 B.-14C.a W 1 D a2m 5 若 A A5 有三个元 素，则实数加的取值范围是（）A.3,6)B.15 2)C.2,4)D.(2,4答案C解析 集合 A=x Z|f 以52m:AnB有三个元素解得2W加v 4,.,实数加的取值范围是2,4）.7.已知集合A=1%Z则集合A中的元素个数为（）A.2 B.3 C.4 D.5答案C3解析 因为一Z,且光Z,所以2-x的取值有-3,-1,1,3,2-x所以的值分别为5,3,1,-1,故集合A中的元素个数为4.8.如图所示的Ve nn图中，A,5是非空集合，定义集合4钻为阴影部分 表示的集合.若,y WR,A=x2x-x20,B=yy=3x,x0,则 ABABA.x0 x2B.x|lx 2C.xx2答案D解析因为 A=%|2%f o=o 所以 AU3=0,+8),AnB=(l,2 故选D.,2,B=yy=3 x0=(1,+-),，由题图知 A5=0,1U(2,+8).二、多项选择题9.设A=%*-8x+15=0,B 的值可以为（）A.1 B.0 C.3 D.二R一1=0,若 An3=5,则实数13答案ABD解析，一8%+15=0的两个根为3和5,.A=3,5,=3=0 或 3=3或3=5或3=3,5,当 3 二。时，满足 =0 即 可，当5=3时，满足31=0,.=：当5=5时，满足51=0,.，=彳 当5=3,5时，显然不符合条件，实数，的值可以是0,；1-510.若X是一个集合，集合厂是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：（DX属于r,0属于八（2）中任意多个元素的并集属于；（3）厂中 任意多个元素的交集属于二则称厂是集合X上的一个拓扑.已知集合乂=a,b,c,对于下面给出的四个集合广d0,a,c,a,b,c；丁。，/?,c,b,c,a,b,c；厂%a,a,b,a,c；r=0,a,c,b,c,c,a,b,c.其中是集合X上的拓扑的集合r的序号是（）A.B.C.D.答案BD解析 不是集合X上的拓扑，因为厂，c，但”Uc K；是集合X上的拓扑，可以逐一验证三条性质都满足；不是集合X上的 拓扑，因为，6 6广，c，但”,bU，。在广；是集合X上的 拓扑，可以逐一验证三条性质都满足.三、填空题11.已知全集。=R,A=xl xb,tuA=xx l,或三2,则实数 b=2.解析 因为以=小1,或1三2,所以A=x|l&%2.所以实数=2.12.定义集合夕的“长度”是匕-，其中8WR.已知1 3集合 二x 加+,N=x 一，且M,N都是集合Rlx W2 1 的子集，那么集合GN的“长度”的最小值是 m.解析集合加WxW加+2合x|lW%W2的子集，由加三1,1Tn+/W2,3N=,且M,N都是集33 一三三1可得1W加W；由j 5 nW2,WW2.易知 MGN=%|冽WxWh或/卜值为min-mma x=|-|=或加,故有“长度”的最Rmin 卜一引ma x=2-5=10即集合MCN的“长度”的最小值是二.S析13.已知集合 A=%|y=lg B=x|x2-c x05 若 AU 5,则实数c的取值范围是ILt2解析 由题意知，A=x|=lg(x-x2)=x|Ox 15 B=x|x2-c xO=xOxc,若AU5,画出数轴，如图所示，得A0B 6-1 C X14.定义：设有限集合A=X|x=6，CN*,S=ai+a2+an-i+an,则S叫做集合A的模,记作囿.若集合中=%仅=2-1,-5,nW N*,集合尸含有四个元素的全体子集为B,P2,Pk,IN*,则尸11+121+P=1,解析集合0二，3,5,7,9,依题意，集合户含有四个元素的全 体子集为1,3,5,7,1,3,5,9,1,3,7,9,3,5,7,9,1,5,7,9,根据“模”的定义,|Pil+|P2|+-+|P,|=(1+3+5+7)+(1+3+5+9)+(l+3+7+9)+(3+5+7+9)+(l+5+7+9)=4X(l+3+5+7+9=100.析四、解答题15.(1)已知集合4=%*2021X+2020V0,B=xxa,若 求实数。的取值范围；解 由 f-2021x+202005解得 1v%v2020,故人=却%2020.1 2020 a%又 5=xxa,AQB,如图所不，可得。2020.所以实数。的取值范围是2020,+8).(2)已知集合 A=x|lv%v 3,B=x2mxl-m,若 AGB=0,求实数 m的取值范围.解（2）因为AA5=0,1当2加三1-机，即加三1时，B=。,符合题意;1当2根1 一加，即MV1时，Z*1需满足 31-mWl解得 OWznv；或0,g p 0m1.1 m,2m3综上，实数机的取值范围是0,+8）.16.设集合A=M?-x 2W0,集合5=%|2加x v l,且BN。.(1)若AG5=3,求实数加的取值范围；解(1)由 f 一1一2忘0,得一 14%W2,则4=%-1忘%2.因为 AC5=B,所以 A,又5=x2mxl,且 BW。，则 一 K2ml,解得一乙 乙 1 1所以实数机的取值范围是-万，(2)若中只有一个整数，求实数加的取值范围.解(2)VA=x-CrA=xx2,又5=x 2加广1,且5W若(:rA)A5中只有一个整数，则-32加3 13-2,解得加-1.所以实数机的取值范围是卜1-1.答案17.设集合 A=%|%2-3%+2=。,B=x|x2+2(a+l)x+(a2 5)=0.(1)若APB二2,求实数a的值；解(1)因为 A=2,1,AQB=2,所以代入3中，解得。二一1或一 3,当a=-1时，B=2,-2),满足条件；当=-3时，B=2,满足条件.综上，a=-1或3.(2)若AU5=4,求实数。的取值范围；解(2)因为AUB=A,所以3UA.当 3=0时，A=4(a+I)2-4(2-5)=8(+3)0,解得。0的a无解.综上，实数。的取值范围是。1。忘-3.(3)若全集U=R,(/)GA=A,求实数。的取值范围.解(3)由(/)nA=A,可知AA5=。,所以所以1+2(a+1)+2 5WO,4+4(a+1)+2 5W0.a W 1+日 a W 1 a/3 a 丰1 H a-3.综上，实数a的取值范围为-1,a W-3,1本课结束1.2充分条件与必要条件念核心素养概说（教师独具内容）1.常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工具，是逻辑思维的基本语言，充分条件、必要条件和充要条件是数学中常用 的逻辑用语.2.在数学知识体系中，数学定义、判定定理和性质定理是重要的组成 部分，它们都可以用逻辑用语表述.每一条数学定义都给出了相应数学结论成立的一个充要条件，每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充 分条件，每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件.运用 常用逻辑用语进行数学表达、论证和交流，可以提高交流的严谨性和准确性.3.重点提升数学抽象、逻辑推理和数学运算素养.鲤例要求（教师独具内容）1.由于中学数学中的许多命题都可以写成“若P,则，的形式，通过 判断命题的真假，分析条件?和结论9的关系.也就是说，“若P,则9”是 真命题，即由夕能推出9,则夕是9的充分条件，即夕成立，足以保证9成 立；同时，9是2的必要条件，即夕成立，首先必须夕成立.反之，“若9,则P”也是真命题,则夕也是9的必要条件,此时,P是q的充分必要条件,简称充要条件.具体包括四种情况：若夕=夕且9=P，则夕是q的充分必要 条件；若夕=9且9为P，则夕是9的充分不必要条件；若夕方9且9=p,则夕是9的必要不充分条件；若P令q且q由P，则?是9的既不充分也 不必要条件.2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件、必要条件的意义，理 解充要条件的意义，并会用充分必要的逻辑语言进行表达，学会用定义法、集合法进行充分必要条件的判定.能够根据充分必要性求参数的范围.3.理解充分条件与判定定理、必要条件与性质定理的关系，理解充要 条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系.4.本考点是高考频率较低的内容，试题主要为选择题或填空题，分值 为5分.命题重点是以其他知识模块为背景的充分条件、必要条件的判断问 题.修核心知识导图（教师独具内容）（充分条件与必要条件）罐上修（教师独具内容）考点5年考情分值题型难度核心素养考题示例考向关联考点命题及 其关系2017全国I卷，理3命题真假的 判断复数的概念及其 运算5选择题易逻辑 推理充分条件 与必要条件2021全国甲卷，理72019全国n卷，理7,文7充分条件、必 要条件、充要 条件的判断等比数列、递增 数列、面面平行 的判定5选择题中逻辑推理基础知识过关6知识梳理1.命题回真彳电 场真可以判断 刘 的陈述句叫做命题.判断为 丹 的语句是真命 题，判断为画假 的语句是:假命题.2.充分条件、必要条件与充要条件 回充分条件(1)如果夕今9，则是的以允.1十.注：A是3的充分不必要条件是指4=3且3分A;A的充分不必 要条件是3是指5=4且A由B.在解题中要弄清它们的区别，以免出现错 误.点击:对I(2)如果9=夕，则是的画必要条件.(3)如果既有p=0 又有记作=/则，是9的充要条件.若P=q,则是的画充分条件,4是的也必要条件p是q的画充分不必要条件p=q且q令pp是q的幽必要不充分条件，分9且q=pP是q的充要_条件poqp是q的 幽既不充分也不必要 条件p分q且9分，点击核对3.从集合的角度判断充分、必要、充要条件若条件P，夕以集合的形式出现,即A=x|p(x),B=xq(x),则由AU 3可得，夕是q的充分条件，请写出集合A,3的其他关系对应的条件p,4的关系.若A B,回充分不必要条件则,是4的若则是的 园必要条件若A B,则是。的 但必要不充分条件若A=3,则夕是9的回充要条件若AC5且AD5,则.是的既不充分也不必要条件.点击核对4.数学定义、判定定理和性质定理与充分、必要、充要条件的关系 每一条数学定义都给出了相应数学结论成立的一个回充要条件.园充分条件每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个.画必要条件每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个.点击核对份课前自我鉴定1.“(xl)(x+2)=0 是“x=lA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件的()答案B答案)解析 若x=l,则(X-l)(x+2)=0显然成立，但反之不成立，即若。-1)(%+2)=0,则%的值也可能为-2.所以“a-1)(X+2)=0”是 的必要不充分条件.2.已知集合人=1,5=1,2,3,贝广。=3”是的（）A,充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析 当。=3时，A=1,3,显然AUR但AU5时，。=2或3.所以，=3”是“AU5”的充分不必要条件.3,下列“若，则形式的命题中，哪些命题中的是9的充分条件?若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；(2)若两个三角形的三边对应成比例，则这两个三角形相似；(3)若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；(4)若x2=l,则尤=1;(5)若 a=b,贝I 二姐(6)若x,y为无理数，则犯为无理数.答案(1),(2),(3),(5).4.下列“若p,则/形式的命题中，哪些命题中的9是夕的必要条件?若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等；若两个三角形相似，则两个三角形的三边对应成比例；(3)若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形；(4)若=1,则犬2=1；(5)若 ac=be,贝1J a=；(6)若孙为无理数，则,y为无理数.答案(1),(2),(4).5.下列各题中，哪些夕是夕的充要条件?(1)/7：四边形是正方形，q-四边形的对角线互相垂直且平分;(2)。两个三角形相似,私 两个三角形三边对应成比例;(3)：孙0,q：x 05 y0.答案(2).真题赏析1.(2021全国甲卷)等比数列斯的公比为以前一项和为&.设甲：q 0,乙：S是递增数列，贝1()A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案B解析 当。1=-1,4=2时，Sj是递减数列，所以甲不是乙的充分条 件;当S.是递增数列时，有。“+1=s”+1-S”=4。，若 1。，则 q05 w N*),即q 0;若见0,则/OSWN*),这样的g不存在，所以甲是乙的必要条 件.故选B.2.（2021 浙江高考）已知非零向量a,b,c,则“ac=b-c”是“a=b的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案B解析 由c=c可得(-)c=0,所以(a-/)，c或二 所以“ac=bc 是 b的必要不充分条件.故选B.3.（2021天津高考）已知贝匹七6”是“片36”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析 若。6,贝lja 236,故充分性成立；若片36,贝1Ja 6或“V-6,推不出。6,故必要性不成立.所以“。6”是236”的充分不必要条件.故 选A._4.（2019全国n卷）设见为两个平面，则。的充要条件是（）A.。内有无数条直线与用平行B.。内有两条相交直线与用平行C.a,用平行于同一条直线D.a,垂直于同一平面答案B解析 若。夕，则。内有无数条直线与平行，反之则不成立；若斯 万平行于同一条直线，则。与P可以平行也可以相交；若。，万垂直于同一 个平面，则。与夕可以平行也可以相交，故A,C,D中条件均不是。万 的充要条件.根据平面与平面平行的判定定理知，若一个平面内有两条相交 直线与另一个平面平行，则两平面平行，反之也成立.因此B中条件是。夕 的充要条件.故选B.5.（2017全国I卷）设有下面四个命题：Pi：若复数z满足贝IJzR;P2：若复数z满足z26R,贝IJzR；P3：若复数 Z1,Z2 满足 Z1Z2CR,贝 ljzi=?2；P4：若复数贝IJzWR.其中的真命题为（）A Pk P3 Pi,P4C夕2，P3 D P2,P4答案B解析设 z=+bi（a,Z?R）,z1=ai+仇i（i,Z?i R）,z2=a2+b2i（a2,1 1 a-bib?R）.对于 pi,若二 R,即 X=2%2 R,则=0=z=a+bi=aR,z a+bi a+b所以Pi为真命题.对于P2,若z2R,即（a+历）2=。2+2。历一/cr,贝J=0.当a=0,万00时，z=a+bi=biR,所以夕2为假命题.对于夕3,若z9 R,即（的+bii）（a2+b2i）=（。他一伉。2）+（。也+a2bl）i R,则 arb2+“2儿二O.f f j Z1 z 2 3 即+bji 2 岳氏。1 故 5 bT=-b.因为/2+2仇=05=a2,bi=-b2,所以P3为假命题.对于P4,若zR,即a+历CR,贝）=0=z=a-bi=aR,所以24为真命题.故选B.析2PART TWO核心素养例析一、基础知识巩固考点1 充分条件、必要条件的判断JI例1若：9=+配，左Z,q:於）=$111（力工+9）（刃0）是偶函数，贝IJP是9的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件答案A、解析 若 9=+E,kGZ,贝1J f(x)=sin c ox+kn=c os(c ox+E)=c os s,左为偶数，-c os COx,k为奇数.jr所以函数期)是偶函数.若於)=sin(x+?)(gW0)是偶函数，则夕=+E,左Z.故夕是q的充要条件.例2 已知 p:jx+2-1-2x0,q#一/40,则是 9的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案Bx+2 三0,解析 由 aJTf2-1-2x0,知 1一2%20,Jx+2-2x,解得即成立的条件为集合A=%-得ow%W，即9成立的条件为集合3 45 A B 于 由 X O成立的必要不充分条件.追踪练习1.已知。，1为实数,则是“2。2叱的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案C解析 因为函数y=Y在r上单调递增，则/v/oav又函数y=2,在R上单调递增，M ab2a2b,所以“户”是“2。2的充要条件.2.设尤WR,则？v%2”是“仇2|v l”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析 由优-2|1,得 lx 3.因为 lx 2=,但 lx 3 分 1jc0,即a+l)(x 2)0,解得 XV 1 或 x 2.由X+1 X+1题意可得小泌 小V-1,或%2,所以心2.因此实数上的取值范围是2,+).例 4 已知 P=x|x2-8x-20W0,非空集合 S=xl-加Wx Wl+加.若是的必要条件，求实数机的取值范围.解由 f 一 8%200,得 一 2WxW 10.二尸二%|-2WxW10.是xS的必要条件，贝IJSUP.1 加2,r m 解得加W3.1+m1八解得机29.1+m10 1+mlO,，实数机的取值范围是9,+8).方法点拨已知充分条件、必要条件求参数取值范围的解题策略(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合的 包含、相等关系，然后列出有关参数的不等式(组)求解，利用集合知识，结 合数轴解决问题.(2)涉及参数问题，直接解决较为困难时，可用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决.(3)要注意区间端点值的检验，端点值取舍代进去验证.尤其是利用两个 集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值 的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.考点3 充分条件、必要条件的探求与证明例5求证：关于的方程a+bx+c=O有一个根是1的充要条件是+/7+c=0.证明 必要性：1是方程加+法+c=0的根,.a I2+/?-1+c=0,即 a+Z?+c=0.充分性：由+匕+。=0,得c二 一 a-b./ax1+bx+c=0,.ax+bx-a-b=Q,即 1)+b(x-1)=0./.(x-1)(办+a+Z?)=0.二1是方程的一个根.故关于无的方程办2+及+c0有一个根是1的充要条件是a+b+c=0.例6已知两个关于x的一元二次方程，求两方程加f-4x+4=0和d-4mx+4m2-4m-5=0的根均为整数的充要条件.解 因为如2_以+4=0是一元二次方程，所以加W0.又另一方程为f+4疗-4冽-5=0,且两方程都要有实根,4=16(1-m)20,所以 A2=16m2-4(4m2-4m-5)20,解得机金1.因为两方程的根都是整数，故其根的和与积也为整数，-e zm所以4mZ,4m2-4m-5 Z.V.5-41-251-251-以 所1.经检验，仅当用=-1时，第一个方程d+以-4=0的根不是整数;当加=1时，两方程的根均为整数.所以两方程的根均为整数的充要条件是机=L追踪练习4.已知关于x的不等式(x-)(x-3)0成立的一个充分不必要条件是-14o的解集的一个真子 集.当。二3时,不等式a-)(-3)0的解集为小W3,此时(-1,1)xx=#3；当。3 时，不等式(-)(-3)0 的解集为(-8,3)U(，+-),此 时(-1,1)(-8,3),符合题意;当。0的解集 为(一 8,a)U(3,+),由题意可得(一 1,1)(一 H a),此时.综 上所述，al.1 15.已知占y者B是非零实数，且求证：的充要条件是孙。.人 y证明证法一：充分性：由孙0及得即:I，ay A y1 1 1 1 y一元必要性：由;q,得；一三。，即=70因为y,所以-工0,所以孙0.所以:V：的充要条件是盯0.人 y、iiii y-x证法二：一一=-v O=y=y0,y-%故由与-v 0=孙 0./所以:0,4y1 1即；。.A y:方法点拨充要条件的证明(1)证明夕是9的充要条件，既要证明?=/又要证明q op,前者证明 的是充分性，后者证明的是必要性.(2)证明充要条件，即说明原命题和逆命题都成立，要注意“夕是9的充 要条件”与“夕的充要条件是9”这两种说法的差异，分清哪个是条件，哪 个是结论.(3)探求充要条件的关键在于转化的等价性,解题时要考虑条件包含的各种情况，保证条件的充分性和必要性.二、核心素养提升例1王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其从军 行传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关.黄沙百战穿金甲，不 破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的()A.必要条件 B.充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案A解析 由题意可知，“返回家乡”可推出“攻破楼兰”，故“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件.例2为激发学生学习兴趣，老师上课时在黑板上写出了三个集合：A=Ax 2 9 _ _卜一-0,然后请甲、乙、丙三 位同学到讲台上，并将“”中的数告诉了他们，要求他们各用一句话来描述中的数，以便同学们能确定该数，以下是甲、乙、丙三位同学的描述，甲：此数为小于6的正整数；乙：A是8成立的充分不必要条件；丙：A是。成立的必要不充分条件.若三位同学说的都对，则“”中的数为（）A.1 B.2 C.3 D.4答案A解析依据甲的描述可知，可能取的值为1,2,3,4,5,故().则 A=依题意，得 5=%|1W%W5,C=x|Ox l.由乙、丙两人的描述，可知。A B,则苣W5,解得|M0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是)A.m B.0m0 D,ml答案c解析 若不等式%+加0在R上恒成立，贝=1)2-4加0,解得相：,因此当不等式/一工+机0在R上恒成立时，必有机0,但当 加0时，不一定推出不等式在R上恒成立，故所求的必要不充分条件可以 是机0.6.设函数段）=c osx+bsinx（b为常数），则“。二。”是“本）为偶函数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充