具有疫苗接种和标准发生率的ZIKV感染模型.pdf

D O I:1 0.3 9 6 9/j.i s s n.1 0 0 3-0 9 7 2.2 0 2 4.0 1.0 0 8 文章编号:1 0 0 3-0 9 7 2(2 0 2 4)0 1-0 0 5 1-0 5具有疫苗接种和标准发生率的Z I KV感染模型王 霞*,李 洁(信阳师范大学 数学与统计学院,河南 信阳 4 6 4 0 0 0)摘 要:研究了一类具有疫苗接种和标准发生率的Z I KV感染模型。利用再生矩阵方法,计算得出了模型的基本再生数(R0),证明了模型平衡点的存在性以及局部稳定性。结果表明:当R01时,地方病平衡点是局部渐近稳定的。基于疫苗接种对病毒感染的影响,分析了疾病传播的动态。关键词:Z I KV感染模型;标准发生率;蚊媒传播;疫苗接种中图分类号:O 1 7 5.1;R 1 8 1-5 文献标识码:A开放科学(资源服务)标识码(O S I D):A Z I K V I n f e c t i o n M o d e l w i t h V a c c i n a t i o n a n d S t a n d a r d I n c i d e n c e R a t eWA N G X i a*,L I J i e(C o l l e g e o f M a t h e m a t i c s a n d S t a t i s t i c s,X i n y a n g N o r m a l U n i v e r s i t y,X i n y a n g 4 6 4 0 0 0,C h i n a)A b s t r a c t:A Z I KV i n f e c t i o n m o d e l w i t h v a c c i n a t i o n a n d s t a n d a r d i n c i d e n c e r a t e w a s i n v e s t i g a t e d.T h e b a s i c r e p r o d u c t i o n n u m b e r(R0)o f t h e m o d e l w a s o b t a i n e d b y a p p l y i n g t h e n e x t g e n e r a t i o n m a t r i x m e t h o d,t h e e x i s t e n c e o f e q u i l i b r i u m a n d l o c a l s t a b i l i t y o f t h e m o d e l w e r e p r o v e d.T h e r e s u l t s s h o w e d t h a t,w h e n R01,t h e e n d e m i c e q u i l i b r i u m i s l o c a l l y a s y m p t o t i c a l l y s t a b l e.T h e d y n a m i c s o f d i s e a s e t r a n s m i s s i o n s w e r e a n a l y z e d b a s e d o n t h e e f f e c t o f v a c c i n a t i o n o n v i r a l i n f e c t i o n.K e y w o r d s:Z I KV i n f e c t i o n m o d e l;s t a n d a r d i n c i d e n c e r a t e;m o s q u i t o-b o r n e t r a n s m i s s i o n;v a c c i n a t i o n0 引言寨卡病毒病(Z V D),也被称为寨卡热或简称寨卡,是一种由寨卡病毒(Z I KV)引起的蚊媒疾病,近年来已成为一个新兴的公共卫生问题。寨卡病毒主要通过受感染伊蚊(包括埃及伊蚊和白纹伊蚊)的叮咬传播给人类。此外,寨卡病毒还会通过输血、器官移植和实验室泄漏传播。寨卡病毒病的常见症状包括发烧、皮疹、结膜炎和头痛1。尽管目前还没有针对寨卡病毒的正式疫苗,但美国国立卫生研究院(N I H)下属的国家过敏和传染病研究所(N I A I D)已于2 0 1 6年8月初启动了一项疫苗试验,以控制寨卡病毒的传播2。值得注意的是,文献3-4 研究了一些关于寨卡病毒疾病传播及其影响的工作,而这些工作都不包括疫苗接种。有许多方法可以缓解和接种实验性寨卡病毒疫苗,这些疫苗已经在动物身上进行了测试,但在进入市场之前仍在试验中5-6。因为疫苗仍处于研发和临床试验阶段,可能不完全有效,即接种者可能会失去疫苗的效力。因此,为了提供一种对所有人都安全有效的疫苗,应该对灭活和减弱寨卡病毒毒性进行更多的实验研究。2 0 2 1年,S HA RMA等7提出了一个带有疫苗接种的寨卡病毒感染动力学模型,采用的是双线性传染率,但当人口数很大时,单位时间内一个染病者所能接触他人的数目是有限的,通常采用标准发生率比双线性发生率更符合实际8。收稿日期:2 0 2 3-0 1-2 0;修回日期:2 0 2 3-0 3-1 8;*.通信联系人,E-m a i l:x y x i a w a n g x y n u.e d u.c n 基金项目:国家自然科学基金项目(1 2 1 7 1 4 1 3);河南省杰出青年基金项目(2 2 2 3 0 0 4 2 0 0 1 6);河南省高校科技创新团队支持计划项目(2 1 I R T S T HN 0 1 4);信阳师范学院研究生科研创新基金项目(2 0 2 2 KY J J 0 1 0)作者简介:王霞(1 9 7 8),女,河南潢川人,教授,博士,主要从事生物数学研究。引用格式:王霞,李洁.具有疫苗接种和标准发生率的Z I KV感染模型J.信阳师范学院学报(自然科学版),2 0 2 4,3 7(1):5 1-5 5.WAN G X i a,L I J i e.A Z I KV I n f e c t i o n M o d e l w i t h V a c c i n a t i o n a n d S t a n d a r d I n c i d e n c e R a t eJ.J o u r n a l o f X i n y a n g N o r m a l U n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c e E d i t i o n),2 0 2 4,3 7(1):5 1-5 5.15信阳师范学院学报(自然科学版)J o u r n a l o f X i n y a n g N o r m a l U n i v e r s i t y第3 7卷 第1期 2 0 2 4年1月 N a t u r a l S c i e n c e E d i t i o n V o l.3 7 N o.1 J a n.2 0 2 41 模型建立为了简单描述寨卡病毒传播的基本特征,将总人群分为易感者、接种者、染病者和恢复者;蚊子总群分为易感蚊子、潜伏蚊子、染病蚊子。假设所有的新生儿都是易感的,感染寨卡病毒的蚊子永远无法康复,康复者会被再次感染。因此,考虑如下具有疫苗接种的Z I KV感染动力学模型:dShdt=h-vIvShNh-hIhShNh-Sh+Vh+hRh-hSh,dVhdt=Sh-Vh-hVh,dIhdt=vIvShNh+hIhShNh-hIh-hIh-hIh,dRhdt=hIh-hRh-hRh,dSvdt=v-bvIhSvNh-vSv,dEvdt=bvIhSvNh-vEv-vEv,dIvdt=vEv-vIv,(1)式中:Sh=Sh(t)、Vh=Vh(t)、Ih=Ih(t)和Rh=Rh(t)分别为t时刻的易感者、接种者、染病者和恢复者的数量;Nh=Sh+Vh+Ih+Rh;Sv=Sv(t)、Ev=Ev(t)和Iv=Iv(t)分别为t时刻的易感蚊子、潜伏蚊子、染病蚊子的数量;Nv=Sv+Ev+Iv;参数h、h、h、v、v分别表示人群的出生率、自然死亡率、由疾病诱导的死亡率、蚊子的出生率和自然死亡率;寨卡病毒通过人与人之间的传播速度为h,通过蚊子与人之间的传播速度为v;易感者以有效接种率接种疫苗;接种者可能会因为接种不完全有效而以的速度失去疫苗的效力;h表示人群恢复率;bv表示蚊子叮咬染病者后被感染的速率且潜伏的蚊子以v的速率变成染病类蚊子;h表示恢复者丧失免疫力的速率(感染示意图如图1所示)。模型(1)具有以下初始条件:Sh(0)0,Vh(0)0,Ih(0)0,Rh(0)0,Sv(0)0,Ev(0)0,Iv(0)0。由模型(1)可得dNhdt=h-hIh-hNh,dNvdt=v-vNv。容易证明l i mt?s u p Nh(t)hh,l i mt?s u p Nv(t)vv。引理19 闭集=(Sh,Vh,Ih,Rh,Sv,Ev,Iv)R7+:Nhh/h,Nvv/v 是模型(1)的正不变吸引子集。图1 模型(1)的感染示意图F i g.1 S c h e m a t i c d i a g r a m o f i n f e c t i o n i n m o d e l(1)2 基本再生数与平衡点的存在性记1=h+h+h,2=bvvhhv,3=1+h。2.1 模型的基本再生数显然,模型(1)有一个无病平衡点E0=(S0h,V0h,0,0,S0v,0,0),其中:S0h=h3h,V0h=h(+h+)h,S0v=N0v=vv。为计算模型(1)的基本再生数1 0,定义R0=(F V-1),式中:F V-1=hS0h1N0hvvS0hv(v+v)N0hvS0hvN0hbvS0v1N0h00000。因此,模型(1)的基本再生数为R0=Rh h2+R2h h+4Rv hRh v2,(2)式中:25第3 7卷 第1期信阳师范学院学报(自然科学版)h t t p:/j o u r n a l.x y n u.e d u.c n2 0 2 4年1月Rh h=hS0h1N0h=h13,Rh v=bvS0v1N0h=bvvh1hv,Rv h=vvS0hv(v+v)N0h=vvv(v+v)3。由于无法将Rh h从式(2)表示的R0中分离出来,所以不方便评估性传播和媒介传播的相对贡献。为此定义R*0=R0 h+R0 v,式中:R0 h=Rh h和R0 v=Rh vRv h分别表示性传播和媒介传播所对应的基本再生数,即R*0=R0 h+R0 v=h13+vv213(v+v)v。(3)定理1 1)R0=1R*0=1;2)R01R*01;3)R01R*0 1 R*0 1。若R0 1,则由Rh h2+R2h h+4Rv hRh v21,可得 R2h h+4Rv hRh v2-Rh h。当Rh h2时,R*0=Rh h+Rv hRh v1是显然的。当Rh h1-Rh h可得R*0=Rh h+Rv hRh v1。再证R*01R01。若R*0=Rh h+Rv hRh v1,则Rh h1-Rv hRh v。只需考虑Rv hRh v Rv hRh v1是显然的。由Rh h1-Rv hRh v,可得R01-Rv hRh v2+(1+Rv hRh v)22=1。3)首先证明R0 1 R*0 1。若R0 1,则有 R2h h+4Rv hRh v2-Rh h。当Rh h2时,R01是不可能的。当Rh h2时,由Rv hRh v1-Rh h,可得R*0=Rh h+Rv hRh v1。再证R*01R01。若R*01,则有Rh h1-Rv hRh v。这 里 只 需 考 虑Rv hRh v1,否 则Rv hRh v1,R*0=Rh h+Rv hRh v1是不可能的。由Rh h1-Rv hRh v,可得R01、h=0时模型(1)还存在唯一的地方病平衡点E*。设E*=(S*h,V*h,I*h,R*h,S*v,E*v,I*v),经计算可得到S*h=(h+h)I*h(vI*v+hI*h)/N*h=4N*hvk165,V*h=S*h+h=+h4N*hvk165 ,R*h=k0I*h,(k0=hh+h),S*v=vN*h6,E*v=bvI*hS*vN*h(v+v)=vbvI*h(v+v)6=vbvI*hk16,I*v=vE*vv=vvbvI*hvk16,式中:k1=v+v,4=h+h,5=vvvbv+hvk16,6=bvI*h+vN*h。注意到当h=0时,N*h=h/h,进而I*h是F(x)=0的非负解,其中F(x)=134N*hvk178+x+k0 x-N*h,式中:7=bvx+vN*h,8=vvvbv+hvk17。当R01(即R*01)时,F(0)=(134N*hvk1v9-1)N*h=4N*hvk1v39(1-R*0)N*h0,因此,当R0 1时,模型(1)有唯一地方病平衡点E*。3 稳定性分析3.1 无病平衡点的局部稳定性定理2 若R01(即R*01)时,(0)=1(v+v)v(1-R*0)1时,E0是不稳定的。当R01(即R*01)时,只需证明式(6)的所有根都具有负实部1 1。否则,设0为式(6)的根且R e(0)0,通过除以(0+1)(0+v+v)(0+v),并对等式两边同时取模可得1=h30+1+vv23(0+1)(0+v+v)(0+v)h30+1+vv23(0+1)(0+v+v)(0+v)h31+vv231(v+v)v=R*0,这与R*01矛盾。因此,当R01(即R*01且h=0,则模型(1)的地方病平衡点E*是局部渐近稳定的。证明 若h=0,设1为特征根,则E*处所对应的特征方程为(1+v)(1+h)2(1+k1)(1+k2)(1+k3)(1+4)-(1+k1)(1+k2)(1+k4)hS*hN*h-vbvS*vN*hvS*hN*h(1+k4)=0,式中:k2=bvI*hN*h+v,k3=vI*vN*v+hI*hN*h+h,k4=+h。显然E*的稳定性由下式方程特征根实部的符号所决定:(1+k1)(1+k2)(1+k3)(1+4)=(1+k1)(1+k2)(1+k4)hS*hN*h+vbvS*vN*hvS*hN*h(1+k4)。(7)对于R01,只需证明式(7)的所有根都具有负实部。否则,设 为式(7)的根且R e()0,通过除以(+k1)(+k2)(+k3)(+4),并对等式两边同时取模可得1=(+k4)hS*hN*h(+k3)(+4)+k1vvI*vS*hN*hI*h(+k4)(+k1)(+k2)(+k3)(+4)(+k4)hS*hN*h(+k3)(+4)+k1+k1v+k2vI*vS*hN*hI*h(+k4)(+k3)(+4)(+k4)hS*hN*h(+k3)(+4)+vI*vS*hN*hI*h(+k4)(+k3)(+4)=+k4(+k3)(+4)hS*hN*h+vI*vS*hN*hI*h =+k4+k34+41、h=0时,E*是局部渐近稳定的。证毕。4 数值模拟选取模型(1)的初值:Sh(0)=8 0 0,Vh(0)=9 0 0,Ih(0)=5 0,Rh(0)=2 5 0,Sv(0)=1 0 0 0 0,Ev(0)=2 0 0,Iv(0)=2 0 0,Nh=2 0 0 0;选取参 数h=0.0 1 5,v=0.3 6,h=0.1,=0.1 0 6,=0.0 5,h=0.0 5,h=51 0-5,h=0.3,h=31 0-4,v=1 0 0 0,bv=0.1 4 5,v=0.1,v=0.13,1 2,可以计算得到R0=1.4 0 9 61。由定理45第3 7卷 第1期信阳师范学院学报(自然科学版)h t t p:/j o u r n a l.x y n u.e d u.c n2 0 2 4年1月3可知,模型(1)的解趋向于地方病平衡点E*=(4 7 8,1 0 1 3,7 2,4 3 2,9 5 0 3,2 4 8,2 4 9),其时间序列如图2所示。图2 当R0=1.4 0 9 61时,模型(1)的时间序列图F i g.2 T i m e s e r i e s o f m o d e l(1)f o r R0=1.4 0 9 615 结束语建立了具有疫苗接种和标准发生率的Z I KV感染模型。该模型包含两种传播方式,即蚊媒传播和性传播。定义了模型的基本再生数R0。分析结果表明:当R01、疫苗接种完全有效且人体永久免疫时,地方病平衡点E*是局部渐近稳定的。本文的不足之处在于仅考虑疫苗效应完全作用且人体永久免疫的理想情形,一般情形的研究较为困难。此外,使用各种干预措施(使用驱虫蚊帐、避孕套等)控制疾病传播是将来工作的研究方向。参考文献:1 D U F F Y M R,CHE N T H,HAN C O C K W T,e t a l.Z i k a v i r u s o u t b r e a k o n Y a p I s l a n d,F e d e r a t e d S t a t e s o f M i c r o n e s i aJ.T h e N e w E n g l a n d J o u r n a l o f M e d i c i n e,2 0 0 9,3 6 0(2 4):2 5 3 6-2 5 4 3.2 B A R OU CH D H,THOMA S S J,M I CHA E L N L.P r o s p e c t s f o r a Z i k a v i r u s v a c c i n eJ.I mm u n i t y,2 0 1 7,4 6(2):1 7 6-1 8 2.3 WANG X i a,S HE N M i n g w a n g,X I AO Y a n n i,e t a l.O p t i m a l c o n t r o l a n d c o s t-e f f e c t i v e n e s s a n a l y s i s o f a Z i k a v i r u s i n f e c t i o n m o d e l w i t h c o m p r e h e n s i v e i n t e r v e n t i o n sJ.A p p l i e d M a t h e m a t i c s a n d C o m p u t a t i o n,2 0 1 9,3 5 9:1 6 5-1 8 5.4 A GU S T O F B,B EW I C K S,F A GAN W F.M a t h e m a t i c a l m o d e l f o r Z i k a v i r u s d y n a m i c s w i t h s e x u a l t r a n s m i s s i o n r o u t eJ.E c o l o g i c a l C o m p l e x i t y,2 0 1 7,2 9:6 1-8 1.5 S HAN C h a o,MURUA T O A E,N UN E S B T D,e t a l.A l i v e-a t t e n u a t e d Z i k a v i r u s v a c c i n e c a n d i d a t e i n d u c e s s t e r i l i z i n g i mm u n i t y i n m o u s e m o d e l sJ.N a t u r e M e d i c i n e,2 0 1 7,2 3(6):7 6 3-7 6 7.6 B R AU E R F,C A S T I L L O-CHAV E Z C,MU B AY I A,e t a l.S o m e m o d e l s f o r e p i d e m i c s o f v e c t o r-t r a n s m i t t e d d i s e a s e sJ.I n f e c t i o u s D i s e a s e M o d e l l i n g,2 0 1 6,1(1):7 9-8 7.7 S HA RMA N,S I N GH R,S I N GH J,e t a l.M o d e l i n g a s s u m p t i o n s,o p t i m a l c o n t r o l s t r a t e g i e s a n d m i t i g a t i o n t h r o u g h v a c c i n a t i o n t o Z i k a v i r u sJ.C h a o s,S o l i t o 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