高考数学一轮复习课件：第6章《数列》—数列的应用.pdf

）教学资源一网打尽学案5数列的应用曲为各梦想曾世纪金输）教学资源一网打尽考点分析一、等差、等比数列的性质1 若闻,%皆为等差数列，则kan+b,an+bn 分另、是 等差和 等差 数列.2.若aj为等差数列，m,n,p,qGN*,JLm+n=p+q,则 ap+aq_ ap+aq.am+a4 2m=p+q 测 2am曲学各梦想读返回目录5）教学资源一网打尽3.若aS为等差数列，公差为d,贝Uam，am+n，am+2n，am+3n，为 等差 数列，公差为 nd.4.若aQ为等差数列，Sn，S2n，S3n为其前n项，2n项，3n项的和，贝恰n，S2n-Sn，S3n-S2n为 等差 数列.5.若口工。为等比数列，贝UJ_,an,bn,kan（k#0）都为 等比 数列.an6.若aj为等比数列，m,n,p,qeN*,J_m+n=p+q,则 aman _=apaa,2m=p+q,贝a；_=_apaq.7.若aj为等比数列（公比ql）,Sn为其前n项和，则SQ2n0房产2rl为 等比 数列.曲学各梦想读返回目录）教学资源一网打尽8.若aQ为等比数列，则mm+tm+2tm+3t 寺比-数歹 1 二、数列综合应用题的解题步骤1.审题弄清题意，分析涉及哪些数学内容，在每 个数学内容中，各是什么问题.2.分解 把整个大题分解成几个小题或几个“步骤”，每个小题或每个小“步骤”分别是数列问 题、函数问题、解析几何问题、不等式问题等.3.求解分别求解这些小题或这些小“步骤”，从而得到整个问题的解答.曲学各梦想读返回目录）教学资源一网打尽具体解题步骤如下框图:曲学各梦想读返回目录)教学资源一网打尽三、数列应用题常见模型艮行储蓄单利公式：利息按单利计算，本金为a元，每期利率为r,存期为 x,贝本利和y=a(1+xr).2.银行储蓄复利公式按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率 为r,存期为x,则本利和y=a(1+r)x.3.产值模型,原来产值的基础数为N,平均增长率为p,对于时间x的总 产值 y=N(1+p)x.4.分期付款模型a为贷款总额,r为年利率,b为等额还款数，则b=上安.(l+r)-1曲学各梦想读返回目录）教学资源一网打尽题型分析考点一等差、等比数列性质的应用20已知aj为等比数列，a3=2,a2+a4=Y,求aj的通项公式.【分析】根据等比数列的定义及通项公式求解.曲学各梦想读返回目录）教学资源一网打尽【解析】解法一：设等比数列aj的公比为q,则q#0,.2 o 20 一+2q=,q 3解得q=；或3.当q=时,2产18,3 ian=18 x(n1：18FT=2 x 32 3-n.2,玲an=-X 3n=2 X 3nqn 92当q=3时，a产-,曲学各梦想读返回目录）教学资源一网打尽解法二：由 a3=2,得a2a4=4,又az+a4=,320则22声4为方程X2-X+4=0的两根，解得2 a2=I 24=6 或a2=6232当 a2=一 时,q=3,an=a3qn&=2 x 3nO 当a2=6时,q=一,a2=2 x 33n.an=2 x 3n3的前n项和分别是Sn，Tn，已知Sn_ 7nTn-n+3,求丁的值.05曲学各梦想读返回目录）教学资源一网打尽解法一：三=生b5 2b59ai+a9 2(ai+a9)S9 2112k 4b+b 9 T 41;(bJd)99解法二:Sn _ 711 可令Tn-n+3Sn=7n-kn=7kn2,Tn=kn(n+3),Aa5=S5-S4=7k-52-7k-42=63k,b5=T5-T4=k-5(5+3)-k-4(4+3)=12k,63k 21-=-=-5曲学各梦想读返回目录10a1+5d1=28b1+14d2,3x23)+-又%+%+%31 阳+4 S.7 b+d1 2,JL/?25曲学各梦想读返回目录b.+b2+b3.,3*21 2 3 3b.+-1 2即 2a1+2由=7片7d2，4 2由解得b产-a1,d1=2a1,d2=-av 7 7ax+4dr ax+4x 2ax 21b1+4d,4 2 41 a,+4x-a.7*1 7 1)教学资源一网打尽考点二 等差数列、等比数列的综合应用设数列a，满足a产b产6,a2=b2=49 a3=b3=3 5且数列口句2(neN*)是等差数列，bn2是等比数列，求aj和，的通项公式.【分析】由题意，先求出2卅、已用累加法求的通项公式，同理求bn.曲学各梦想读返回目录）教学资源一网打尽【解析1由已知a2,a产2 23、2=15 d=-1 (-2)=1 5：.an+1-an=(a2-a1)+(n-1)d=-2+(n-1)x l=n-3,，anan.i=n-4(nN2),an.ian-2=(n1)4,23、2=34再2、1=2*4.以上各式左右分别相加得a(a产2+3+.+(n-1)+n -4(n-1)=n(n+1-40+4.2曲学各梦想读返回目录）教学资源一网打尽A.an=-(n2-7n+18)(n2).2当n=1时，也适合上式.an=-(n2-7n+18).2又b/2=4,b2-2=2,.-.bn-2=4x(|)n-i.8 bn=2+-(nN)曲学各梦想读返回目录）教学资源一网打尽【评析】首先利用迭加法求出等差数列的通项公式，再求等比数列的通项公式.由于题目已告诉bn2是等比数列，故可由 2=4与bz2=2求得公比q=：,否则不成立.曲学各梦想读返回目录）教学资源一网打尽*对应演练*一个等差数列Sn（公差d不为零）中的部分项构成公比为q的等比数列 a，已知兄=2水2=4k3=12.*求数列%的通项公式；（2）求数列的前n项和Sn.曲学各梦想读返回目录)教学资源一网打尽解法一；.a%是数列同的第心项，又是a*的第n项，*ak=a1+(kn-1)d=a%.qn.i=a2qni.akn+2-akn+1 a2qn+1-a2qn-=;-=q-akn+1-akn a2q-a2qak3-ak2%+曲3-川4+(12-1)可-3*2 4q ak2-ak-%+(k2-l)da：+(kl)d-k2-kn+1水3是以12水1为首项，公比为4的等比数列,递推可得味,产24止2,|2水产24。，上述n-1个等式累加可得%=2-4n-1+-._/*_ J返回目录了(S学不黄想谥)教学资源一网打尽解法二:由22声4声12成等比数歹L得a：=a2，ai2,即(ai+3d)2=(a#d)(ai+11d).:.6a1d+2d2=0.1=0或1=321由=321知 区=q=4,下同解法一.由kn=与43+可得s产24+1211-23 3 9曲学各梦想读返回目录)教学资源一网打尽考点三数列与函数的综合问题已知f(x)=logaX(a0,且a#1),设f(a)，f(a2),f(an)(nN*)是首项为4,公差为2 的等差数列.(1)若a为常数,求证：aj成等比数列;(2)设bn=aj(aj，若bj的前n项和是S”，当 a=6求Sn.【分析】利用函数的有关知识得出的表达式，再利用表达式解决其他问题.曲学各梦想读返回目录）教学资源一网打尽【解析】(1)f(an)=4+(n-1)x 2=2n+2,即 logaan=2n+2,可得 aja2n+2.2n+2a-aa2(n-l)+22n+2 a2n a23为定值.an为等比数歹人曲学各梦想读返回目录）教学资源一网打尽(2)bn=anf(an)=a2n+2logaa2n+2=(2n+2)a2n+2.当2=行时，bn=(2n+2)(Vl)2n+2=(n+1)2n+2.Sn=2-23+3-24+4-25+.+(n+1)-2n+2?2Sn=2-24+3-25+4-26+.+n-2n+2+(n+1)-2n+3.得6/2 23+24+25+2/2.何+1)-2n+3“24(1-2”“)+1=16+-(n+l)2n 3=16+2n+3-24-n-2n+3-2n+3=-ri2n+3.e.Sn=n-2n+3.返回目录曲学各梦想读）教学资源一网打尽【评析】数列与函数、方程、不等式、解析几何等知识常常相互结合出题，解这类题目，常用的方法有:函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等.曲学各梦想读返回目录)教学资源一网打尽*对应演练*已知二次函数f(x)=x2-2(10-3n)x+9n2-61n+1005 其中nN*.(1)设函数f(x)的图象的顶点的横坐标构成数列aS，求证数列an为等差数列.(2)设函数f(x)的图象的顶点的横坐标构成数列dn,求数列dn前n项的和Sn.(3)对于(1)中的数列aj,cn=l+一4一4n-+a求数列%中的最大项与最小项.2 n曲学各梦想读返回目录）教学资源一网打尽证明：:二次函数f(x)=x2-2(10-3n)x+9n2-61 n+100(n N*)图象的顶点的横坐标为103n,Aan=10-3n(neN*).an+-3n=10-3(n+1)-(10-3n)=-3,，数列aj是等差数列.曲学各梦想读返回目录)教学资源一网打尽(2)二次函数 f(x)=x22(10-3n)x+9n2-61n+100(nN*)的图象的顶点到y轴的距离为|10-3川，dn=|10-3n|(n e N*),数列4的前3项为一个首项为7,公差为-3的等差数列，第4项开始为一个首项为2,公差 为3的等差数列，数列前n项的和n(n-l)S J7n+-(-3),n4,1 2(C.+bn,田，即S产/2 2|3n2-17n+48 n4,I 2 _J返回目录曲学各梦想读）教学资源一网打尽(3)cn=i+/-=1+？，数列5的图象是4n-+10-3n n-一5 2 42以（鼻,1）为中心,以x=、y=1为渐近线的双曲线上的一些点.显然,n=2时部的值最小,其值62=1;n=3时部的值最大，其值。3=3.曲学各梦想读返回目录)教学资源一网打尽考点四数列与方程、不等式的综合应用若a,B是方程x2/而+m2=0(m0)的两实根，而且 成等比数列.(1)求m的值；(2)数列aQ的通项公式为a产一-，且Sn是它 邛 n+1)的前n项和,求证：log2m0Sn0)的两.*.=(-713 2-4m20.叵 m 且a+B 2 2又成等比数列，6=m2.A(a-p)2=ap.A(a+p)2-5ap=0.，5m2=10,.e.m=A/2-曲学各梦想读返回目录）教学资源一网打尽/X（2）证明：Sn=a1+a2+.+an=1 1 1 1 11 1 1 1-+-+.+-=（1）+（）+（-）=1-1x2 2x3 n（n+l）2 2 3 n n+1-n+1,*m=C,：.log2m=log2A/=:?logm2=-log 2=1.2 2/，要证log2m0Sn Aogm2,只要证%Sn1 即可.2 2VneN*,A0-i-：.-幺.-Ixo.1 n+1 2 2 n+1，T1-1.2 n+1故!Sn Tn的最小正整数n.曲学各梦想读返回目录）教学资源一网打尽5、(aq9)2=aiqi4,.34=1,即a产 二，Vq1,.0a10,Q T n n 2 n-1、.n/I n/U,-=a-Q 1，一1、J-我1 n qn-r=q8.又q 1,n-1 8,，n 9.ai(1-qn)-满足Sn Tn的最小正整数n=10.曲学各梦想读返回目录)教学资源一网打尽考点五数歹U与解析几何的综合问题n-1 3已知点M(1,2)An(2,an),Bn(，一)为直角坐标平面上一 n n的点(nN*).若点MA，Bn在同一直线上，求数列aS的通项公式；(2)设d/-Qn为dn的前n项和，求证：-0Dn 3 2【分析】由k=k,求 MAn 1VMn(2)用裂项相消法求出Dn.曲学各梦想读返回目录)教学资源一网打尽【解析】(1)M,An，Bn三点共线,an 1 21 1 11 1 1，Dk=-(i-)+(T-)+eee(-7-T-77)“2 3 3 5 2n-l 2n+l显然，D3是一递增数列，1 12-1an=2n-1.(2)证明：dkU1 1 1一(-)2 2k-l 2k+l3-2k=1,2,3,-,n,返回目录了(S学不黄想谥）教学资源一网打尽【评析】利用解析几何有关的性质、公式建立数列的递推关系或通项和的关系，然后利用数列的知识解决问题.曲学各梦想读返回目录)教学资源一网打尽*对应演练*已知曲线C:y=x2(x0),过C上的点Ai(1,1)作曲 线C的切线.交x轴于点Bi,再过点Bi作y轴的平行线交曲线 C于点A2,再过点A2作曲线C的切线交x轴于点B2,再过点 82作丫轴的平行线交曲线C于点A3,，依次作下去，记点An 的横坐标为an N*).(1)求数列an的通项公式;(2)设数列a的前n项和为Sn，求证:anSn0曲学各梦想读返回目录5）教学资源一网打尽（1）曲线C在点An（an,a；）处的切线I的斜率是2an，切线I的方程是y-=2献（x、n）,由于点Bn的横坐标等于点An+1的横坐标an+1,令y=0）得a/产）2 1 1数列Sn是首项为1,公比为一的等比数列，an=FF.12 2（2）.S/W=2Q-小，11-2 11 1anSn=4x 涯（1-右），令t=F 则 Ot0anSn=4t（1-t）=-4（t-1）2+1,当t=,即n=1时广4（t，）2+1有最大值1,即anSn。.返回目录曲学各梦想读）教学资源一网打尽考点六数列模型的应用问题假设某市2008年新建住房400万平方米,其中有250万平 方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建 住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么，到哪 一年底，该市历年所建中低价房的累计面积（以2008年为累 计的第一年）将首次不少于4750万平方米？（2）当年建造的中低房的面积占该年建造住房面积的比 例首次大于85%（参考数据：1.08M.36,1.08M.47,1.08M.59）?曲学各梦想读返回目录）教学资源一网打尽【分析】(1)要求学生会把实际问题转化为数学问题：S=250n+n(n1)x 50=25n2+225n4 750.n 2(2)a1 0.85bn,bn=400 x 1.08n【解析】（1）设中低价房的面积形成的数列为aj,由题意可知aS是等差数列，其中%=250,d=50,则2/250+（n-1）50=50n+200,S=250n+I1I1-x50=25n2+225n,2令25rl2+225*4 750,即n2+9n-1900,而n是正整数，n10.到2017年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米.曲学各梦想读返回目录)教学资源一网打尽(2)设新建住房面积形成数列%,由题意可知%是 等比数列，其中bi=400,q=1.08决Jbn=400-(1.08)f由题意可知a。0.85bn,50n+200400-(1.08)n-1-0.85.当 n=5时，a5 0.85b6,满足上述不等式的最小正整数n为6.二到2013年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造 住房面积的比例首次大于85%.曲学各梦想读返回目录）教学资源一网打尽【评析】解决此类问题的关键是如何把实际问题转化为数学问题，通过反复读题，列出有关信息，转化为数列的有关问题，这也是数学实际应用的具体体现.曲学各梦想读返回目录)教学资源一网打尽*对应演练*某地区原有木材存量为a,且每年增长率为25%,因生产 建设的需要每年年底要砍伐的木材量为b,设a。为n年后 该地区森林木材存量.(1)求an的表达式;(2)为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的7 19森林木材存量不少于3 a,如果b=-a,那么该地区今后72会发生水土流失吗？若会，需要经过几年(取lg2=0,30)?曲学各梦想读返回目录）教学资源一网打尽（1）解法一：设第一年的森林木材存量为a1,第n年后的森林木材存量为a9则a产a（1+一）b=1ab,4 4a2=|arb=（|）2-（|+1）b,55a3=ja2-b=(1)a-C(f)2+|+1b,5 5 5an=(7)na-(7)n1+(7 产2+1b=(-)na-4 C(-)n-1b(nN*).4 4曲学各梦想读返回目录)教学资源一网打尽解法二：设第n年木材存量为a4则第n1年存量为an.i(n2),故a产ae(1+1)-b,即 a产;an.b(nN2),所以a。-4b=：值向，口之，4所以口广4盼组成以ar4b为首项,1为公比的等比数列.所以an-4b=(a1-4b)-(-)n-1，即an=4b+(-a-5b)-(-)n14 4 4=(-)na-4(9)3b(n e N*).4 4曲学各梦想读返回目录）教学资源一网打尽（2）纳=崇时,若则自注419 7 51 一 av,a,即（-）n5,1&2 9 47所以 n lg5-21g2 1-31g2-7.2.答：经过8年后该地区就开始水土流失.曲学各梦想读返回目录四学资源一网打尽1.深刻理解等差（比）数列的性质，熟悉它们的 推导过程是解题的关键.两类数列性质既有类似的部分,又有区别，要在应用中加强记忆.同时，用好性质也会 降低解题的运算量，从而减少差错.2.等比数列的前n项和公式要分两种情况：公比等 于1和公比不等于1.最容易忽视公比等于1的情况，要 注意这方面的练习.3.在等差数列与等比数列中，经常要根据条件列 方程（组）求解，在解方程组时，仔细体会两种情形 中解方程组的方法的不同之处.曲学各梦想读返回目录）教学资源一网打尽4.数列的渗透力很强，它和函数、方程、三角形、不等式等知识相互联系，优化组合，无形中加大了综合 的力度.解决此类题目，必须对蕴藏在数列概念和方法中 的数学思想有所了解，深刻领悟它在解题中的重大作用，常用的数学思想方法有：“函数与方程”“数形结 合”“分类讨论”“等价转换”等.5.在现实生活中，人口的增长、产量的增加、成本 的降低、存款利息的计算、分期付款问题等，都可以利 用数列来解决，因此要会在实际问题中抽象出数学模型,并用它解决实际问题.曲学各梦想读返回目录）教学资源一网打尽曲为各梦想曾世纪金输