高等数学（下）第十二章 概率论与数理统计课件.pdf

第十二章概率与数理统计除学习目标 理解随机现象，掌握两种常用概型的概率计算；理解随机变量及其均值和方差的概念，会分析简单 随机变量的概率分布及其均值、方差的计算；理解正态分布，掌握其概率计算；理解总体、样本、统计量的概念，掌握参数估计和 假设检验的基本方法。目录节随机现象和随机事件五节正态分布二节概率的定义六节 随机变量的数字特=1三节概率的基本公式总体、样本、统计四节随机变量及其概率分刁队节参数估计第一节随机现象和随机事件随机现象随机试验随机事件基本事件事件间的关系和运算、随机现象现实世界中两类现象：确定性现象：事先可断言结果，即确定性 随机现象：不确定性与统计规律性概率论是研究什么的?A掷一枚硬币，“正面”向上或“反面响上;掷一枚骰子，可能出现点数：1、2、3、4、5、6；A射击一次，所中环数可能是010中任一个;一只灯泡的使用寿命可能为任意的正实数。拿rrE二、随机试验随机事件随机试验:对随机现象进行观察.简称试验。随机试验的特点：1.可以点相同条件下重复2.每次实验的可能结果不止一个，且所有 可能结果已知；3.每次试验前不能断定哪一种结果出现。随机事件（事件）：随机试验的每一种可能结 果。常用字母A,B,C,等表示。随机实验举例：将一硬币连抛三次，观察“正面”向上的次数;从一批产品中任取一件，检验是否正品；记录某网站一分钟内受到的点击次数；任选一人，记录他的身高和体重。必然事件(。)：每次实验必然发生的事件不可能事件(0):每次试验都不可能发生的 事件。射击训练中，某战士射击一次事件“命中的环数不超过10”是必然事件事件“命中环数小于2且大于5”是不可能事 件。解放军战士进行射击训练，每射一发子弹 就是一次随机实验“射中的环数不小于8”就是一个随机事件 请你继续说出该实验的三个随机事件三、基本事件随机试验的每一单个结果例：“掷骰子”的试验中若4=出现的点数为“,(，=1,2,3,4,5,6)则就是该实验的所有基本事件/JL/J D U自/岂从两件正品,出、一件次品b共四件产 中任取两件，试写出该实验所着晶基本事件；事件”取出的两件中恰有一件次品”由哪 些基本事件组成？注：由若干基本事件组成的事件称为复合事件嘛四、事件间的关系和运算借助集合间的关系及其图形表示和集合的运算1.包含关系“事件A发生必有事件B发生”，记为Au BA=B=AuB 且 BuA.2事件的并（和）：“事件A与事件B至少有一个发生”，记作AUBn个事件A1,A2,An至少有一个发生，记作 U 4 i=l褥在射击训练中A=命中的环数是8环或9环;5=命中的环数是9环或10环卜C=命中的环数不小于8,则有CAJB3.事件的交（积）“事件A与事件B同时发生，记作Ap|B或AB n个事件A1，人2,An的交事件，记作AiA2An在射击训练中，A=至多命中3环卜3=命中奇数环,则A与5同时发生即命中的环数不超过3且是奇 数,所以Ap|3=命中的环数是1或34、互不相容（互斥）事件事件与事件不可能同时发生，即AB=0褥5.互逆事件事件B为事件A的逆事件：AUB=Q,JLAB=易知：A=B,即事件A与5为互逆事件事6.事件的运算律1、交换律：aUb=bUa,ab=ba2、结合律：(AUB)UC=AU(BUC)(AB)C=A(BC)3、分配律：(AUB)C=(AC)U(BC),(AB)U C=(A U C)(B U C)4、对偶(De Mo r ga n)律：AJb=ACB.AB=AJB推广：lk=n rR=uT黄序 甲、乙两人各向目标射击一次，设：A二甲击中目标,5=乙击中目标 试用A、B的运算关系表示下列事件：A=目标被击中:AUB4=两人恰有一人击中目标:bjabA=目标未被击中:AB4=两人都击中目标:AB第二节概率的定义概率的统计定义 概率的古典定义概率：描述事件发生的可能性大小的量事件的概率应具有何种性质?*抛一枚硬币，币值面向上的概率为多少?*掷一颗骰子，出现6点的概率为多少？出现单数点的概率为多少？*向目标射击，命中目标的概率有多大？褥一、概率的统计定义1、事件的频率定义：事件A在几次重复试验中出现乙次，则 比值上称为事件A的频率，记为力(A),即 nfnw=n群常等激考历史上有人做过试验，试图证明抛掷匀质硬币 时，出现正反面的机会均等。试验者抛币次数.正面向上 次数“正面向上”的频率德摩根204810610.5181浦丰404020480.5069皮尔逊1200060190.5016皮尔逊24000120120.5005褥频率的性质：1)对于任一事件A,有O10P(A)12)叭 Q)=1,尸(0)=03)若 供5=史，贝IJ研AUB)=尸(A)+尸(8)2.概率的统计定义实践证明：随着试验次数的增大，必3)逐渐 趋向一个稳定值。此稳定值称为事件A的概率，记作P(A)。概率的性质1)对于任一事件A,有011P(A)12)/Q)=1,尸(0)=03)若=史，则伊(A U 砂=尸(A)+P(B)推论：对于任一事件A,有仍H)=l-尸(A)推广：几个事件A，/，A”是互不相容的事件组，有夕(4U&U U4)=p(A)+p(4)+p(4)褥二、概率的古典定义A一次随机试验的全部基本事件个数有限;邈现 A每个基本事件发生的可能性相等。概率 P(A)-：随机试验包含的基本事件总数 m:事件A包含的基本事件个数C 5个电子器件中混有两个不合格品，现从中任取 两件使用，求下列事件的概率：(1)取出的两件都是合格品；(2)取出的两件都是不合格品；(3)取出的两件中恰有一件是合格品。解：该实验基本事件总数为=。；=10设 A=取出的两件都是合格品jj则事件4包含的基本事件个数为m=C；=3m 3所以有 P(A)=-=-n 10奉(2)设B=取出的两件都是不合格品则事件5包含的基本事件个数为m=Cf=1所以有尸f(3)设0=取出的两件中恰有一件合格品,类似可得的)=合等=1该例中的三个事件的概率之和是1,为什么?褥遭学J从52张扑克牌中一次抽取5张，到最大同花 顺的5张即获大奖，求某人一次抽取即获大奖的概率。长二焉 小概率事件几乎不可能事件第三节概率的基本公式概率的加法公式条件概率与乘法公式全概率公式事件的独立性 n次独立试验、概率的加法公式P(A U 3)=P(A)+P(B)-P(AB)几何解释特例 AB=0时，有P(AUB)=P(A)+P(B)寸推广I 尸(A U 5 u C)=P(A)+/(5)+尸(C)一 P(AB)P(AC)P(BC)+尸(A5C)事件4、B、C 两两互不相容 I 尸(4 u 6 u C)=尸(A)+尸(6)+尸(C)I4,人2,，L是互不相容的事件组:n n尸(U a)二Z 尸(4)i=l i=l在1至100这100个自然数中任取一个，求它能被2或5整除的概率。解：设 A=取出的数能被2整除,贝I设 5=取出的数能被5整除,则并且，A3=取出的数既能被2又能被5整除AU B=取出的数能被2或5整除1113P(AU B)=P(A)+P-P(AB)-二、条件概率与乘法公式条件概率“事件B已经发生”的条件下，事件A的概率：P(AIB)般地P(A B)w P(A)掷骰子游戏中，设A=出现4点,5=出现偶数点 由概率的古典定义知尸=!，尸=|分析可知：P(AIB)=|条件概率计算P(AB)=P(AB)P(B)P(Bl A)=P(AB)尸垂QI两个事祚，I|A(A5)二尸(A)尸(5 I A)=P(B)P(A I 8计,三个事444)=尸(A)尸(&i A)尸(4 i&A)|褥次，每次取一只，取后不放回，问两只都取到正品的概率?解：设4=第次取到正品(z=l,2)则A4=两次都取到正品P(4)=尸(4 14)=由乘法公式得：P(A1A2)=P(A1)P(A2IA1)=.|=1解连取三次，求下列事件的概率:(1)三次都取得合格品；(2)第三次才取得合格品。解：设4=第，次取到合格品(1)444表示3次都取得合格品由公式得：90 89 qqp(444)=尸尸(41 A)p 4A)=-xx-0.7 265(2)表示第三次才取到合格品由公式得：-10 9 90p(A44)=尸(4)尸(41 Am IA4)=x-x-0.0083褥与、全概率公式,嗓市场上的某种商品，甲厂的产品占40%,乙厂的产品占35%,丙厂的产品占25%。已知甲、乙、丙三厂的产品合格率分别为95%、90%、85%o求买到的商品是合格品的概率。解：用a、/、吗分别表示买到的产品分别是甲、乙、丙三 厂的产品。A表示买到的产品是合格品。由于HgHzR是互不相容事件组，并且qU“2U 4=。，于是A=AQ 二 A U 凡 U%)=U AH2 U AH3并且 AHAHAH.也是 互不相容事件组，如右图:由概率的加法公式与乘法公式，可得：P(A)=P(AH U AH2 U A4)=尸(A/)+P(AH2)+尸(A4)=P(HJP(A I%)+P(H2)P(A I“2)+P(H3)P(A I H3)=0.4 x 0.95+0.3 5 x 0.9+0.25 x 0.85=0.907 5一般地若事件组乜、凡、h3Hn两两互斥且=QI 1则对任一事件A,有Ip(A)=Jp(/)P(AIH;)II 全概率公式有三个形状相同的盒子，第一个盒子中有2个白球和1 个红球；第二个盒子中有3个白球和1个红球；第三个盒子中 有2个白球和2个红球，今任取一盒子，从中任取1球，试求 取得白球的概率。解：设4=取得白球,g=此球取白第个盒子，=1、2、3则 血 满足全概率公式的要求，所以P(A)二尸(AHJ+P(AH2)+P(AH3)=尸(兄)P(AI 凡)+P(H2)P(A IH2)+P(H3)P(A I H3)12 13 12xF xF x 3 3 3 4 3 42336四、事件的独立性有时P(A 忸)=P(A)/袋中有5个白球和3个红球，每次取一个，有返回地取两 次，设4=第一次取到白球,5=第二次取到红球。求P(A)、尸、P(B I A)、P A)o解：依题意有P(A)=|P(B)=-8 83-3P(BIA)=-p(ba)=-o o显然 P(B I A)=P(B I N)=P(B)事件5对于事件A具有“独立性”定义：如果事件A的发生不影响事件5发生的概 率,即P(814)=P则称事件B对于事件A是独立的,否则称为不独立。事件独立性的重要性质:一性质1若事件吕对A独立，则事件A对也独立。A与5相互独立褥!性质2 事件4与B相互独立o尸(A8)=P(A)P(3)推广个事件&,4相互独立:其中任何一个事件发生的概率均不受其他n-l个事件的影响|尸(A44)=尸(A)尸(4)尸回性质3如果事件A与5相互独立，则了与8,A与万，N与否 也相互独立。来号甲乙两人独立向一目标射击，他们击中目标的概率分别为0.8,和0.7,求目标被击中的概率。解：设A=甲击中目标,8=乙击中目标,贝必5=甲乙同时击中目标,aub=目标被击中根据公式，得P(A U 5)=尸(A)+P(B)-P(AB)=0.8+0.7-0.8x0.7=0.94分别为0.3、0.2、0.1,且相互独立,求线路因元件发生故障而中断的概率。解：设A=元件发生故障 5=元件6发生故障 元件c发生故障 线路中断贝1J：D=AJ(BC)abcoo根据公式得P(D)=P(A)+P(BC)-P(ABC)=P(A)+P(B)P(C)-P(A)P(B)P(C)=0.3+0.2 x 0.1 0.3 x 0.2 x 0.1=0.3 14线路畅通的概率为：1-P(D)=1-0.3 14=0.686五、n次独立试验-每次试验的条件是一样的且可以重复|每次试验的基本事件只有两百.|每次试验是相互独立的n次（重）独立试验或贝努利试验这样的概率问题又称贝努利概型。在重贝努利试验中，事件A发生了上次的概率记为只（女）例3州N 一个篮球运动员投篮3次，每次投中的概率为P,不中的 概率为i-P。求三次投篮恰好投中两次的概率。解：运动员每次投篮是独立的，所以三次投篮是3次独立试验。,设4=第，次投中，=1，2,3眄三次投篮恰好投中2次三次投篮投中2次共有种c；情况：A4A A4A 444并且这三种情况是互不相容的。由事件的独立性，这三种情况的概率都是且 b=44 A U AAA U A&根据概率的加法公式得：P(B)=6=p(A44)+尸(A&A)+p(A4 4)=3p2q=(J；p2q即投篮3次投中的概率为 鸟(2)=*尸G既率计算)每次试验只有两个可能结 a或彳亳用的概率记为p,则和勺概率为 i-p次独立试验中，“事件a恰好发生上次”的概率匕(左)为:Pn(k)=Cpkqn-k 左=0,1,2,3,，”叫卜某车队有汽车20辆，每辆车发生故障的概率都是 0.1,“同时有5辆车发生故障”的概率为1SP20(5)=Cfo(O.iy(O.9)15 0.032褥5门炮同时向一个目标各射一发炮弹，有不少于2发炮弹命中目标即 被摧毁。在一次射击中，每门炮击中目标的概率都是66,求能摧毁目标 的概率。解：这是一个5次独立试验问题。设4=5门炮中恰有左门炮命中,则它的概率为 航件）=心=Cp5q5-k.=Cf（0.6）5（0.4）5-k U，2,3,4,5摧毁目标=4U A3U A4U 5贝 i j B=4U A所以 P（5）=1p（历=1p（4U 4）=iP（4）P（A）=iE（o）%D=l-C；(0.6)(0.4)5-C(0.6)1(0.4)4=1-0.01024-0.07 68 0.913即摧毁目标的概率为0.913.第四节随机变量及其概率分布随机变量的概念随机变量的分类离散型随机变量的分布列连续型随机变量的密度函数、随机变量的概念定义 用来表示随机事件的变量称为随机变量记 希腊字母二、F 或大写英文字母“x”、“丫”等1.一批产品共有10件，其中有3件次品，从中任取2件，用J表 示2件中的次品数。则4的取值为0,1,2.2.一篮球运动投篮一次，可用“4=表示投不中，用“”台投中。奉二、随机变量的分类1.离散型随机变量随机变量所能取的值可以一一列举（有限个或无限个）。前面两例中的随机变量就是离散型随机变量。2.连续型随机变量随机变量的取值充满某个区间（有限区间或无限区间）不能一一列举。三、离散型随机变量的分布列1.一般地，由离散型随机变量4的所有可能取值与其对应的概率PC=%)=Pk(攵=1,2,3,)所组成的表格,%2，血，4xx x2尤3XkPkPlP2P3Pk称为离散型随机变量的分布列，或称概率分布。分布列也可以用式子来表示。性质P/=xQ=Pk（k=l、2）（1）非负性：01)=1-P(1)=1-CoO.O5kO.95lo-k=0.0862K=O即退货率为8.62%。四、连续型随机变量的密度函数%J对于连续型随机变量O若存在非负函数/(%)(-CO X +8)9 使得对于任意实数a,b(a b)都有下式成立 P(a 0(-G0 X +00)00J(x)dx=lP(=a)=f(x)dx=Q(1)求A(2)求P(l3)(3)求 0)解：(1)根据归一性得：f(x)dx-J(4x-2x2)dx=A=18(2)尸(1 J 3)=ff(x)dx=p|(4x-2x2)=1(3)尸 0)=/(x)Jx=0Jx=0例苦设随机变量血密度函数为JX(axO,ac c+/b,求尸(cJ c+/)解：(1)根据密度函数的归一1性得f f(x)dx=f Adx=2(/?-a)=1J-00 ehb-a0 其它P（c（c+1）=b-ab-a均匀分布随机变量4的密度函数为/（x）-b-a 0a x b 其它则称自服从区间。向上的均匀分布 可粗略地理解为自取。向中任一点值的可能性相等。某路公共汽车每隔15分钟一班，来客到站时间是随机的，求 某乘客到达汽车站后，等车时间不超过5分钟的概率？解：设乘客的等车时间为4,乘客到达车站的任一时刻是等可能的。即4服从于0,15上的均匀分布。因此所以10P(0 5)=0 x 15其它3第五节正态分布正态分布的定义正态分布的概率计算正态分布应用举例、正态分布的定义定义图(编2f(x)e 而(-o x4o d 缶典MH）为髅）则称匐取裁为4/记为沏/）。正态曲线：正态分布的密度函数“X）的图像。y=s0.5cr=l。=2正态曲线的性质L位置：X轴上方，对称轴：直线x=4,渐近线：X轴；2.最高点：口()，拐点：(g卷/),曲线呈现中间高、两 边对称降低的“钟形”。3.位置参数，形状参数，。越大，曲线越“矮胖”；。越 小，曲线越“高瘦”。概率意义若，N(d),则自以很大的概率取值于的附近；在两侧取 值的概率相同，。越小，在两侧近旁取值的概率越大，取值越集中。毒称为标准正态分布,记为4N(O,1)。它的对称轴为y轴，即/为偶函数。、正态分布的概率计算1.标准正态分布的概率计算若4 N(O,1),令a)=p(jx)=(x)的重要性质。(D(-x)=1一(x)计算方法利用标准正态分布表表中列出了 xNO时的值。计算公式尸（。v S）卜广 已知 4 N(O,1),求(1)PC 1.5)(2)P(0.5 1.5)(3)P(-2)解：(1)尸G 1.5)=0(1.5)=0.93 3 2(2)P(0.5 1.5)=(L5)-(0.5)=0.93 3 2-0.6915=0.2417(3)1)=1 PC 1)=1(1)=1 0.8413=0.1587(4)P 2-2)=1-尸 C -2)=1-(2)=0(2)=0.97 7 22.一般正态分布的概率计算若 JN（谒）,则(AM/令=产 1 _i?X IIP(4x)=e 2b2 出=-j=e 2 血=中(-)所以P(ab)=%b)PC a)=(勺-(巴当aa即 p(ab)=(空当-(伫上)aa一般正态分布的概率计算公式已知 4 N(l,22),求(1)PG 2)(2)P(-l 0.5)解：(2)(3)2-1PC 2)=0()=(0.5)=0.6915 2 15-1-1-1P(-l 0.5)=1-尸修(二)=1-(一0.25)=(0.25)=0.59873 若自N(,，),求(1)P(-)(2)p-2b)(3)P(j 3 b)解：(1)尸(归一“b)二尸(一b 4 +b)=-(一1)=20(1)-1=0.6826同理可得：_ _(2)P(怛-“2a)=2(2)-1=0.9544(3)P(归-18000)=1-P(18250)=1 一 PC 18250)=1-中产”0Gl项。)二1-(一1.5)=(1.5)=0.93 3 2即使用期不小于10年的概率为0.93 3 2.舜2.某工程队完成某项工程所用时间M单位:天)服从NQO。,25),按合同约定：若在100天内完成，得奖金I万元；若在100 到115天完成，得奖金0.1万元；若超过115天,则罚款5000 元。求该工程队被罚款500元的概率。解：因为JN(100,52)所以 PC115)=1 PC W 115)=1(115；10)=1=0.0013即该工程队被罚款5000元的概率为0.0013.第六节随机变量的数字特征均值 描述随机变量取值的平均状况五套描述随机变量取值的偏离程度一、均值1.离散型随机变量的均值亲溜M要求个人的平均身高，这个人中，有个人身高为 飞的?，有个人身高为马有如个人身高为4(%+%+%=)，则这个人的平均身高为：-1 Z、“2 nkX=(X+%22+,+X%)=-X?-F ,+X女-n n n n一般地，如果随机变量的可能取值为和/P记=xj=Pk(i=123,”则随机变量J的取值应稳定在：，并且MP1+%222+.k P&=Xj Pi兔豆如果离散型随机变量J的分布列为3X1%2%3XkPkPl Pl。3 Pkk则称函数 占0+%2,2+一乙。女=Z七0z=l为随机变量J的均值(或称数学期望),记为矶&)即(4)=”,1=1葡W例1甲、乙两台设备各生产同一种零件1000件，它们的产品次品 ATA 数分别为4和人 经过一段时间的观察，自和的分布列为：0123Pk0.70.10.10.10123Pk0.50.30.20哪一台设备的产品质量好?解：仅从分布列来看，很难作出判断，我们来求二者的均值。E()=0 x0.7+lx0.1+2x0.1+3 x0.1=0.6ES)=0 x0.5+1x0.3+2x02+3=0.7所以 E（7）o可见甲设备在1000件产品中所出现的次品数的品均值较小，从这个意义上讲，甲设备所加工的零件质量好于乙设备。例2求两点分布的均值解分布列为40Pk Pq其中P+q=1,由均值定义得EG)=0 xp+lxq=q例3求二项分布的均值解设，3（小尸）,则。的分布列为p=k)=c：pkqk(k=0、1、2.)根据均值定义和二项式定理得:n nE8=kC：pkq-k=卜k=0 k=lnk!(n k)!k n-k p q=喳k=t 1(一1)!卜=这之*产）的k=np(p+q)n7=np即二项分布4B（，P）的均值E4）=np例4某人每次投篮的命中率为0.65,他投篮10次，求平均命中次数。解设4为命中次数，则J及1QQ65)于是6)=硬=10 x0.65=6.5次即投篮10次，平均命中6.5次。注意：这只是一个理想的数值，它具有概率意义，实际中与这个结果是有差别的。2,连续型随机变量的均值定义如果连续型随机变量岁的密度函数为了(X),且 口力dx存在，则称口/(x)dx为连续随机变量4的均值，记为 E(4),即zM-coE=f xfxdxj-g解4的密度函数为/()=其如r i-o o d)x a+b贝i j E记)=f xf(x)dx=-dx=-u b a 2即均匀分布的均值E(9=是区间见切的中点。乙设 JN3 b2),求例5解1(%-4产CO I-7 x t.-e 2b dx，2万b令/=巴-2(/+at)e 2 dt-巴箸2小粒a a+bx-Ja 0dx112(b-a)221b-a1?即)=(0 4)2JL乙在均匀分布中,Q,加区间越长，取值越分散；反之，取值越集中。樨ho 若 j n(r2)，求。出)。解：因为成J)=，由方差定义得)=Aoo2 兀oCT2(一-)2e 2b之 dxcr2令 x 4 _.、2.3 06)=0.05故临界值2=2.3 06(3)统计量/=(；*(/变量)/=生若是随机变量，服从自由度为”1的分布，记为 z2 z2(-i)/分布的密度函数与样本容量有关，越大，/分布就越接近于正态分布。力2分布的概率可由/分布临界值表查/分布密度函数的图像:O.A0.35O.30.25O.2O.15O.1O.05力=201O2030例例4若P(/(9)2)=0.025,查表求临界值4。解：由/分布临界值表查得P(Z2(9)19.2=0.025故 4=19.2例5若尸(/(9)2)=0.025,查表求4。解：由于尸(力2(9)2)=1 0.025=0.975查表得2=2.7 0例6 若P（4/丸2）=0.95.求4与丸2。解：如图所示，满足题设的4与4有无数多对，为了方便起见,通常是指使阴影部分两边的面积相等的4与2,也就是指P(42%)=0.025 即 尸(/(9)4)=0.975,P(Z2(9)A2)=0.025 查表可得 4=2.7 0,%=192 即 尸(2.7 0%?(9)19.2)=0.95.第八节参数估计A对总体分布中的参数作出估计和判断参数的点估计参数的区间估计%参数的点估计1、问题的提出：参数估计问题 在很多实际问题中，总体的分布形式往往已知，但分布 中的参数却是未知的，只要对参数做出推断，即可确定总体 的分布。2、参数的点估计估计量：用样本构造适当的统计量来估计总体的某个未知参数估计值：由样本值得到的估计量的值点估计：用估计值来估计总体未知参数的方法（约定）未知参数。的估计量用3表示3、均值与方差的点估计|0(X)二 R r(X)=s2|从一批仪器中随机的抽取9台，测得某技术数0.506 0.518 0.524 0.4880.510 0.512 0.515试估计该技术数据的均值与方差。解：根据均值与方差的点估计式得、A 1矶X)=X=X(0.479+0.506+0.515)=0.5089D(X)=S2=x(0.479-0.5089)2+(0.515-0.5089)2=0.00018 914、估计量的评判标准无偏性：估计量的均值和未知参数真值之间没有偏移因应 设。是未知参数。的估计量，如果Ae（6）=e则称4为。的无偏估计量。、例2证明M和V分别是总体均值E(X)和总体方差D(X)的无偏估 计量。证 因为 E(X)=E(-YjXi)=tJE(Xi)=-nE(X)=E(X)n(=i n(=1 n同理可证 ES)=D(X)所以T和S 2分别是项X)和O(x)的无偏估计量。还可以证明 E-Y(Xi-X)2=D(X)n/=i n1 n 一注：；Z(X,-X)2是Q(x)的有偏估计量(偏小)。这就是用S 2而不 n i=l用法氏_疗作为总体方差估计量的原因。但当很大时，二者相差很 n,=1小，都可以作为总体方差的估计量。有效性：估计量的方差应尽可能的小即：估计值在被估参数的真值附近摆动，且摆动幅度应尽可能的小定义如果a和4都是参数o的无偏估计量,若。偈）0（力则称估计量自较a有效。；(X1+X2)有效。证明 例2中已经证明了元和；(X1+X2)的无偏性0(歹)=。(Z X,)=Z0(XJ=nDX)=-D(X)n i=i n i=i n nO：(X+X2)=(X)+D(X2)=。(X)+D(X)=1d(x)2 4 4 2当2 时，(X)；D(X)即X比；(片+X2)作为(x)的估计量有效。二、参数的区间估计找到一个区间及这个区间包含参数真值的可靠程度1、置信度置信区间定义I设。为总体的一个未知参数，若对于事先给定的。(0。1),能找到一个区间(3%),使得(4M)包含参数。的概率为1-。，即尸(4 0O2)=l-a则称区间(4,%)为。的置信水平(。叫置信度)为1-。的 置信区间。1、正态总体均值的区间估计(1)已知。2,求的置信区间存 设X/2,X”为取自正态总体N(M)的样本,和给定的令P(uA)=l-a(U=N(O,1)G其中X称为对应于置信水平1-。的临界值，可由正态分布表查ry (T 出(4)=1-5)。解得P(X-不入X+-2)=l-a故的置信水平为1-。的置信区间为(G-X+-2)y/n jn说明样本与置信区间相关的量：样本容量置信水平置信区间越短越好：增大样本容量或降低置信水平 实际问题中，据实际问题作出合理选择 次序 例4从长期生产实践中知道，某厂生产的电子元件的使 V 用寿命X N3 1002),现从一批产品中抽取5件，测得寿命如下:1455 1502 1370 1610 1430试求这批元件平均使用寿命的置信区间(a=0.1和。=0.05)解：由样本值得1X=-x(1455+1502+1370+1610+1430)=1473.4当。=0.1时，由正态分布表得4=1.64,代入(1)式得-2=147 3.4-1001.64=1400.14=147 3.4+100-1.64=1546.7于是当1-。=0.9时，平均使用寿命的置信区间为(1400.1,1546.7)当。=0.05时，查表得4=1.96又-隼/=1473.4-吧 196=1385.7 y/n V5歹+各1=1473.4+毕196=1561.155/5从而当置信水平为1-。=。95时，平均使用寿命的置信区间为(13 85.7,1561.1)注：当一定时，置信区间的长度与置信水平1-。有关，置信 水平越高，置信区间越长。(2)未知。2,求的置信区间过户 利用统计量八？*-1)来求的置信区间。&对于给定的。，令P(|T|X)=l-a_ q _ q解得：p(X：X+：；)=l a ln y/n参数的置信水平为的置信区间为:S S(X-+-.2)Yn n，例5用仪器测量冶炼熔炉内的温度（）,重复测量5 次，得数据如下：1250 1265 1245 1260 1275已知炉内温度服从正态分布N（谓）,试问温度的真值在什么范 围内（a=0.05）?解：由样本值得S2=y-j（1250-1259）2+-对于。=0.05,-1=4,v所以 X-=1244.2于是所求置信区间为-1X=1 X(1250+1265+1245+1260+1275)=1259,+(127 5 1259)2=掌=卡 义=5.3 3 9查看分布临界表得4=2.7 7 6 VX+号/=127 3.8 yjn(1244.2,127 3.8).对于给定的CC,令尸(4 A2)=l-a且 尸(724)=尸(，24)=3乙解得：P(a2)=l-a所以4的置信水平为1-。的置信区间为X-l)52(n-DS2 I 八，八 1!|6求例5中温度的方差和均方差的置信区间(。=0.05)。解：由例5可知(-1斤=570,n=5对于给定的a=0.05,由P(/(5 1)A)=7=0025查/分布临界值表得4=0.484,%=11.1小鼠=0=1177.7(“二”51.3 54 0.484 4 HlJ117 7.7=3 4.3 2,痴35:7.17于是温度的方差，和均方差b的置信水平为0.95的置信区间分 别为(51.3 5,117 7.7)和(7.17,3 4.3 2)(1)置信区间包含被估计参数的蟒并不等于1而是1-。，用区间估计解决实际问题时有可觞日错误。(2)只育虢置信区间以1Y的概率包含被估计参数 而不能说被 估参数以的蟒落入置信区间内。(3)开的置信区间可以改为闭区间。(4)当总体不月姒正态分布时，只要均值和方差都存缶当场足 够大时，仍可用本节的方法对总体的均值和方差进行区间估计。(1)根据实际问题构造样本的函数，要求仅含待估参 数且分布已知；(2)令该函数落在由临界值确定的区间内的概率为给 定的置信度1-a,要求区间按几何对称或概率对称；(3)解不等式得随机的置信区间；(4)由观测值及a值查表计算得所要求的置信区间。