高考数学一轮复习第八章 平面解析几何.pdf

第八章平面解析几何第一节夕/直线的倾斜角与斜率、直线的方程小魏前0慨目宿鸥仁。圆。熊。熊、演。演。会画/尊哥硼宓斑题带关1.直线的倾斜角(1)定义：当直线，与X轴相交时，取X轴作为基准，X轴正向与直线/向上方向之间所 成的角叫做直线，的倾斜角.当直线/与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0.(2)范围：直线2倾斜角的取值范围是10,2.斜率公式(1)直线，的倾斜角为则斜率4=挺”.丫2VI(2)Pi(Xl，力)，尸2(必，及)在直线，上，且X1#X2,贝！H的斜率上=匕+3.直线方程的五种形式4.线段的中点坐标公式若点尸1，尸2的坐标分别为(X1,力)，(X2,)，线段P1P2的中点M的坐标为(x,y),则名称几何条件方程适用范围斜截式纵截距、斜率j=f cr+Z与*轴不垂直的直线点斜式过一点、斜率丫血=4(*沏)两点式过两点yy _ xxiJ2J1 X2X1与两坐标轴均不垂直的直 线截距式纵、横截距a+b=1不过原点且与两坐标轴均 不垂直的直线一般式Ax+Bj+C=0(A2+B20)所有直线X1+X2 x=-2-，；此公式为线段P1P2的中点坐标公式.yvyi小题体验1.设直线，过原点，其倾斜角为处 将直线，绕坐标原点沿逆时针方向旋转45。，得到直线小 则直线的倾斜角为（）B.a135A.a+45C.1350-a D.a+45或 a-135解析：选D 由倾斜角的取值范围知，只有当0Wa+45V180,即0这a V135时，h 的倾斜角才是a+45.而0Wa V1800,所以当135a V180时，A的倾斜角为a-135,故 选D.2.下列说法中正确的是（）A.2=A表示过点Pi（xi,j i）,且斜率为k的直线方程B.直线丁=履+。与y轴交于一点8（0,b）,其中截距，=|0用C.在x轴和y轴上的截距分别为a与6的直线方程是，+方=1D.方程（X2Xi）（y力）=仇一yD（x-X。表示过点P13，力），尸2（必，力）的直线解析：选D 对于A,直线不包括点故A不正确；对于B,截距不是距离，是B 点的纵坐标，其值可正可负，故B不正确；对于C,经过原点的直线在两坐标轴上的截距都 是0,不能表示为烹+=1,故C不正确；对于D,此方程为直线两点式方程的变形，故D 正确.故选D.3.（2018嘉兴检测）直线东x+y+2=0在x轴上的截距为；若将人绕它与y 轴的交点顺时针旋转90。，则所得到的直线12的方程为.解析：对于直线6：x+y+2=0,令y=0,得x=-2,即直线介在x轴上的截距为-2;令x=0,得丁=一2,即乙与y轴的交点为（0,-2）,直线A的倾斜角为135,.直线b的倾 斜角为13590=45,，2的斜率为1,故L的方程为y=x-2,即*一y一2=0.答案：-2 x-y-2=0A国遂多镯果1.点斜式、斜截式方程适用于不垂直于X轴的直线；两点式方程不能表示垂直于X,y 轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线.2,截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零.3.求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率是 否存在加以讨论.小题纠偏1.直线xcosa+由y+2=0的倾斜角的范围是（）a.根,f lur?b即厚，Jc.。,fl D?解析：选B 设直线的倾斜角为夕，则ta n。=一毒cos a,又 cos 1,1,所以一半Wta n 9W乎,又 00,R40时，a为锐角.又 k p A=I。=-1,碗=1；51)=1,又当0WAW1时，04a 条当一1WAV0时，普WaV九.故倾斜角a的取值范围为a eo,引U普，J.答案：-1,1 o,fuy,j3.若A(2,2),3Q0),C(0,6)(而WO)三点共线,求:+看的值.02 2 b2 b2解：k AB0 2一a_2，2 2 9 且A，B,。点*线，.Aabac.即一一三=一土，整理得而=2(a+6),将该等式两边同除以2必得；+1=；.a 乙 乙 a。/谨记通法1.倾斜角与斜率的关系当同0,驰由0增大到的当时，上的值由0增大到+8.当a喏，江)时，上也是关于a的单调函数，当a在此区间内由如玛增大到花3%)时，A的值由一8趋近于0优#0).2.斜率的3种求法(1)定义法：若已知直线的倾斜角”或a的某种三角函数值，一般根据女=1211”求斜率.(2)公式法：若已知直线上两点A(xi,yD，Bxi,j 2),一般根据斜率公式上=z(x iHx2)K2 兀1 求斜率.(3)方程法：若已知直线的方程为Ax+3y+C=0(3#0),贝也的斜率A=考点二直线的方程(重点保分型考点师生共研)典例引领求适合下列条件的直线方程：(1)经过点(4,1),且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点(-1,-3),倾斜角等于直线y=3x的倾斜角的2倍；(3)经过点(3,4),且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形.解：(1)设直线方程在x,y轴上的截距均为G,若。=0,即直线方程过点(0,0)和(4,1),；直线方程为即x4y=0;若a#0,则设直线方程为，+=1,4 1直线方程过点(4,1),.*.-+-=1,U U解得a=5,；直线方程为x+y-5=0.综上可知，所求直线的方程为x-4y=0或x+y5=0.(2)由已知，设直线y=3x的倾斜角为a,则所求直线的倾斜角为2a.-2ta n a 3 ta n a=3,ta n 2a=-71ta n%4又直线经过点(一 1,-3),因此所求直线方程为y+3=一永x+1),即 3x+4y+15=0.(3)由题意可知，所求直线的斜率为1.又过点(3,4),由点斜式得y-4=(x3).即所求直线的方程为x-j+l=O或x+y7=0.由题悟法求直线方程的2个注意点(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件.(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考 虑斜率不存在的情况；若采用栈距式，应判断截距是否为零).即时应用求适合下列条件的直线方程：(1)经过点A(一小,3),且倾斜角为直线由x+y+l=O的倾斜角的一半的直线方程为(2)过点(2,1)且在x轴上的截距与在j轴上的截距之和为6的直线方程为.解析：由#x+y+l=0,得此直线的斜率为一小，所以倾斜角为120,从而所求直线的倾斜角为60,所以所求直线的斜率为小.又直线过点A(一小，3),所以所求直线方程为y3=yf3(x+y3),即由*y+6=0.(2)由题意可设直线方程为?+T=l,U Ua-b6,则 2,1 解得 a=b=3,或 a=4,b=2.匕+厂1，故所求直线方程为x+j3=0或x+2j4=0.答案：(lh/3x-j+6=0(2)x+y3=0 或 x+2y-4=0考点三 直线方程的综合应用(题点多变型考点多角探明)锁定考向直线方程的综合应用是常考内容之一，它常与函数、导数、不等式、圆相结合，命题多 为客观题.常见的命题角度有：(1)与基本不等式相结合的最值问题；(2)与导数的几何意义相结合的问题；(3)由直线方程解决参数问题.题点全练角度一：与基本不等式相结合的最值问题1.过点P(2,l)作直线与x轴和y轴的正半轴分别交于A,B两点,求：(l)AAO B面积的最小值及此时直线I的方程；(2)直线I在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线I的方程；(3)|加卜|尸3|的最小值及此时直线I的方程.解：(1)设直线/的方程为y l=A(x-2),则可得A(2 0),3(0,1-2%).直线，与x轴，y轴正半轴分别交于A,B两点、,11一240,.,.Saaob=1-|OA HOB|=1-(2-(1-2)=如一户4。湛4+2 1(一a-%=4,当且仅当一2=-4左，/0即时，ZkAOB的面积有最小值4,此时直线/的方程为y-l=-J(x-2),即x 4-2j-4=0.(2)VA(2-1,0),3(0,12灯他VO),截距之和为21+12女=3-2左一卜3+2 4(-2砂(一/=3+2短当且仅当一24=-T,即无=一率时等号成立.f t N故截距之和的最小值为3+2业此时直线I的方程为y1=一号(x2),即 x+g一巾一2=0.(3)VA(2-1,0),3(0,12盼(女 0ri iC.0,1 1解析：选A由题意知y=2x+2,设P(xo,则)，则 k=2x0+2.因为曲线。在点尸处的切线倾斜角的取值范围为|_0,T，所以0W上W1,即OW2xo+2Wl,故一IWx oW一角度三：由直线方程解决参数问题3.已知直线 6：ax2y=2a4,I 2：2x4-a2j=2a2+4,当 0Va V2 时，直线，i,b 与两 坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数。的值.解：由题意知直线L b恒过定点尸(2,2),直线11在y轴上的截距为2一处 直线L在x 轴上的撷距为乐+2,所以四边形的面积S=；X(2 a)X2+x(a 2+2)X2=a 2-a+4=(4。+竽，当4=与时，四边形的面积最小，故通法在握处理直线方程综合应用的2大策略(1)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够 看出“动中有定”.(2)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利 用基本不等式求解最值.演练冲关1.设mGR,过定点A的动直线x+mj=O和过定点B的动直线m xym+3=Q交于 点P(x,y),则旧1卜甲5|的最大值是.解析：易求定点A(0,0),3(1,3).当P与A和3均不重合时，因为P为直线x+/ny=O 与mx-y-m+3=0的交点，且易知两直线垂直，贝B4_LP3,所以因4|2+|尸3|2=|4用2=10,所以yL=5(当且仅当|B4|=|P3点时，等号成立)，当P与A或3重合 时，阳|廿引=0,故照卜|尸阴的最大值是5.故 54。*03=卜*(1+2%)=如4+/+4)马4+4)=4,答案：52.已知直线/：k x-y+1+2f e=0(/1 e R).(1)证明：直线I过定点；(2)若直线，不经过第四象限，求A的取值范围；(3)若直线，交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点3,0为坐标原点，设AAOB的面 积为S,求S的最小值及此时直线I的方程.解：证明：直线/的方程可化为y=Jt(x+2)+l,故无论左取何值，直线I总过定点(一2,1).(2)直线I的方程为丁=+2儿+1,则直线I在y轴上的截距为2女+1,要使直线/不经过第四象限，则40,、解得A20,1+2 心 0,故A的取值范围为0,+0).1+2左依题意，直线，在X轴上的截距为一一,在y轴上的截距为1+21,(1+2A、,01,3(0,1+2机1+24 ,又一一V0 且 1+2匕0,：.k 0.K1 1+2R1当且仅当4A：=）,即左=4时取等号.K/故S的最小值为4,此时直线/的方程为x-2y+4=o.能力练9会绘定儡会明一抓基础，多练小题做到眼疾手快1.（2019金华一中模拟）直线+（+1+1=。的倾斜角的取值范围为（）A.10,胃 B兽，元）电,力 暗,一序冗）解析：选B由直线方程可知斜率上=一号设倾斜角为%则ta n=-&,而1W-/.lta na 0,又,.（z0,tt）,工普gVtt,故选 B.2.直线xsina+y+2=0的倾斜角的取值范围是（）A.0,n）B0,即苧,九）c.o,皿,加任,加）解析：选B 设直线的倾斜角为氏则有ta n6=-sina,其中sin-1,1.又6W0,re）,所以 OWGWg或普WGVtt.3.（2018湖州质检）若直线，与直线y=l,x=7分别交于点尸，Q,且线段PQ的中点坐标为（1,-1）,则直线，的斜率为（）C.一,D.1解析：选B 依题意，设点PQl）,Q（7,b）,a+7=2,则有，一 C 解得“=-5,=-3,仍+1=2,从而可得直线2的斜率为生？=一：4.如图中的直线介，2,13的斜率分别为抬，k2,依，贝！1（A.MVA2VA3B.k 3vk ik?C.k3k2k iD.k ik3。3,所以0=0和直线 bx+y+a=O的图象可能是（）解析：选B 当a 0,。0时，一a VO,b0,“W1）的图象恒过定点A,若点A在/nx+犯-1=0伽0）上，则A+5的最小值为（）A.2B.4C.8 D.1解析：选B 函数y=/r（a 0,a#l）的图象恒过定点；把A（l,l）代入直线方程得m+n=l（/nn0）.5+!=+5）（皿+）=2+氏+22+2=4（当且仅当扣取等号）,的最小值为4.6.（2018温州调研）已知三角形的三个顶点为4（一5,0）,3（3,3）,C（0,2）,则3c边上中线所在的直线方程为解析：TbC的中点坐标为g,一乡，,BC边上中线所在直线方程为音”-=炉，即 一厂0 2+5x+13y+5=0.答案：x+13y+5=07.若直线a x+y+3al=0恒过定点M,则直线2二+3丁一6=0关于M点对称的直线 方程为.%+30,%=3,解析：由 a x+y+3a-l=0,可得 a(x+3)+(y-l)=0,令 可得口一1=0,y=l,M不在直线2x+3y-6=0上，设直线2*+3/6=0关于M点对称的直线方程为 2x+3y+c=0(c#-6),则|-6+3-6|_|-6+3+c|4+9-/4+9,解得c=12或c=6（舍去），所求直线方程为2x+3j+12=0.答案：2x+3y+12=0138.若圆x2+j2+2x6j+l=0关于直线a xZj+3=0(a 0,，0)对称，贝哈+石的最 小值是.解析：由圆炉+72+2=-6/+1=0知其标准方程为(x+l)2+(y-3)2=9,V 圆 x2+j2+2x6j 4-l=0 关于直线 a rZj 4-3=0(a 0,，0)对称，该直线经过圆心(-1,3),即一a-3办+3=0,a+36=3(a 0,f t0)./】+步沿9)4。+博力,当且仅当科=票，即时取等号.故5+孤最小值是学.答案遭9.已知直线I与两坐标轴围成的三角形的面积为3,分别求满足下列条件的直线I的方 程：过定点A(3,4)；斜率为点4解：设直线，的方程为y=A(x+3)+4,它在x轴，1y轴上的截距分别是一元一3,34+4,由已知，得(34+4)0+3)=6,故直线I的方程为2x+3j-6=0或8x+3j+12=0.(2)设直线，在y轴上的截距为瓦 则直线的方程是丁=%+心 它在x轴上的截距是一 6 b,由已知，得6炉m=6,；b=l.，直线I的方程为x6y+6=0或x6y6=0.10.如图，射线O A,O B分别与x轴正半轴成45。和30。角，过点P(1,.0)的直线AB分别交04,08于A,B两点,当的中点。恰好落在/T直线y=$上时，求直线A3的方程.Lz CA(bo)*解：由题意可得AQ4=ta n45=l,A痴=ta n（180。-30。）=一半，所以直线 bi：y=x,Iob：y=-3.X.设 A(/n,m),B(3n,n),所以4B的中点由点C在直线y=x上，且A,P,B三点共线得m-n 1 m 一小 n2 2 2m-0 n-0y3nr解得m=小,所以A（巾，巾）.又 P（l,0）,所以 k AB=k AP=1=.,3+由所以b：y=一寸(x1),即直线AB的方程为（3+5）*-27一3一5=0.三上台阶,自主选做志在冲刺名校1.已知曲线了=右，则曲线的切线中斜率最小的直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为.解析：y=-ex-+以，叶4+2 ex11因为e0,所以+922限9=2（当且仅当e*=9，即x=0时取等号），所以廿+9+224,故V=-彳一2一3（当且仅当x=0时取等号）.铲+产所以当x=0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为（0,T）,切线的方程为y=%0）,即x+4y2=0.该切线在x轴上的截距为2,在y轴上的截距为），所 以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积S=：X2X1=1.答案力2.已知直线，过点P(3,2),且与x轴、y轴的正半轴分别交于A,、B 3两点，如图所示，当ABO的面积取最小值时，求直线，的方程.解：法一：设 A(a,0),B(0,办)30,。0),飞则直线/的方程为工+=1.a b3 2 因为I过点P(3,2),所以&+1=1.因为1=%於2 整理得必224.所以430=蒙必212,3 2当且仅当一=%,即a=6,5=4时取等号.a d此时直线I的方程是*+；=1,即2=+37-12=0.法二：依题意知，直线I的斜率上存在且ArVO,可设直线，的方程为y-2=A(x-3)(AV0),则 4(3一a 0),3(0,23盼，Saabo=1(23 A)(3D出 2+(一)+句2.2+21(一崂.=1x(12+12)=12,4 2当且仅当一州=二3,即4=一1时，等号成立.所以所求直线I的方程为2x+3j-12=0.宓遂眼桥图1.两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行：对于两条不重合的直线儿11,若其斜率分别为所，依，则有，1公厄=的.当直线九，2不重合且斜率都不存在时，Zl，2.两条直线垂直：如果两条直线小，2的斜率存在，设为左1，超，则有所也=T.当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，1_1_以2.两条直线的交点的求法直线Zi：Aix+Bu+Ci=O,Z2：A 2x+B+C2=0,贝！)h与12的交点坐标就是方程组Aix+Bij+Ci=O,4*+8冲+。2=03.三种距离公式P(X1，J1),尸2(X2，y2)两点之间的距离PiP2=yj(x2-xi)2+(y2-yi)2点尸o(xo,则)到直线1：Ax+3y+C=0的距离|Axo+Bj o+C|yA2+B2平行线 Ax+By+Ci=Q 与 Ax+Bj+C2=0 间 距离,IC1-C2I dyfA小题体验1.(2018金华E8校联考)直线2x+(m+l)j+4=0与直线3y2=0平行，贝!m=()A.2 B.3C.2 或一3 D.一2 或一3解析：选 C，,直线 2x+(/n+l)y+4=0 与直线 mx+3j2=0 平行，解得m=2或一3.2.是直线3+l)x+3a y+l=0与直线31比+(“+13=0相互垂直”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析：选A 由直线(a+l)x+3a y+l=0与直线(al)x+(a+l)y3=0相互垂直，得(a +l)(al)+3a(a+l)=0,即 4a 2+3a1=0,解得 或一1,；a=(是直线(a+l)x+3a y+l=0与直线(al)x+(a+l)y3=0相互垂直”的充分不必要条件，故选A.3.(2018浙江五校联考)已知动点尸的坐标为(x,lx),xGR,则动点P的轨迹方程为,它到原点距离的最小值为解析：设点尸的坐标为(x,j),则y=lx,即动点P的轨迹方程为x+y1=0.原点到直线x+j-l=0的距离为d=玮桀n=乎,A/1+1/即为所求原点到动点P的轨迹的最小值.答案：x+j-1=0半1.在判断两条直线的位置关系时，易忽视斜率是否存在，两条直线都有斜率可根据条 件进行判断，若无斜率，要单独考虑.2.运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x,y的系数分别相等这一条件盲 目套用公式导致出错.小题纠偏1.已知P：直线6：xy1=0与直线L：x+a y2=0平行，Q：a=-l,则P是Q 的()A.充要条件 B,充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件解析：选A 由于直线，1：xy1=0与直线七：x+a y2=0平行的充要条件是IXa-(-1)X1=O,即 a=T.所以P是Q的充要条件.2.(2018安庆模拟)若直线A：x+3y+m=0(/n0)与直线Z2：2二+673=0的距离为画,则 m=()C.14D.17解析：选 B 直线 Zi：x+3y+/n=0(/n0),即 2x+6y+2/n=0,因为它与直线 ht 2x+6y3=0的距离为4而，所以卷=布m，解得加=孕.小朝青。身窟鹦度圈嗣国H册0含、经面朝D畲考点一两条直线的位置关系(基础送分型考点自主练透)题组练透1.已知直线a x+(b+2)y+4=0与直线a x+(5-2)y3=0互相垂直，则ab的 最大值为()A.0 B.2C.4 D.a/2解析：选B 若万=2,两直线方程分别为y=一3一1和x=,此时两直线相交但不垂 直.若，=2,两直线方程分别为x=%y=%一：,此时两直线相交但不垂直.若)W2,两直线方程分别为丁=一法蟾3和y=黄万*+万，此时两直线的斜率分别为一,一黄由一岸f(一黄0=1，得出+62=4,因为“2+62=492而，所以a bW2,且当.=。=也或a=6时取等号，故好的最大值为2.2.(2018请暨模拟)已知a,b为正数,且直线a x+刀一6=0与直线2x+(A3)y+5=0 平行，则2a+3方的最小值为.2 3解析：由两直线平行可得，a(b-3)=2b,即28+3a=必，二+7=1.又a,8为正数，所 以 2a 4-3f t=(2a+3Z)-f 4-T)=13+4-13+2 r-=25,当且仅当 a=b=5 时取等 号，故2a+3Z的最小值为25.答案：253.已知两直线6：/nx+8y+=0和L：2x+mj1=0,试确定加，的值，使(1)/1与L相交于点P(/n,1);(3)ZiZ2,且在y轴上的截距为-1.解：(1)由题意得，血2-8+=0,2m-m-1=0,解得 wz=l,n=l.即/n=l,=7时，11与L相交于点尸(6，-1).m2-16=0,/-2#0,解得m=4,n2m=-4,n=2.或即 z=4,2 或/=4,时，l/l2.(3)当且仅当2m+8/n=0,即=0 时，h-L h.又一g=_ l,.n=8.o即 jw=0,n=S 时，h工b.且11在y轴上的截距为-1.谨记通法1.已知两直线的斜率存在，判断两直线平行垂直的方法(1)两直线平行O两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等;(2)两直线垂直妗两直线的斜率之积等于一1.提醒当直线斜率不确定时，要注意斜率不存在的情况.2.由一般式确定两直线位置关系的方法提醒在判断两直线位置关系时，比例式11与空，号的关系容易记住，在解答选 A2 Q2 5直线方程Zi：Aix+Bij+Cl=0(A1+B|0)Z2：Am+B切+。2=0(蜀+或，0)A与6垂直 的充要条件442+3/2=0与平行的充分条件人2一%,C2(A232c2#0)与，2相交的充分条件张凯祖#0)6与，2重合的充分条件如矍=旨及。2#0)择、填空题时，建议多用比例式来解答.考点二距离问题(重点保分型考点师生共研)典例引领1.(2018衢州模拟)若直线人x+a y+6=0与0(。-2)*+3/+2a=0平行，则A与L 间的距离为()A.V2 B 呼C.a/3 D 呼解析：选B因为八/2,所以一号#刍解得a=-1,所以6：xy+6=0,h：x二 22 63 Q-/S一y+=0,所以/i与b之间的距离d=镜=.2.直线3x+4y3=0上一点产与点Q(2,-2)的连线的最小值是.解析：点Q到直线的距离即为P,Q两点连线的最小值,|PQ|min=|3X2+4X(-2)-3|p+42=1答案：13.若直线I过点玳一 1,2)且到点4(2,3)和点项一4,5)的距离相等，则直线I的方程为解析：法一：当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为y2=A(x+l),即履一y+A+2=0.由题意知|24一3+九+2|_|-4k-5+卜+2|，#2+1.N+1即|3比一1|=|-3比一3|,k=直线I的方程为j-2=-1(x+l),即x+3y-5=0.当直线/的斜率不存在时，直线I的方程为X=-1,也符合题意.故所求直线I的方程为x+3y5=0或x=l.法二：当 A32 时，有 k=k AB=T，直线I的方程为j-2=-1(x+l),即x+3y-5=0.当I过4B中点时，4B的中点为(-1,4).直线/的方程为x=-l.故所求直线I的方程为x+3y5=0或x=1.答案：x+3y5=0 或 x=1由题悟法处理距离问题的2大策略(1)点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求.(2)动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两 定点所在线段的垂直平分线上，从而使计算简便.即时应用1.已知P是直线2x-3y+6=0上一点，O为坐标原点，且点A的坐标为(-1,1),若|PO|=PA,则P点的坐标为_.2“-38+6=0,解析：法一：设尸Q b),贝叫,-162+=迎+1)2+(1)2,解得。=3,办=4.；.P点的坐标为(3,4).法二：线段OA的中垂线方程为x-y+l=0,则由x=3,则P点的坐标为(3,4).3=4,2x-3j+6=0,E1=。.H答案：(3,4)2.已知直线Z：a x+y-l=O和点A(l,2),3(3,6).若点A,3到直线，的距离相等，则 实数。的值为.解析：法一：要使点A,B到直线/的距离相等，则A32,或A,3的中点(2,4)在直线/上.62所以一a=3_=2 或 2a+41=0,解得a2或一；.法二：要使点A,3到直线/的距离相等，|a+l|3a+5|3贝索铲丙,解得。=一2或二答案：一2或一,考点三 对称问题(题点多变型考点多角探明)锁定考向】对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型.常见的命题角度有：(1)点关于点对称；(2)点关于线对称；(3)线关于线对称.题点全练角度一：点关于点对称1.过点P(0,l)作直线，使它被直线小2x+y-8=0和自x-3y+10=0截得的线段被 点尸平分，则直线I的方程为.解析：设A与/的交点为A(a,82a),则由题意知，点A关于点尸的对称点3(4,246)在，2上，把3点坐标代入L的方程得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4,即点4(4,0)在直线2上，所以由两点式得直线2的方程为x+4j-4=0.答案：x+4y4=02.已知直线I：2x-3j+l=0,点4(-1,-2),则直线，关于点A(1,一2)对称的直 线的方程为.解析：法一：在A 2x-3y+l=0上任取两点，如N(4,3),则M,N关于点A的对称点M,N均在直线，上.易知M(-3,-5),N(-6,-7),由两点式可得的方程为2x-3y-9=0.法二：设尸(x,y)为，上任意一点，则P(x,y)关于点A(-l,-2)的对称点为尸(一2-4-J),:P在直线J上,.2(-2-x)-3(-4-j)+l=0,即 2x-3j-9=0.答案：2x-3j-9=0角度二：点关于线对称3.已知直线/:2x-3y+l=0,点 4(-1,-2).求:点A关于直线/的对称点A的坐标；(2)直线 3*27一6=0关于直线/的对称直线标 的方程.12 2=_x+1 3 1解：(1)设A(x,y),则x-1 y-2,2X-3X=L-+l=0,解得，,33x=13f(2)在直线机上取一点，如M(2,0),则M(2,0)关于直线/的对称点M必在直线m上.设”(a,b),则a+2 Z+0,2X3X+1=0,8-0 2解得焦，瑞)设直线机与直线/的交点为N,则由2x-3j+l=0,得 N(4,3).3x-2y-6=0.又Tm经过点N(4,3),由两点式得直线s的方程为9x-46y+102=0.角度三：线关于线对称4.直线2x-j+3=0关于直线x-j+2=0对称的直线方程是()A.x-2y+3=0B.x-2y-3=0C.x+2y+l=0D.x+2j-l=0解析：选A 设所求直线上任意一点P(x,y),则P关于Xj+2=0的对称点为P(xo,Jo）,J空-空+2=。由j z z.xxo=（y-川），得xa=y2,yo=x+2,由点P(xo,则)在直线2xy+3=0上，2(y-2)-(x+2)+3=0,即 x-2y+3=0.通法在握1.中心对称问题的2个类型及求解方法(1)点关于点对称：x=2a-x,若点M(xi,力)及N(x,y)关于P(a,方)对称，则由中点坐标公式得|进而求y=2byi，解.(2)直线关于点的对称，主要求解方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由 两点式求出直线方程；求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程.2.轴对称问题的2个类型及求解方法(1)点关于直线的对称：若两点P1(X1 J1)与P1(X2,72)关于直线z：Ax+By+C=0对称，由方程组修字）+c=o,可得到点Pl关于I对称的点尸2的坐标(X2,及)(其中B#o,X1WX2).(2)直线关于直线的对称：一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是 已知直线与对称轴平行.演练冲关1.已知直线y=2x是ABC中NC的平分线所在的直线，若点A,3的坐标分别是(一4,2),(3,1),则点C的坐标为()A.(-2,4)B.(-2,-4)C.(2,4)D.(2,-4)解析：选c设A(4,2)关于直线丁=2二的对称点为(*,J),则解得J 5C所在直线的方程为j-1=-i-(x-3),即3x+j-10=0.l y=-2,4J同理可得点B(3,l)关于直线j=2x的对称点为(一 1,3),32：.AC 所在直线的方程为y-2=_1_4(x+4),即 x-3y+10=0.联立 3x+j-10=0,x=2,1,解得彳 可得C(2,4).x-3j+10=0,y=4,2.已知入射光线经过点航(一3,4),被直线2：x-y+3=0反射，反射光线经过点N(2,6),则反射光线所在直线的方程为.解析：设点M(-3,4)关于直线Z:x-y+3=0的对称点为M(a,b),则反射光线所在 直线过点M,所以b-4 a(-3)-3+ab+4,3=0,解得。=1,b=0.又反射光线经过点M2,6),所以所求直线的方程为E=E，即 6 xy-6=0.答案：6 xy6=03.已知A3C中，顶点A(4,5),点3在直线/：2x-y+2=0上，点。在x轴上，求4 ABC周长的最小值.解：设点A关于直线Z:2xy+2=0的对称点为Ai(xi,yD,点A 关于x轴的对称点为4(X2,J2),连接A1A2交，于点3,交x轴于点C,则此时A3C的周长取最小值，且最小值为IA1A2I.TAi与A关于直线2x-y+2=0对称，xi-42Xxi+4%+51-2=0,22xi=0,解得 r 4(0,7).易求得A2(4,-5),lyi=7.A3C周长的最小值为|AiA2|=/(4-0)2+(-5-7)2=4Vl0.基节跟练酒题1型练R能两练一抓基础，多练小题做到眼疾手快1.（2018浙江名校协作体联考）是直线a x+3y+3=0和直线x+（a-2）y+l=0平行”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析：选C 因为直线ox+3y+3=0和直线x+（a-2）j+l=0平行的充要条件是a(a-2)=3Xl,X123X1,解得4=一1,故选C.2.（2018,取水图研）已知直线11过点（一2,0）且倾斜角为30。，直线L过点（2,0）且与直线Zi 垂直，则直线Zi与直线h的交点坐标为（）A.（3,小）B.（2,小）C.(1,小)解析：选C 直线21的斜率为肌=ta n 30=坐，因为直线b与直线6垂直，所以女2=*=一由，所以直线h的方程为y=W（x+2）,直线L的方程为y=-y3（x2）.两式联立,Kl JX=l,L解得|r-即直线4与直线b的交点坐标为（1,木）.3.（2018请暨期初）已知点A（7,一4）关于直线I的对称点为B（-5,6）,则该对称直线I 的方程为（）A.6x+5j-l=0 B.5x+6y+l=0C.5x-6 y-l=0 D.6x-5j-l=0解析：选D 由题可得，直线，是线段A3的垂直平分线.因为A（7,-4）,3（5,6）,所以乂5=1=一京，所以力=.又因为A（7,4）,3（5,6）的中点坐标为（1,1）,所以直线 I 的方程为 j1=t(x1),即 6x5j1=0.4.已知点P（4,a）到直线4x3yl=0的距离不大于3,则。的取值范围是.解析：由题意得，点尸到直线的距离为|4X4-3Xa-l|15-3a|一,|15-3a l-5-因为丁3,即|15-3a|15,解得OWa WlO,所以。的取值范围是0,10.答案：0,105.6-3,则c的值是.解得 a=-4,c#:2,即直线 6x+a y+c=0 可化为 3x2y+=0,又两平行直线之间的距离为今里，1+1%伍所以场二方=也，解得c=2或一6.答案：2或一6二保高考，全练题型做到高考达标1.（2018舟山调研）在直角坐标平面内，过定点P的直线，：x+y-l=0与过定点Q的直线机：*一今+3=0相交于点M,则|MP F+|mQ F的值为（）A.乎 B枷C.5 D.10解析：选D 由题意知P（0,l）,Q（-3,0）,过定点P的直线a x+j1=0与过定点Q的直线xa y+3=0垂直,M住于以PQ为直径的圆上,V|PQ|=V9+l=V10，|MPF+|Af Q|2=|PQ|2=10.2.（2018花溪模拟）曲线丁=2二一好在工=一1处的切线为则点P（3,2）到直线，的距离 为（）A.平 B.平J 2 u 10解析：选A 由题可得，切点坐标为（一 1,一 1）.=2画.答案：2回9.(2018绍兴一中检测)两平行直线儿b分别过点?(-1,3),Q(2,-1),它们分别绕P,Q旋转，但始终保持平行，则心L之间的距离的取值范围是.解析：-：h/l 2,JLPeZi,Qez2,:.h,，2 间的最大距离为Q|=2(一l)F+(1-3)2=5,又Zi与b不重合，Ji,b之间距离的取值范围是(0,5.答案：(0,510.已知ABC的顶点A(5,l),A8边上的中线CM所在直线方程为2x-y-5=0,AC 边上的高3”所在直线方程为*一2丁一5=0,求直线3c的方程.解：依题意知:k Ac=-2,4(5,1),(4c的方程为2x+y11=0,联立，2x+j-ll=0,2-5=0,得 C(4,3)设3(xo,则)，则A3的中点呼)代入 2x-y-5=0,得 2xoyol=O,联立2xo-Jo-1=0,xo-2j o-5=0,得 8(1,-3),：,kBC=l，直线3C的方程为j-3=1(x-4),即 6x5j-9=0.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1.已知线段A3的两个端点A(0,-3),3(3,0),且直线y=2&+2+2与线段A3总相 交,则实数2的取值范围为.解析：如图所示，因为尸2&+2+2恒过定点C(-1,2),连接AC,CB,所以直线AC的斜率乂。=-10,直线BC的斜率bc=/又 g直线y=2&+2+2与线段A3总相交，所以痴支小痴，所以2的取 X 21 H值范围为-5,y.答案：一5,y2.已知直线/：(2a+)x+(a+，)y+a一方=0 及点 P(3,4).(1)证明直线，过某定点，并求该定点的坐标.(2)当点尸到直线Z的距离最大时，求直线2的方程.解：(1)证明：直线/的方程可化为a(2x+y+l)+%x+y-l)=0,2x+j+l=0,x+j-1=0,x=2,尸3,由所以直线/恒过定点(-2,3).由知直线，恒过定点4(-2,3),当直线/垂直于直线E4时，点P到直线I的距离最大.又直线PA的斜率女必=而=予所以直线I的斜率k i=5.故直线/的方程为j-3=-5(x+2),即 5x+j+7=0.绻遂我楷圜1.圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(X-a)2+(y方)2=八十0)圆心：(a,b),半径：r一般方程x2+y2+0 x+y+l=O,(Z)2+E2-4F 0)圆心:(_r半径：!/。2+4_4歹2.点与圆的位置关系点M(xo,*)与圆(*一。)2+36)2=户的位置关系：(1)若 M(xo，#)在圆外，则(沏一。)2+(yo 2(2)若M(xo,/)在圆上，则(沏一”+(血一2=(3)若M(xo,yo)在圆内，则(沏一+6一方)2产.小题体验1.(2019金华五校联考)在平面直角坐标系xOy中，以点(0,1)为圆心且与直线x