相似理论与模型试验.pdf

相似理论与模拟实验授课对象：研究生 1 概述1.1 引言人们在对自然规律的不倦探索过程中，首先采用数 理分析的方法对自然现象进行计算和分析，这是人们 探索自然的一种有力工具。随后采用现场测试来解决 一些比较直观的现象，推动了生产的发展。但自然界 的现象毕竟是错综复杂的。有许多实际问题至今靠高 等数学尚不能全部解决或根本无法解决，于是迫使人 们不得不走直接实验的道路。但最先人们采用直接实验的方法发现它有着较 大的局限性，在于它常常只能得出个别量之间的规律 性关系，难以发现或抓住现象的本质（全部），从而 无法向实验条件范围以外的同类现象推广。但通过人们长期实践、总结，一种用于指导自 然规律研究的全新理论“相似理论”便应运而生了 O它是把数学解析法和试验法的优点结合起来，用来 研究和解决生产和工程中的问题。这是科学研究的主 要方法之一，也是解决生产和工程问题的一种有效方 法。从而扩展了人们探索自然奥秘的领域。当今，社会生产在不断发展，各个产业部 门所提出问题日益复杂和繁多。用数学解析法（理论解）来解决这些课题愈来愈感到困难。有些课题至今尚未得到解析解，或者只作一些 假设或简化后再求解，因而带来了一些误差。为了解决生产中和工程中提出的问题，人们开 展了模型试验研究。各种研究方法比较：理论分析法解析解较多。数值计算仿真分析由于土木工程的一些不 确定因素，输入参数难以精确，还有模型简化等问题,存在一定局限性。现场实测只有在工程施工过程中进行，投入较 大，周期长。模型实验可使工程中发生的现象在实验室中再 现出来，而且还可以对试验中主要因素进行独立控制 O与现场实测相比，可进行方案的前期优化，具有省 时、省力的优点。1.2相似理论相似理论是说明自然界和工程中各种相似现象 相似原理的学说。它的理论基础，是关于相似的三个 定理。以相似理论为指导，形成研究自然界和工程中各种 相似现象的新方法，即所谓的“相似方法”。“相似方法”是一种可以把个别现象的研 究成果，推广到所有相似的现象上去的科学方法。“模拟”一般情况是指在实验室条件下，用 缩小的（特殊情况下也有放大的）模型来进行现象的 研究。“模拟试验”用人工的方法再现自然界的某 一现象。模拟：（a）、原型；（b）、模型。这样，又引伸出“模型试验”的概念。模型试验是相似方法的重要内容。在研究中起 着很重要的作用，从相似理论的角度出发，“模型”是与物 理系统密切有关的装置，通过对它的观察与试验，可 以在需要的方面精确地预测系统的性能。这个被预测 的物理系统，通常被叫做“原型”。根据这个定义，为了利用一个模型，当 然有必要在模型与原型间满足某种关系。这 种关系称为模型设计条件,或系统的相似性 要求。由此可见，相似理论与模型试验的关系 是十分密切的，是整个问题的两个组成部分1.3模型试验的意义和现状模型试验的意义，可从五个方面加以说明：模型试验作为一种研究手段，可以严格控制试 验对象的主要参数而不受外界条件和自然条件的限制,做到结果准确。模型试验有利于在复杂的试验过程中突出主要 矛盾，便于把握、发现现象的内在联系。并且有时可 用来对原型所得结论进行校验。由于模型与原型相比，尺寸一般都是按比例缩 小的。故制造加工方便，节省资金、人力和时间。当其它各种分析方法不可能采用时,模型试验就成了现象相似性问题唯一的和更为 重要的研究手段。目前，相似理论和模型试验方法已用于物 理、化学、工程结构、热力学、气象、航天等 各个领域，并有着广泛的应用前景。1.4物理模拟和数学模拟模拟试验简单地说，是用人工的方 法再现自然界的某一现象。物理模拟是指基本现象相同情况下 的模拟，也称为同类模拟。这时模型与原型的所有物理量相同，物 理本质一致。区别只在于各物理量的大小比例 不同。（两个现象物理量及其性质相同，只有 大小不同）。数学模拟是指存在于不同类型现象之间的模 拟这时模型与原型的物理过程有本质的区另U,但它们的对应量都遵循着同样的方程式，具有数学上的相似性。如二阶运算子:/二.十另+白的微分方程寸9=0 ox dy oz T它可代表重力场、电势场、温度场等。这时，人们只要对不同的物理量建立起 一一对应关系，便可用一个现象去类比 另一不同现象的解。在工程中，常用电场来模拟温度场、材料的应 力场和有限自由度的振动系统。下面以单自由度振动系统的电模拟法为例来说明 这个问题。右边代表一个LRC串联电路，现在要由 它来模拟左边由k,m,u组成的单自由度振动系 统。作为它们一一对比的量是：电感L3质量m电阻R3阻尼u电容C 弹簧k外加电压E 一外力F,电荷q 7位移y,（q单位时间的电荷变化量。）它们之间方程式和初始相似性在于:m y+ut=0 时，y=y0，y=y。L q+Rq+图=E(t)t=0 时，q=Qq?q=q o所以，只要适当地选择各种物理量和初始条件，就能使y(t)和q(t)在对应的时间内完全成比例地变化因此，通过测量各种电量就能换算出位移、速度 等机械量。类似这种电路系统，当其适应性很强时，就是通常所说的模拟计算机。（仿真系统）。物理模拟和数学模拟各有其特点：物理模拟可把具体的现象再现出来，较之数 学模拟能更全面地表现被模拟的现象。数学模拟由于以方程为基础，可较方便地看 出各种参量对结果的影响。物理模拟试验：相似材料模型试验；光弹性模拟试验；其它模拟试验：离心模型试验；底摩擦模型试验（模 拟重力场）。测试技术：电测光测声测测试系统：传感器一量测仪表一记录分析器。2 量纲理论2.1量纲物理量的广义度量单位，相同的物 理量具有相同的量纲。如尺寸（长度）L力 F时间 E它是表示物理量的种类，不是单位。如长度单位有m，c m,mm,但量纲皆为口。2.2.基本量纲与导出量力学系统：F、L、为基本量纲。基本量纲具有：(a)、独立性(b)、完整基本量纲不是固定木变的，可根据具体研 究问题决定。一般选F、L、T较为方便。v v=L/T导出量纲：根据定义、定律由基本量纲导出的量纲。F=maF_网的 因M导出量纲：某一量：Q=La.Fb.THM=F m/L则 a=-lb=lc=2无量纲量：如应变 8 =L F T=l 泊松比u无量纲量：与单位无关，模型大小可不相 同。2.3 微商的量纲s与与的量纲皆为为。t与dt的量纲皆为Tds V=dtd 2 s a二帚丁a二L-T 二T22.4 量纲的性质a、相同的物理量具有相同的量纲，但相同的量纲具有不同的物理量。如应力和弹性模量，。、E,.b、同量纲的物理量的比值为无量纲的量，此量与单 位无关。（二。/E）C、基本量纲的组合不能成为无量纲的量，但基本量 纲与导出量纲的组合可成为无量的量。JLj-.ctL 如，FPei32.5量纲的齐次原则一个物理方程各项的量纲相同，称为量纲齐 次原贝对于完全方程，除以方程中的任一项，将变 为无量纲的量。如1 21s=vot+-gr L但对于非完全方程如P=o.013H（重液公式）则 不成立。2.6量纲分析基本量纲为：口国口例1、现在研究一个动力学问题，即m、t、v、F间相 互 关系，简写为：F=f(m,t,v)F=k.ma.tb.vcIf：F=k MaTb 亍：F=M.L.r2 两式量纲相同：a=l,=i。=-2 n A-1 c-mv、-)n k=所以 F=kmt-1v=k(牛顿准则。mv例2：均布荷载作用下简支梁的跨中挠度解 y=f(q，EL L)基本量纲：F L 静力学问题，与时间无关 y=Ly=k qa(EI)b.LcL=k FaL-a.(FbL-2b.L4 b).Lcn+c=lLJ：l=-a-2b+4 b+c F：O=a+ba=-b=3b+c=1a-bc-1-3b，y=k q-bEIbL1-3b令：d=-b，y=k做二次试验后解得：d=1,k=d T(14-3 J)(EI)5385姆 384 E/从上面二例可以看出，采用量纲分析法求等式的关键在于：选择的物理参数要正确。量纲分析法除了求导相似准则外，还可用于：（1）、导出无 量纲量；（2）、可简化方程，把多个物理量减少等，其用途较 多。3、相似理论3.1 相似概论相似两种物理量对应时刻的对应点成比例，可称 相似。3.1.1 几何相似-对应尺寸成比例。如两个三角形相似，对应边成比例，比例值称为几何相似常数。1_2L L2 L 3对应角相等（角度为无量纲的量）。CJ2=S占=2=相似常数L L1 L1 3相似常数对相似现象中所有对应点在对应时刻上同一 物理量均保持其比值不变。!幺=幺=?=id om（相似不变量）&，2相似不变量在对应点和对应时刻上保持相同的数值。所有相似相象的相似不变量是一个常数，不变的。它是一个 无量纲的量。一个现象中的几个量的比值，在所有与它相似的现 象中保持不变。在所有相似现象中，某一量（无量纲综合数群）在 相对应点和相对应时刻上保持相同的数值。_ 1 .1 _ 1-r-r J乙九4 1梁的截面模量W=-b6 1 1 cw-L-=CL-Cl=c1oCiC3.1.2 物理相似荷载相似模型与原型在对应点上同一时刻的对应荷载成比例。（温载方向相同，大小成比例）。集中荷载相似：刍=勺=%（集中荷载相似常数）。Pl P2L令几何相似常数荷载集度相似常数弯矩相似常数自重相似常数，压强:,它2密度：c,=WCL如果模型与原型在对应点的荷载相似（成比例），只要其中一种荷载相似常数已定，则其它种荷载常数 也就确定了。弹性模量相似常数 上E E v M面力:23.1.3 运动相似时间相似：Ct=K=0=?时间相似常数 n 2 3CL=-（距离相似）S则速度相似常数：C=鱼V g一 M研究动力学还有质量相似：cm=-7M对于均质物体可用密度来表示：金子CM=Cp动力学问题：F=ma.CF=CmCa=C P-C3f CL-CF 1芯1动力学相似指标nc c2=1C m(L3.1.4边界相似力学：边界约束条件等。平面应力模型平面应模型模型试验中约束条件很重要。3.1.5起始条件相似初始条件，如运动学中初始振动相位等3.2 相似第一定理它是说明相似现象的性质,模型与原型相似，那么应具有：a、在对应点对应时刻成比例。b、变化规律相同，可用相同的关系方程式来描述。其中大多数的物理现象，其关系方程又可用微分方程的 形式获得，如质点运动方程和力学方程分别为：v=些/=机手dt dtC、各相似常数值不能任意选择，它们要服从于某种自然规律 的约束。F面我们以速度公式为例具体说明:dL v=dt(1)代入有关相似常数得：”(2)J c 4,t=Cj(1)式实际上可用于描述彼此相似的两个现象。这时第一现象质点的运动方程为：d Lm=H at第二现象质点运动方程为：v=-(4)dt将式(2)代入式(4),亦即在基本微分方程中对参 数作相似变换，可得：邛(5)cdt作相似变换时，为了保持基本微分方程(3)、(5)的一致性,需使：的=鱼%故 Sl=i=c以后，我们把C称为相似指标,其意义在于：对 于相似现象，它的数值为1。同时也说明，各相似常数不是任意选择的，它们 的相互关系要受“C值为1”这一条件的约束。换常之，在J、ct%三者中，只有二者可任意 选择，余者由上式确定。这种约束关系还可以采取另外的形式，将相似常数与 等代入得：V L V L了才 或 9=不变量 L同理对于kma,得：=c=l或且=不变量。与A mVVt ft上两式的综合数群 下 和士，都是不变量，它们 被称之为相似准则。1-应该注意：相似准则的概念 是“不变量”，而非“常量”。所说不变量，是因为相似准则这一综合 数群只有在相似现象的对应点和对应时刻上才相等。11 If tf卬1匕。如果由微分方程说明的现象，取同一现象的不同 点，则因其物理变化过程的不稳定性，有：7，12所以，相似准则只能说成是不变量，不能说成是 常量。相似第一定理：两相似现象的相似指标为1,相似准则相同相似指标相似现象的比例常数。相似准则相似现象应遵守的规律。相似准则与相似常数是不同的，它是总合地而不是个别地反 映单个因素的影响，能更清楚地显示过程的内在联系。当用相似第一定理指导模型研究时，首先重要的是导出相似 准则，然后在模型试验中测量所有与相似准则有关的物理量。当微分方程较简单时.，找出相似准则并不困难。但当方程无从知晓时，或是很复杂时，应采用其它的方法。当现象的相似准则数超过一个时，问题便进入了相似第二定 理的范畴。3.3相似第三定理相似的充分必要条件。相似现象应遵守的条件：两相似现象一定能用一个方程组来描述。单值条件相似。几何条件（几何相似）物理条件：荷载介质的E、u、R（强度）。运动条件：t、v边界条件始初条件(3)由单值量组成的相似准则要相等。充分必要条件(而不是任意的相似准则要相等)。单值量是指单值条件下的物理量。而单值条件是将一个个别现象从同类现象中区 分开来。相似第一定理是从现象已经相似这一事 实出发来考虑问题的，它说明是相似现象的性 质。设有二现象相似，它们都符合质点运动的微分方 程V/，如图所示的两组相似曲线（实线）。图中“1”、“2”为两现象的对应点。现在，设想通过第二现象的点1和点2,找出同类的另一现象第三现象，图中虚线所ZjS O显然，第二、第三现象的曲线并不重合，故第三现象与第一现象并不相似，说明通过点1、点2的现象并不都是相似现象。为了使通过点1、点2现象取得相似，必须 从单值条件上加以限制。如在这种情况下，加 入初始条件：t=0,v=0,L=0o这样，既有初始条件的限制，又有单值量组成的相似准则些值一致，两个现象便必相似。L由此看来，同样是些值相等，相似第一定理未必能保证现象的相似，而第三定理从单值条件上对 它进行补充，保证了现象的相似。因此，第三定理是构成相似的充要条件。严格 地说，这也是一切模型试验应遵循的理论基础。3.4相似第二定理（九定理）相似第二定理可表述为：设一个物理现象如果含有n个物理量。（x X2、X3、.Xn）=O,其中有m个为基本物理量（其量纲是相互独立的），那么这n个物理量可表 示成是（n-m）个相似准则兀1、兀2、兀n-m之 间的函数关系：f（五1、兀2、H n-m）=0 准则方程。冗定理的作用：对于彼此相似的现象，在对应点和对应时刻上相似准则都保持同一值，所以它的冗关系式也应当是相 同的。一般用下标和 m”分别表示原型和模型，则冗关系式分别为：f/%、11 2 JlnJp=02（兀1、兀2、其中：H lm=H Ip冗2m二冗2p (n-m)m (n-m)p由（4）式可见，如果把某现象的实验结果整理 成（1）式所示的无量纲的冗关系式，则该关系式便 可推广到与它相似的所有其它现象上去。而在推广的过程中，由式（4）可知，并不需要 列出各几项间真正的关系方程（不论该方程发现与否）O基本物理量：具有基本量纲的物理量。而准则方程是无量纲量。我们不能由基本物理 量组成n个准则方程。如设想n二m的特殊情况，这时所有参量的量纲是 相互独立的，故其自身便无法构成任一个无量纲组合 的相似准则。（否则，如何将其量纲消去）。当由n个物理量、构成nm个 几项，每个 几 项中 必定要有一个物理量区别于其它几项的独立变量。定性准则由单值条件组成的相似准则。非定性准则由非单值条件组成的相似准则 有时，可由定性准则导出非定性准则。由此可见,相似第二定理是十分重要的，它可 用于多相似准则之间的模拟。但是，在它的指导下，模型实验结果能否正确推广，关键又在于是否正确地 选择了与现象有关的物理量。对于一些复杂的物理现象，由于缺乏微分方程 的指导，问题较难。4、相似准则的导出方法作为相似第二定理的补充，必须找到相似准则的 导出方法。相似准则的导出方法常用有：定律分析法、方程 分析法、量纲分析法三种。从理论上说，三种方法可得到同样的结果，只是 用不同的方法来对物理现象（或过程）作数学上的描 述。4.1 用定律分析法导出相似准则这种方法要求人们对所研究的现象运用已掌握 的全部物理定律，并能辨别其主次。一旦这个要求得 到满足，问题的解决并不困难，而且还可获得数量足 够的、反映现象实质的兀项。但这种方法的缺点是：只是就事论事，看不出现象的变化过程和 内在联系，故作为一种方法，缺乏典型意义。由于必须要找出全部物理定律，所以对于未 能全部掌握其机理的、较为复杂的物理现象，运用这 种方法是不可能的。关于这方面内容，大家可参考有关资料。4.2用方程分析法导出相似准则这里所说的方程，主要是指微分方程，此外，也有积方程，积分一微分方程。这种方法的优点是：结构严密，能反映对现象来说最为本质的物 理定律，故结论可靠。分析过程程序明确，不易出错。各种因素的影响地位一览无遗，有利推断、比较和检验。缺点：在方程尚处于建立阶段时，需要人们对现 象的机理有深入的认识。求解方程有时难以得到完整 解。用方程分析法求相似准则时，主要有：相似转换 法和积分类比法。作为实例，现在考察图右的“弹 簧一质量一阻尼”系统。ry/研究y的函数关系系统有7个变量:变量：位移质量 阻尼系数 弹簧刚度初始速度V。初始距离y 时间t显然，表中除位移y外,量纲L FL-1?2 FLT FL-1LT-1LT均为独立变量因此，如考虑基本量纲数为3,则独立相似准则为：（7-1）-3=3 个。4.2.1 相似转换法其步骤为：写出现象的基本微分方程。20+包+八0质量的位移方程为：m山 d t(1)写出全部单值条件，第一现象用”表示，第二现象用“”表示，因此可得各参量的相似常数为0 E考虑物理条件相似时：m uCm-r，Cu-m uk”考虑边界条件相似时:V，y考虑起始条件相似时（n_ V 0 Cv0-r，V。此时t=0)ItC二也 y。jo将微分方程按不同现象写出：装+2(3)h d y dy 1 八 f aH l +u r+k y=0(4)dt dt进行相似转换。将“”参量用”参量代替，式(4)按(2)的关系代入得：CmCy-d y CuCy，dy,C/、+u-+ckck y=0(5)r 力 2 dt y作相似变换时，为了保证基本微分方程的一致性,各项系数必须彼此相等，即：C mC y C UC二-=cj*J故得两相似指标方程如下：yCmCy C/Ct ctc c,t=1 cm(6)另一个相似指标方程要由分析起始条件建立，即当时，dyxr=%，yy。，at若这时考虑二现象，可得：dy，I!dy，=v。dty 二y。也进行相似转换，得:c=c n y yOnJ 将式(2)所表示的相似常数值代入(6)(7)(8)式，可得相似准则式为：t I ft ftu t u t ut.目=-=不变革二兀1m m m 1I I Q tf t!Q Qk t k t kt 三-=不变革二兀9m m m 乙江=且=&=不变量二冗Jo Vo Vo此处，即为独立的相似准则。m m y n J V非独立相似准则为：y/y0,综合以上，可构成兀关系式为，兀方程式:y=于 y&2%.打 1根，根，%4.22 积分类比法积分类比法是一种比较简单的办法，一般都用它 来代替相似转换法。其步骤如下：d2 y dy 7 八m-F u-F ky-0dt2 dt 写出现象的基本方程（或方程组）及其全部单 位条件。同前。0用方呈中的任一项除其它各项（如前例中）.第二项_忧dy d2y第一项 dt dt2第三项第一项-ky I mdt2d2 y 将各项中涉及的导数用相应量比值，即所谓的积分类比来代替,仅就是叫黑黑舞潸掉留下量本身的比值，就是以则呼/哈ky/mp-=对于“d x d y=不变量,mkt?4 L=不变量m,义工统一代替物v/Lodz上面两式的相似准则由于只利用了物理和边界 两种单值条件的参量，故利用起始条件，可另立二式 如下,即廿0时:对前式进行积分类比得：=匕色=不变量 y 11 y由后式则可得因变量“项为：工 y。至此，各JI项全部求得：其JI关系式为:y _ rkF voty。m m yQ上式中给出的JI关系式并不合理，因为在 自变”项辿 中带有待测因变参量y,不利于模型 y试验的进行。为此可将初始条件代入“项，使之改 换成空，而“关系式也因此变为：上=力（匕反，也）。0 m m y4.3 用量纲分析法导出相似准则量纲分析法是在研究现象相似性问题的过程中,对各种物理量的量纲进行考察时产生的。它的理论基 础是量纲的齐次原理。量纲分析法的优点：对于一切机理尚未彻底弄清,规律也未充分掌握的复杂现象来说，尤其明显。它 能帮助人员迅速通过相似性实验核定所选参量的正确 性，并在此基础上不断加深人们对现象机理和规律的 认识。在定律分析法、方程分析法和量纲分析法三种中,后二种方法用得较多，其中又以量纲分析法为多。它是解决近代工程技术问题的重要手段之一。I 当所研究的物理现象较为复杂时，要通过量纲方 程来说明问题就很困难，往往会遗漏、错选与现象有 关的主要参量。这就要求人们通过实践不断摸索，抓 住主要参量，得出近似的结果，即“近似模拟”。通过相似理论证明，在复杂现象中，因量纲分析 法的弱点而产生的近似模拟，常常是比较合理的。相似准则的导出：I 当用量纲分析法决定相似准则时，我们需知道现 象所包含的物理量就可以了。但当物理量很多时，JI 项的数目也会多起来，决定它们并不容易。下面从简 单例子说起。例一：自由落体参量为S,g,t,如果参量选择正确，即相似准则可取如下形式：JI=sagb.tc将量纲代入：=Lt=L a LT-2 b T c两边量纲相等：L：a+b-0T:-2b+c=0上式为二个方程，三个未知数，故无法解出a、b、c具体值。为此需设定其中一个值。若设好-1,可得：b=l,c=2,便可求得：,2如设 a=L=b=-L c=-2,则可得:“二三 也是相似准则。gt例二、质点的力学方程参数为f,m,v,t,则相似准则可取如下形式:Ji=fambvctdJi=FLT=F a 田厂叮2 b l/i c T dF:a+b=OL:-b+c=0T:2b-c+d=0得 ji=JLmv上面二例，都符合相似第二定律关于相似准则数 的论述，即3-2=1,4-3=1 o上面为单个相似准则，如为多个相似准则，可采 用量纲矩阵的方法,它为人们求取具体相似准则提供 了一种更为直观的形式。方法如下：对于我们前面用方程分析法导出相似准则的例子(此为“弹簧一质量一阻尼”系统)：该系统有7个变量分别为y、m、u、k、v0 y0、t。如果我们不知道它们的关系式如何，可令其为：f(y,m,u,v0,y0,t)二0其准则关系式为:JI B 加吟5”：6.7将量纲矩阵的上方加上各参量的指数就行了。a1 a2.即为指数，则量纲矩阵如下所示。它们的量纲矩阵是：a2ya4 a5 a6 a7 上 A LT0 1 11-1-10 2 110 0 0-11100-101（上式中：m：FL-VT2,u：FLLk：FL-1)按此矩阵，可得三个线性齐次代数方程如下:F：2+3+4=0T.nL j/_“2 03 4+5+06=22+如 一“5+”7=。T：三个方程无法解出7个未知数，故应使未知数中 的三个转化为其余4个未知数的函数关系。设4、a5 a7为三个方程中的任意假定的已知量，则a2 23分别为：Q 5 “6=a a+2 4 5 7(1)3 24-5+7因本例中相似准则数为：7-3=4个，（独立 的为3个）。故4、%、4、%应前后设定四套数值。最 简单的为办法是设其中一个值为1,而其余值为0,因 任：当a5=6二27二0时，可得：a0 a2=l a3=-2；当 二6二87二 日寸，口J 得1:4=-1 32=1 H g-1;当a6=1,a4=a5=a7=O0f,可知：aT a2=0 a3=0；当 露二5 二 6 二 0 日寸，可得：a0 1&2=1 o此解可简明地列矩阵形式，取名为冗矩阵:yod 2 3 4m u k1-2 1兀 2-1 1-1 0号一1 0 0 04 01 1 05%01 0 0a 6 7Jo t 0 00 01 00 1从上面兀矩阵可以看出，第一、二、三列所代表 的四行恰好是式（1）各方程中等号右侧4、5、6、7 的系数。而四、五、六、七列则构成单位矩阵。掌握 了这个特点，可以很快地将兀矩阵写出。在兀W-车中，每音也无出赢丽号菊i-数。据此，可建立起数目与行数相同的各独立兀项来C分别为：兀 1=mu-2k=JImk-r uVoyJI2 二 yTmuTvo 二mv0 yu-ut兀 4=m-iut=m因为位移兀项作为因变兀项，式(2)的不合理处在于参量y包含在独立兀项的兀2中。为使模型试验得 以进行，需以兀2除“3改造成兀2,；，Rd 加V n2=-兀 3 y o这样便建立起冗关系式为:2=力心丝1 g（3）y 1 u2，you，m在前面关于方程分析法一节，我们得到这一系统 的冗关系式为：比较式（3）和式（4）可知，前者各独立几项分 别以独立变量k、v。、t相区别，后者各独立几项分别以 独立变量u、t、v0相区别。但从性质上说，两个冗关系 式都是一致的。因为式（3）各几项的代数转变，可得 式（4）结果。补充：7T关系式的特性:任何两个（或多个）几项的代数转变，如加、减、乖、除、提高或降低幕次，仍不改变原关系式的 函数性质。但条件是：塞次不得升、降至零。兀项总数不得增加或减少（因几项总数是由物 理量总数和基本量纲之差决定，是个定值）。具体为：若相似准则分别为n1、冗2.nr，则a _ara、i.犯2j.乐ba2 _ Qr、兀 2 士对C、兀a）土兀d、兀 j ae a n.这是因为经过转换后的几项仍是无量纲综合数据。这也说明相似准则形式的可转换性。为了利于模型设计，在求相似准则时，可考虑 以下几点：八 第一个应为因变量（第一个为所求量）。然后对 所求量影响大和容易控制的越在前。冗矩阵越简单越好。准则的个数二物理量-基本物理量。每个准则中至少有一个物理量其它准则中没有，才是独立的，否则不独立。准则最好有一定的物理意义。准则尽量应容易满足，即准则包括的物理量越少越好，最多为m+1。需要被测量的物理量最好在非定性准则中出现。并可通过代数转换，去掉相似准则中无法测 量或难测量的量。我们求准则的目的在于指导模型，那么，有 了准则，可根据相似指标为1来设计模型。再根据相似准则将模型结果还原到原型上去5 模型设计5.1 模型设计模型设计的理论基础是相似理论，我们这里所说 的相似是指物理模拟(同类模拟)。在模型试验中，首要问题是如何设计模型,以及 如何将模型试验的结果推广到原型实体对象中。一般情况下，模型设计程序为：(1)根据试验任务、目的，选择模型类型。物理模拟、数学模拟。如按模型试验研究范围可分为：弹性模型试验、强度模型试验。如按试验模拟的程度分类：断面模型试验(平 面)，半整体模型，整体模型试验。如按试验加载方法分类：静力结构模型试验，动力结构模型试验，等等。(1)对研究对象进行理论分析，用方程分析 法或量纲分析法求相似准则。(2)确定几何相似常数定出模型的几何尺寸。Cl取选是一个关键一步，主要应考虑：a、模型的尺寸大小要适中，可行，对于与结构物相互作用问题，应考虑影响范围 b、测量手段，应考虑传感器的大小 和精确度要求。当传感器精度不够时应加大模 型尺寸。c、试验待求量应方便、可以实施。结构类型常用模型的缩尺比例 弹性模型 强度模型壳体板构桥梁碎坝1 1200 5012512T1 130 101 1-10 41 1-20 41400175所以在结构模型试验中，其几何尺寸的确定需要 综合考虑模型类型、材料、制作条件、加载能力、测 点布置以及设备条件等等，才能确定出一个最优的几 何尺寸。小尺寸模型所需载荷小，但制作困难，加工精度 高，对量测仪器要求也高。尺寸大的模型所需荷载大,但制作方便，对量测仪器一般无特殊要求。通常，线性模型尺寸较小。而非线性、强度破坏 模型，特别是钢筋碎结构模型尺寸较大。具体如上表(1)根据相似准则，计算各参数在模型试验中的 数值模型设计。(2)绘制模型制造、测点布置和载荷分置图。(3)安排试验顺序。(4)进行试验和量测。(5)数据整理。并把模型数据转换到原型上去。或 确定试验结果可以应用的条件。例1 静态应力模型这是一个弹性模型，可求解静态应力问题。a、求导准则平衡方程:几何方程:de St Qt-+X=0dx dy dzdr da dr-+7=0dx dy dzJ Wz=odx dy dyd u Y=-O X du dv物理方程：14=方上(+4)单值条件：几何相似：5=土=*=上 X y LECE-f物理相似：乙X Y体力相似：%=丁7X Y Z边界条件:晨下一-2非定性量（被测量）：应力：,应变：7二2二 u位移：%=不7V 5米用方程分析法求相似准则:对于平衡方程:三+&+a x=ocLdx cLdy cLdz%C/l野+-M+x=。相似指标：j=1,相似准则冗广2=%c/l yL 7L由几何方程：C-Cl=,ji 9=sL 5由物理方程：=1 3=历 由面力边界：c JI 5=f 1=1 3 b%由于上面5个准则是由5个不同方程求得的，故是相 互独立的。b、对于j=1为广义相似%对于C=8-1时，为严格相似，最好。对于一些相似材料模型试验，当C，二28时，在 小变形情况下所引起的应力误差5%,这在工程上是允 许的。但在大变形情况下，不精确。）时,有:对于严格相似（C-=1C/l1=1 分CX=1试验室内可采用相似材料模型试验，取1 m,则%二20/1=20,可采用石膏作相似材料，通过试验可知：即7=1。7（石膏的混合料比岩石大10倍，很难,找不到这种材料。）为此：取 而是 J=5,cG=c.ce=5*2=1 0贝U 咨=个=4 7=27,故可在石膏中加铁屑即可。,2。2/这就是说，不是q非取1不可，在小变形范围内，可取3 8对于相似材料试验:C广20,C=2,Cf=20,C=1 _L _L L U则有：C/C/Ce=2C6=C 广2*20=40C_=4 0X但对于大多数结构试验，采用严格相似，则,这时不考虑自重应力场5.3试验方法5.3.1 模型材料（一）模型材料的选择对模型材料，一般要求为：a、对于研究应力状态，模型材料必须保证具有良 好的线弹性特性。对于强度模型，则模型材料应接近 或等于原型结构的材料强度，才有可能进行破坏试验Ob、满足相似指标要求，如E、u、P等均应符合相 似条件。1、。满足必要的测量精度。为了提高测试精度，宜采用E较低和容重较大的材料,但也应防止材料的非线性特性。另外，用于结构模型试验的材料，从试验技术的角度 出发，需考虑如下具体问题：a、弹性模量E大，获得足够的变形，增加荷载，模型支座的 刚度要强，不如降低E。E过小，结构刚度过低，测量仪器的刚性又可能 妨碍模型结构的变形，影响试验结果。b、泊松比无量纲量，应相同才能满足相似指标。如不相同,产生试验误差。C、徐变即变形是时间、温度和应力的函数。一切合 成材料几乎都有徐变。为提高试验精度，应选用 徐变小的材料。d、导热性目前，结构模型试验中测量多用电阻应变片 测量，所以模型材料导热系数有重要的影响，应 选项导热性好的材料。e、可加工性。应综合考虑。（二）常用结构模型试验材料 常用材料如下：a、金属金属的力学特性大多符合弹性理论的基本假定，如果原型结构为金属结构且对测量值的准确度有严格 要求时，则它是最适宜的模型材料，最常见的是钢和 辛吕。最近，铝合金材料用得较多，因为它有较低的E和良 好的导热性。b、塑料有双氧树脂、聚乙烯和有机玻璃等。和钢材、碎、石膏相比较，其优点是强度高而弹 模低（约是金的0.10.02倍），便于加工。缺点是徐变大、E随温度、时间而变化。塑料被大量地用来制作板、壳、框架、桥梁以及 形状复杂的结构模型，其中有机玻璃和环氧树脂用得 最多。（光弹模型材料）。石膏用作结构模型材料已有40多年的历史,它 的性质和碎较接近，常用来模拟性或钢筋碎。其优点是成型方便、性能稳定、易于加工等。且可以石膏作基本胶结材料，通过掺加不同外加料 的方法改善其力学和变形特性。如加入岩粉、砂、水泥、浮石、铁砂等。d、水泥砂浆e 微碎用作碎或钢筋碎结构的相似模型。（石子直径W5mm）。其力学性能与碎相接近。模型用钢筋一般是采用细钢丝。f、地基基础结构模型相似材料相似材料一般常以砂为基本材料，以石膏、石灰、粘土作为粘结料，来组成模型土体相似材料。通常与二2050时，采用石膏和砂为主的混合料,或加入适当的掺加料。5.3.2加荷方法（）中 7 力口通常采用挂重法、杠杆加载和千斤顶加载等。挂重法：数值稳定、载荷值不自动下降，其缺点是能 产生的载荷值较小，一般200KN,力口、卸载不方便。千斤顶加载方便、数值大小可调，缺点是设备较贵。（二）面力加载单位面力强度为常数，如均布堆载、为线性变化，如 水、土压力。面力加载方法有：重堆堆载、挂载，液压加载、气压 加载、千斤顶加载等。液压多用水和水银，用液压加载可利用液压作用力沿 高度呈三角形分布的特点来模拟水压力。（三）体力加载在结构模型试验中，体力是一项重要的荷载，它是指结构、基础结构及其地基岩土的自重。通常施加体力的方法有：、用分散集中载荷代替自重、用面力代替体力的方法、选高容重、低强度模型材料。a、用分散集中力代替体力方法将模型划分成许多部分，找出每一部分重心，然后施 加等于该部分模型自重的集中载荷。b、用面力代替体力的方法。对于常体力弹性模型，可采用以面力代替体力。C、选择高容重、低强度模型材料的方法由相似原理，=1，当。/=1时，即模型与原型材料容重相同，不需另加模型自重荷载。但C(7=CL,co=cE C，即弹模小，强度低。d、预应力加载对于预应力钢筋碎或其它预应力结构，预应力产 生的载荷在模型在施加的方法一般有两种。一是采用 锚头和张拉设备；另一种方法是施加外载，但应在弹 性范围内。e、动力加载(1)激振法小尺寸模型的激振可采用声波(扬声器)或压电 晶体激振模型，强迫模型振动的激振。大尺寸模型可采用冲撞形式施加。(2)电磁振动法电磁振动台是结构模型试验中常用的加载方法(3)电液伺服法这是目前最先进的动力加载方法。精度高。6 离心模拟试验6.1 基本原理岩土工程问题中，自重产生的应力场常对工程结 构及周围介质的变形、强度和稳定性起主导作用。而 在考虑自重的相似材料模拟试验中，必须使模型与原 型在材料强度、容重、几何尺寸、变性性质、应力状 态等方面都相似，且各相似比之间要满足一定的约束 条件，但要同时满足这些相似条件很困难。同时，岩土体的物理力学性质又很复杂，因而，通常只能放松约束条件，这样的试验结果很难用来评 价工程原型的实际力学行为和工程特性。如果采用原型材料将工程原型按一定比例Cl缩制 成模型，则模型与原型的物理力学性质完全相同，为 了使模型应力状态能反映原型的应力状态，当体力只有重力时，须满足以下条件：=*=1 4 Ce因原型与模型的材料相同，故有Ce=1,则有：十升即：rm=cl7p L/m所以，为使模型与原型的力学状态完全相似，模 型的容重需为原型容重的Cl倍。因离心加速度场与重力加速度场有完全相同的力 学效果，因此，若将模型置于G倍重力加速度的离心加 速度场中，模型中应力场与原型中的应力场将完全相 似。根据上式可知，离心模型的。大，所需的离心加 速度就大，容重相似比就小。根据相似原理，在离心 模型试验中，模型中任意点的应力、应变与实体中对 应点的应力、应变均相等，而实体的位移即为模型对 应点位移的。倍离心模型试验示意图1配重；2模型盒；3模型7测试技术7.1测试系统的组成一个测试系统可以由一个或若干个功能单元所组成。一个 典型的测试系统主要由以下几部分组成：荷载系统测量系统显示记录系统一次仪表二次仪表 组成：荷载系统、传感器、信号变换与 测量电路、显示记录系统四大部分。又分为：荷载系统、测量系统、信号处 理系统 在测量系统中，传感器是整个测试系统 中关键环节，有时称之为一次仪表。在土木工程中，经常用到非电量电测法的概 念。非电量电测法将被测的非电量（如力、位移等）通过传感器变成电信号，然后采用 电测的方法进行测量。测试系统的主要性能指标：(1)精度和误差精度测试系统给出的批示值与被测量的真值接近程度。(2)稳定性k时间上的稳定性；L外部环境和工作条件变化引起的影响。B(3)量程p(4)分辩率L被测量的最小变