高考数学一轮复习《学案与测评》课件：第8单元_数列.pdf

知识体系第八单元数列I有穷数列I无穷数列表示方法列举法 列表法 解析法 图象法厂I通项公式法 一递推公式法性质单调性第一节数列的概念与简单表示法基础梳理1.数列的概念按照一定 排列的一列数称为数列，数歹l j中的每一个数叫做这个数列的数歹U中的每一项都和它的_1有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做)，往后各项依次叫做这个数列的第2项第n项，.数 列的一般形式可以写成 其中是数列的第n 项，我们把上面的数歹U简记为 2,数列的分类(1)根据数列的项数可以将数列分为两类：有穷数列项数 的数列；无穷数列项数二的数列.(2)按照数列的每一项随序号变化的情况分类：递增数列从第2项起，每一项都 它的前一项的数列；递减数列从第2项起，每一项都1它的前一项的数列；常数列各项_.的数列；摆动数列-从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列.3.数列与函数的关系从函数观点看，数列可以看成以N*(或它的有限子集)为定义域的函挹口=f(n),当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值.反过来,对于函数y=f(x),如果f(i=1,2,3,)有意义，那么我们可以得到一个数列4.数列的通项公式如果数歹a n的_可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的 O5.递推公式如果已知数歹a J的首项(或前n项)，旧 JLJ关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式.6.数列的简单表示法：、：、典例分析题型一数列的概念及通项公式【例1】写出下列数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数.4 6 8 103 15 35 63 99（、1 9 17 33（2）1,，3 35 63 99（3）1,0,-,0,0,-,0,;3 5 7（4）1,3,6,10,15,.分析 写出数列的通项公式，应注意观察数列中各项和项数n的联系和变 化情况，应特别注意自然数列、正奇数列、正偶数列与(-1)相关的数列、等差数列、等比数列，以及由它们组成的数列，从其中找出规律，并分 别写出通项公式.解(1)这是一个分数数列，分子为偶数列，而分母为1 X 3,3、5,5、7,7 X 9,9*11,，是两个连续奇数的积，故所求数列通项公2 n n n式为an2n(2n-l)(2n+1)(2)数列的前5项可改写为：-3 5 9 17 33Ix 3?3x 5?5x 77x 9 9x 11由于数列的各项间正负互相间隔，应有调节符号作用的数列(-I)11,分 子构成规律为2n+1,分母也为两个连续奇数的积，故a n=(-1尸2n+1(2n-l)(2n+1)10-1010(3)原数列直接写不能看出通项公式,但改写之后,不,J分母依次为1,2,34,分子为-1Q,，呈周期性变化，可以用sin卜 表,n n-1 2n-1 sin%c o s-n示，当然也可以用c o s一味示.故q=2 或2=2.(4)由观察可知=1,a,=l+2,a，=1+2+34=l+2+3+4,a,=1+2+3+4+5,1 4 D Jn(n+1)cin=1+2+3+.+ii=.此题亦可这样考虑：2a 2-a 2，a3-a2=3,-a?=4,anAi=n.以上(n-1)个式子左边相加为a n-%=2+3+4+n,又=15 n(n+1)ci=1+2+3+.+11-.2学后反思(1)根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一 项的特点，可使用添项、还原、分割等办法，转化为一些常见数列的通项 公式来求.(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴 含着“从特殊到一般”的思想；由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要 注意代值检验，对于正负符号变化，可用或(-I)1 调整.(3)观察、分析问题的特点是最重要的，观察要有目的，观察出项与项 数之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列，奇、偶数列等)转换,从而使问题得到解决.举一反三1.已次口数歹a“的前4项分另U为1,0,1,0 的通项公式的个薮为()%=；1+(一1 门(n CN);*a=sin2(n N*);2%=,1+(I)+(n-1)(n-2)(n N*);2 l-Z*7X 1 COS YlTt/Z-KT a=-(n N*);2(l(n为正偶数)，an=(0(n为正奇数).A.1 B.2 C.3 D.4,则下列各式可以作为数列a j解析当n为正奇数时,1 r/.2 l-c o s1+(-1)=sm-=-=12L 2 2当n为正偶数时，1 r/、+i1 9 nji 1-c o s nji-1+(-1)=sin2=-=02L ，2 2所以可以作为数列a j的通项公式.当n=3时l+(-l)n+1+(n-l)(n-2)=3?2 l-所以不是数列a n的通项公式；显然不是数列bn的通项公式.答案C题型二递推公式【例2】根据下列条件，写出数列的通项公式.(l)a i=2,an+1=an+n;(2)a1=l,2n-1an=an.r分析(1)修递推关系写成n-1个等式累加.(2)将递推关系写成n-1个等式累乘，或逐项迭代也可.解(1)当n=l,2,3,，n-l时,可得n-l个等式:an-an-i=n-1,an 4-an_2=n-29.9a2-a1=1,将其相力口，得 Hn-ax=1+2+3+.+(n-1),=a】+(l+n-l)(n-l)n(n-l)-=2 H-22(2)方法一：a方法二：由2 anan aaaan-2an2 J/n 4(n-l)n 2=a 得1+2+_.+(n 1)Y-1,an=2 Ja n-12 J/1 y-1卜22 J2)aix、(nl)+(n2)+2+1n(n-l)22)2)、n-laa n-2a2a3(n-1)n2学后反思(1)对于由形如的递推公式求通项公式，只要 f(n)可求和，便可利用累加的方法求通项.(2)对于由形如巴包=n)的递推公式求通项公式，只要g(n)可求积，便可 an利用累乘的方法求通项.已知首项递推关系为+i=4%+b(n N+),求数列a j的通项公式的关键是将2+1=9%+6转化为+1+。=式%+。)的形式，其中a的值可由待定系数法确定，即 qan+b=an+l=qan a=一(q w 1)q ia(4)已知首项a,递推关系为%+i=广(n C N+),修递推关系两边取倒q+ba1 4,1 数，整理即可得=一+4将一视为通项，便转化为第种类型，从而得以解决.-%举一反三2.根据数列%的首项和基本关系式，求a 1=an-1+3n-1(n 2)的通项公式.?n-l解析:an=3+3,Q=%一2+3”-2,1 0-3an-2=an-3+3，.勺1%=%+3以上n T个式子相加，得丁 _ 1an=t z1+31+32+.+3w-1=1+3+32+.+3w-1=-2题型三 利用数列的前n项和公式求通项【例3】已知下面数歹U a j的前n项和Sr,求a j的通项公式.(1)sn=2n2-3n(2)sn=3n+b.分析 当I1N2时，由a n=Sn-Sn求出 簿，再验证当1时=S是否成立.解(1)a 1=S=2-3=-1,当心2时,a=S-Sn l n n n-l=(2n2-3n)_2(n-l)2-3(n-l)=4n-5,由于也适合此等式，Aan=4n-5.(2)a 1=S=3+b,当n N2时，an=Sn-S.=(3n+b)-(3n-1+b)=2x 3n-1.当b=-l时，a 1适合此等式；当b?-l时，a 1不适合此等式.当b=l时，an=2x 3n-1;,l 3+b,当bw1时3=12x 3n-1n=1,n 2.学后反思 数列的通项明与前n项和S的关系是S1，n=1,n 2,此公式经常使用，应引起足够的重视,已知a n求Sn时方法千差万别,但已知Sn求8口时方法却是高度统一当n N2时，求n出a也适合n=l时,可直接臂成 二S/S香则分段表示.举一反三3.(1)已知数列簿的前n项和Sn满足Io g 2(l+Sn)=n+1,求 a j的通项 公式；(2)已知a n O,%*=H，求3 的通项公式.解析：(1)由已知得Sn=2n+1-1,当n=1时,a 1=S当 n 2 时，an=Sn-Sn.1=2n+1-l-(2n-l)=2n,3，n=l,J j=户2 5 n 2.I2(2)由=区得说=管-,2 o当心2 时，a n=Sn-Sn=43+2)2 8*-8an=(an+an.1+4)(an-an.1)9(an+an-i)(an-an-l-4)=0an 09/.09/.an-a-4=即幻-综_1=4,数歹”211为等差数歹1,且公差d=4.a+2y,、又a 二 S1二-，.二 a 1=2,an=2+4(n-1)=4n-2.题型四数列与函数【例4】(12分)已次口数歹U的通项公式为匕=丁 0.98是不是它的项？n(2)判断此数列的增减性.分析(1)令&产0.98,看能否求出正整数n;(2)判断a n+1-a”的正负.2n解 令=;二。-98,解得n=7,n+1.0.98是出：数列|的项C Q Q(n+1)2 口2 2)a a=-;(n+1)2+1 n2+1 2n+1-(n+l)2+l(n2+l).3,.6Z,810.an+1 Aa”,故此数列是递增数列.12,学后反思(1)看某数k是否为数列中的项，就是看关于n的方程a”=k是否 有正整数解.(2)判断数列的单调性就是比较An与a“+i的大小.举一反三4.已次口数歹Upn 的前n项和Sn=2n2+24n(n C N*).(1)求a j的通项公式；(2)当n为何值时，Sn达到最大？最大值是多少？解析：(1)n=1 时,a】=S=23;当 n N2时，an=Sn-Sn 4=-n2+24n+(n-1)2-24(n-l-2n+25.经验证,a】=23符合-2|1+25,.11=-211+25.(2)方法一：V Sn=-n2+24n?.n=12时，S最大，且S12=144.方法二：Van=-2n+25,25当 a n=2n+250时，有n ,a120,&13 2.如果令n=l,则这个式子化为=，-S这里的S是没有意义的，故本题求得的只是数 列从第二项起的通项公式，而不包括av事实上,ax=5=7并不适合2口=411+1.正解当n=l时，%=S=7；当n2时，a=S3=4n+l.7,n=l,故数列a j的通项公式为n=，4n+l,n 2.考点演练10.（2010银川模拟）已知数列a j满足a则数列a j的通项公式是-解析：由已知得&也=21,=1,且 Ha-=(+l)%(n C N+),%nn n-l 3 2-.-1=nn-l n-2 2 1答案：an=n11.求下列数列的通项公式：(1)%=0,%+1=an+(2一1)(n N*);(2)%=l,a=2a+1(n 2,n N).*解析：(1)将%+i=%+(2-1)移项得an+X-an=2-1,得出：a 2 Q1 19a3 a2=3,-a3=5,a-a 1=2-3,将这n T个等式相加得 n n-l一叫l+3+.+(2-3)(-1)2,.an=(-1)2(n N*).(2)由%=2%_+1 得%+1=2(%_+1)又%+1=2,.数列%+1是首项为2,公比为2的等比数列,;%+1=2,.,%=2-112.已知数歹1J%的通项公式为an=n-71-30.(1)求该数列的前三项，60是此数列的第几项？(2)n为何值时，。=0,%0,。6或n -5（舍去）,当口6（116斛）时，吟0;令2-n-30 0,解得-5 n 0,n CN*,.当 0116（116股）时，c1n 0.（i A2 i由q=n2-n-3O=n-30-（11小），知*是递增数列，且n I 2；4%“2 ./V 4=。“7%9，故S及存在最小值S5=S6?不存在S”的最大值.”第二节等差数列及其前n项和基础梳理1.等差数列的定义如果一个数列 那么这个数列就叫做等差数列，这个 叫做等差数列的，通常用字母表示.2.等差数列的通项公式如果等差数列 an 的首项为q,公差为d,那么它的通项公式是,3.等差中项如果,那么A叫做a与b的等差中项.4.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广:an=am+(n,m C N*);(2)若a j为等差数列，且k+/=m+n(k,/,m,n N*)恻.(3)若a j是等差数列，公差为d,则曰2n也是等差数列，公差为一(4)若 a j,bn是等差数列，贝M pan+q bj也是(5)若a J是等差数列,则卜5ak+m5ak+2m5.(k,meN*)组成公差为二的 等差数列.5.等差数列的前n项和公式设等差数列便力的公差为d,其前n项和Sn=或S”=6.等差数列的前n项和公式与函数的关系d 2(d)Sn=n+a 1-n.2 I 2j数歹U a j是等差数列的充要条件是其前n项和公式Sn二f(n)是n的-_，即 S，7.在等差数列瓦中，a po.d c o,则s符在最Q值;若a iO,dO,则S於在 最一值.典例分析题型一等差数列的基本运算【例1】（2009安徽）已知%为等差数列吗+4+/=105,%+%+4=99.以S”表示%的前n项和，则使得S”达到最大值的n是（）A.21 B.20 C.19 D.18分析 用4、d表示出%+4+。5，。2+。4+。6，从而得到关于外,d的方程组,进而解出q,d的值，将S”表示为n的函数，再研究最值问题.解（4-%）+（%-%）+（4-%）=3。99105=3d,.d=-2又%+%+%=3%+6d=105,.，%=39（九 一1）d 2（d n 2 2 2.学后反思（1）数列a j是等差数列的判定方法有四种:-a”=d(n N*且n N2,d为常数)或 an+1-an=d(n e N*);a n+i+a”.二 2al i（n N*且n N2）;a 口=kn+b（k,b为常数）；511=人112+：61104为常数）.（2）判断等差数列最常用的方法是定义法a n+i-a”=d（n N*）和等差 中项法 a i+a-=2an（n eN*JLn 2）.举一反三2.已知非零实数a,b,c的倒数成等差数列，求证:土，土,巴”也成等差数列.a b c1 1 1 2 1 1解析：由一；，一成等差数列，得二一十 一当a+b+c WO时，两边同乘以 a bc Da c ia+b+C 得2（a+b+c）=a+b+C+b+c 化简得（；c）=_S+b a c b a c士二巴二山成等差数列；若a+b+c=O,则*山 各项均 a b c a b c为-1,也成等差数列.题型三等差数列性质的应用【例3】(1)(2008宁夏、海南)已知簿为等差数歹|1川+28=226=7，超5 的值；(2)等差数列a 0的前m项和为30,前2m项和为100,求它的前3m项的和.分析(1)由等差数列的性质23+a8=a6+25,即可求出5,或用a 1与d表 示出23,a g/6,根据已知条件列出关于a 1与d的方程组，隶出a 1与d的值，然后根据等差数列的通项公式求由$(2)由等差数列 a j的前n项和S”的性质：$皿和211171,53111-$2111也成等差数列,即由 2(100-30)=30+(S3m-10。)即可求出 S3m.解(1)方法一：由等差数列通项公式有+2d+n.1+7d 22,47,a +5d=7 d=-8,a5-al+4d=47-32=15.方法二：由等差数列的性质有:23+28=6+=a=15.(2)方法一：;Sm=al+a2+a m，S2m-Sm=a m+l+a m+2+a S3m S 2m=a2m+l+2m+2+3m(S2m-Sm)-Sm=m2d=(S3m-S2m)-(s2m-Sm).sm9s2m-sm?s3m-s2m 成等差数列.从而有 2(S2m Sm)=Sm+(S3m.s2m),.S3n l=3(S,1n.sm)=210.方法二：将Sm=30,S2m=100代入s=皿岭二Dd,n om(m-l)d得Jma 1+2=3()，2m(2m-l)d 2ma 1 H-=100,2.、e i曰 40 10 20由方程组仔1=丁/1=+-m m m 3m(3m-l)dS31n=3ma i+-=210.方法三：由等差数列 a j的前n项和公式知S。是关于n的二次函数，即Sn=An 2+Bn(A,B是常数)将S.=30,S2m=100代人,f 20 9 A-得 Am+Bm=30,m2?A(2m)2+B 2m=100 D 10D=,I mS3m=A(3m)2+B3m=210.,，-n(n-l)d学后反思(1)运用通项公式a n=a 1+(n-l)d和前n项和公式Sn=n a 1+-结合方程思想是解决此类问题的通用方法.(2)运用等差数列的性质解决此类问题更简捷,等差数列常用的性质有：a n是等差数列，且m+n=p+q,贝+an=ap+aq(m,n,p,q 6 N*);12是等差数列，Sn是前n项和，则Sm，S2m-Sm鸟m-S2m，仍然成等差数列.举一反三3.（2009滨州模拟）等差数歹”已。，3的前n项和分另l是S，T”3n-3,a6且SJ=7则消二（）2n+3 d63 6 27A.B.1 C.D.2 5 23解析：利用等差数列的性质，若m+n=p+q,则am+an=ap+a 4a,2a,所以b6 2b6l l(a i+a”)ai+an 2 sn 6b1+b11 U(bi+b”)Tn 5答案：c2题型四等差数列中的最值问题【例4】（12分）在等差数列a j中,已知a 1二20,前n项和为且S1=S5，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值.分析（1）由a 1=20,及S=S5,可求得d,进而求得通项，由通项得到此数列 前多少项为正，或利用S”是关于n的二次函数，利用二次函数求最值的方 法求解.（2）利用等差数列的性质，判断出数列从第几项开始变号.解方法一：V a1=2O,S1o=S15,10 x 20+10 x 9d=15 x 20+15x 14 5-d,二 d=-,2-32212 5 5 65 小-*an=20+(n-1)x-=-n+,.4I 3)3 3/.a13=0.6即当n 412时，a/0,m14时,0.8当n=12或13时，S”取得最大值，.10(八且最大值为Si2=S3=12x 20+-x-二1302 I 3 J方法二：同方法一求得d 二-3S(5、2n(n-1)=20n+-25 2-n6125+-n6I 3 J/、25(25)3125n-+-61 2)24|12,当11=12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12=S13.6=130.12,方法三:同方法一褊W.2,又由 Sio=S15,得an+a i2+a i3+a 14+&15=0.6rJ 5a13=0,即口=0.8当n=12或13时，s0有最大值，且最大值为S2=S3=13O.12学后反思 求等差数列前n项和的最值常用的方法：(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；(2)利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；(3)利用等差数列的前n项和Sn=An 2+Bn(A,B为常数)为二次函数，根 据二次函数的性质求最值.举一反三4.设等差数列a 3的前n项和为Sn，已知a?=12,S12 0,S13 凡,S2中哪一个值最大,并说明理由.解析：依题意，有S=12a +I2*(%Rd o,i=13a 1+戛 Rd 0,a 1+6d 0,得3+d 0,(2)方法一：由d a2 a3 .a12 a13.因此,若在14n Wl 2中存在自然数n,使得an 0,an+1 就是,s1 s2,.,s12 中的最大值.由=6(a 6+a7)0,S13=13a 7 0,a 7 05 a7 0，故在S,S2，.,S百$6的值最方法二：由d a2 a3.a12 a13.因此，若在1W12中存在自然数n,使得an 09an+1则就是电S2，.,S12中的最大值.fs120?_k30,2 13x 12 13a.+-d 02ai+ai2，a+a 13 0,n2a7 0,a6 2 0a 1+6d 0,2.当n2时，%+%=7,这说明从第三项2 3开始，后一项与前一项的差为同一个常数，而%-7.正解,J a2-ax=l,t z3-a2=（2t z2+3）-t z232a J不是等差数列.考点演练10.（2009海南）等差数列a J的前n项和为S-已知。机+i-。2m=，S2时i=38,则m=-.解析：在等差数列包中，由am_x+am+i-am=。得24n=a m,。加不恒为零，。加=2.由 S=38，得（2m-l）a=38,即2（2m-l）=38,.m=10.2 w1 m答案：1011.（2009江苏改编）设a j是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，满足.2+%2=a42+a5S7=7.求数列a J的通项公式及前n项和S解析：由题意，设等差数列bn的通项公式为%=4。由a 2?+a；-Q：+，得 2%+5d=0.又因为邑=7,所以%+3d=1.由可得%=-5,d=2.所以数列a J的通项公式a r 2n-7,n(-1)2S=na,-d=n 6n.212.在第十一届全运会举行期间，10月18日的金牌榜上有一组很有趣的 数字.山东、广东、天津、湖南四省市的名次成等差数列a j,四省市 所获金牌数成等差数列i.其中g=6血=25,四省市名次之和为30,而 广东省的金牌数是湖南省的2倍，试求四省市当天的名次及所获金牌数.解析：设等差数列匕、包的公差分别为4,2由%+%+%+%=30,得4。2+24=30,又=6，.=3 Q=3,3=9,。4=12.a=b、+d,=25+虑也=4+3d,=25+3d,乙 L 乙 乙 I I 乙 乙由题意=2b4，.，.25+B=2(25+342),:.d?5,b2=20,4=15,Z?4=10故山东、广东、天津、湖南四省市10月18日的名次分别为3,6,9,12,所获金牌数依次为25,20,15,10.第三节 等比数列及其前n项和基础梳理1.等比数列的定义或口果一1个数歹U_刃F么这个数列叫做等比数歹h 这个常数叫做等比数列的,通常用字7q表示.2,等比数列的通项公式设等比数列a j的首项为%,公比为q,则它的通项公式a o=,3.等比中项如果,那么G叫做a与卜的4.等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：an=(n,meN*).(2)若a J为等比数列,且k+/=m+n(k,n C N*),则；(3)若a n,bj(项数相同)是等比数列，贝IPan,K(an#0),a；,aneb,M*0)仍是等比数列.a j 也)5.等比数列的前n项和公式等比数歹4簿的公比为q(q WO),其前n项和为S,n当q=1时，Sn=n a 当q H1 时 Sn=a】+a1q+.+a1qn-1/I7 Sn=.Sn=6.等比数列前n项和的性质等比数列a n 的前n项和为Sn,则Sn，S2n-Sn，S3S2n(均不为。时)仍成 等比数列.典例分析题型一等比数列的基本运算【例1】已知数歹Ma J为等比数歹心(1)若a。0,且出包+2a 3a5+44a6=25,求生+q5；(2)%+q,+Qq=7必孙=8,求.J J /1,J L 4 tJ r 分析 首项和公比q是确定等比数列bn最基本的量，而已知条件可转 为关型1和q的方程.解(1)由已入口 a n0，且%+2%+%R=25,次口Q；/+2aq6+aq=25,即 a；q 4(+g 2)=25,.a”？(1+92)=5,故。3+。5=。14+44=a、q(1+夕)=5.(2)由已次口%+%+%=7,%4%=8,得/+。+%夕2=7 即勺(1+/)=7,/=8,4q=2,1+夕+/7两式相除得一=二，q 2即2夕2-5q+2=0,解得q=2或q=),当q=2时，%=1,%=2t 1 c 3一几当q=时，4=4,.%=2 2学后反思 在求等比数列基本量的运算中，“知三求二”问题通常是利用 通项公式与前n项和公式建立方程组，解之即可，同时利用前n项和公式 时需对q进行分类讨论.举一反三1.（2009浙江）设等比数列a J的公比q=L前n项和为则=2%解析:i-q.s4%(/)i-/1-2T=-i-.-=-=15%q(if)q(i-)Xxl23 2答案：15题型二等比数列的判定【例2】设数列a的前n项和sn=2an-2n.求证：an+1-2an 是等比数列.分析利用an+X=Sn+1-Sn来化简%+1-2%证明-5=2。721(2。-2n=2a+-2a 2田+2”=2%+i-2%-2.%+i=2%+2，%+24=2.所以%+1-2。是以2为首项，公比为2的等比数列.举一反三2.已知数列a j满足%=1,%讨=2%+1(n N).*求证：数歹Ma jl是等比数列.解析:a+1,.，.q 1+1=2(q+1),ri-ri n 7 n+1 n/1Q 口+1/.=2an+1.3+1是以q+1=2为首项,2为公比的等比数列.题型三等比数列的性质【例3】(1)在等比数列a 0中,a i+a2=324?a3+a4=369求+26的值；(2)等比数列a J中，=4,则a2 26等于()A.4 B.8 C.16 D.32分析(1)利用等比数列的性质求解.(2)合理利用等比中项求解.解(1)由等比数歹1的性质知为+%#3+24/5+%也成等比数歹卜 则(a3+a4)2=(a 1+a2)(a5+a6)5/.a5+a6=4.(2):数列a j为等比数列，.a2a6=a4=4=16，学后反思 在等比数列的基本运算问题中，一般是建立q、q满足的方程 组，求解方程组，但如果灵活运用等比数列的性质，便可减少运算量，提 高解题速度，要注意挖掘已知，注意“隐含条件”.举一反三3.(1)在等比数列3 中，s4=l,s8=3,则217+a18+a19+a20=()A.14 B.16 C.18 D.20解析:(1)因为54q4，斯28，斯6+262。-“成等比数列,而=L S&-S4=2,所以 a17+a18+a19+a20=S4 x 24=1 x 24=16.(2)在等比数列 中,已知a 3a 4a$=8,求a 2a 3a 4a 5a6的值.解析a 3a5=a；,.a 3a 4a5=a：=8,a4=2.-aq3.-a 4,.1鼻42&4a 432.Z O J J 4 7 Z J 4 3 O 4题型四等比数列的最值问题【例4】(12分)等比数歹a j的首项为%=2 008,公比q=；.(1)设f(n)表示该数列的前n项的积，求f(n)的表达式；(2)当n取何值时，f(n)有最大值？分析(1)求出等比数列的通项公式簿，然后根据(!)=444%求f(n)的 表达式.(2)先判断f(n)的符号，然后根据If(n)|的单调性，进一步解决问题.解(1).38x-“I 2jn(n-l)(1、2./=2008x-.2)2，.4Z当n 410时,v20082nI，金+公)厂20081,26,.*.|f(l l)|f(10)|.|f(l)|;当nl l时,|/(+1)|2008|/()|一 2 If(12)I.vf(11)0,f(10)0,f(12)0,f(n)的最大值为f(9)和f(12)中的最大者,.9Z/(9)(1、66 200812 x-I 2；9(i V620089 x-I 2j3(2008)/1O 2 71-.ire当n=12时,f(n)有最大值为/、66f 2,/(12)=200812 x.12z学后反思 只要明确的正负，q与1的大小关系即可确定等比数列的前n项 和的最值问题,但是对于求等比数列前n项积的最值问题的方法有:一是用定 义,若f(n)f(n+l),f(n)f(n-l),则f(n)为最大值;二是用函数法.举一反三4.(2009潍坊模拟)已知等比数歹M或与数列俨口满足包=3册(n N*).(1)判断a J是何种数列，并给出证明；(2)+%3=加，,02,20若&=3、氏+4=3，求4也也的最大值或最小值.解析：(1)匕是等差数列.证明：设化的公比为q(q0),勿二3.3%尸=3%.二 an=ai+(-l)l o g3 q a j是以l o g3 q为公差的等差数列.(2)+，二由等差数列的性质，得为+%o=%+%3=加(%+20)、20。+a 2+a20=-10m5.bb2 比20=3佝+“2+-+%=31Z(3)由44=39,得 4+。5=92%+6。=9 a 又%+&=3”.解得2%+8=3 d=_15 75即当=一厂=5时，s有最大值彳,x 2I 2；75即当n=5时，4也,也。有最大值R易错警示【例】已知一个等比数列的前四项之积为L,第2、3项的和为行，求这个等比数列的公比.16a a 3错解依题意，设这四个数为，一，。夕，畋(,1 小 q qUaq=6,q由得a=土；，代入并整理，得/2cq+1=0解得。=后土 1或口=-解 1,2 2故原等比数列的公比为=3+2后 或=3-271，错解分析 从表面上看，这种解法正确无误，但认真审查整个解题过a a o 2程，由于设这四个数为二,一，公比为，就等于规定了这个等比 q q数列各项要么同为正，要么同负，而例题中无此规定，错误就出在这里.正解 依题意，设这四个数为f 4 6_ 1则,16aq+aq2=y11解得q=3 2c 或q=-5 土 2面.考点演练10.(2009江苏)设仿J是公比为q的等比数列，|q|1,令bn=a(n=l,2,).若数列上有连续四项在集合-53,-23,19,37,82中,贝16q=-解析:由题意知,数列2有连续四项在集合-53,-23,19,37,82中，说明匕有连续四项在集合-54,-24,18,36,81中，由于a j中连续四 项至少有一项为负,q 0,又Iq l1,a j的连续四项为-24,36,-54,81,.36 3.,o q=-=,o q=-9.-24 2答案：-9IL设a j是由正数组成的等比数列，S,是其前n项和，求证:九解析：设a j的公比为q且q0,则Sm=%+”小 S2=aqSn+v:S S 讨一S =S(a、+qS(%+q S)S=aiSn+QSnSn+l aiSn+l SnSn+l=a(S S+i)=4%+i 0,.,.SnSn+2 Sn+i.由a J为正数列，.两边取对数可得：3 S；g S+2 是等比数列；=匕1=：7(keN*)g,=2k典例分析题型一利用常用公式求和-1【例1】已知l g3=:r,求S=%+，+/+/的值.l o g23分析由已知条件可求得x的值，再代入求S的值.n解,-11-_ l o g3 2-l o g3；，l o g23 21.X=2，Sn=X+/+d+.+/1=+2r i Vr i V/1 y+.+122 J1-/1 y2 J1-121，S=l-n22 J2 J二1 门丫0学后反思 利用常用求和公式求和是数列求和最基本最重要的方法.常用求 和公式有：(1)等差数列求和公式：s=（%+%）2=nax+（一 12nax(q 1)(2)等比数歹1J求和公式：S=1),设=a,b+也+.+abn,T=ayby-a+-1)1 a bri 1 1 乙 乙 Ki it it 1 1 乙 乙 /rin(n C N*).(1)若 =4=1,d=2,q=3,求S3 的值；2dq(l-q2n)(2)若4=1,证明：(l q)S2(l+q)Q=；2-(n N*).、q解析：由题设，可得%=2 1也=3t n CN*,所以S3=+q也+a 3b3=1x 1+3x 3+5x 9=55.(2)证明：由题设，可得=gT，则c,2,3,2-1S2n=a1+a2q+a3q+%/，T 2 3 2nlT2n=ax-a2q+a3q-aq+.-a2nq，-,得$2八T2n=2(%9+%夕3+2/)+，得邑及+以=2(%+/+.+。21/一2)，式两边同乘以q,得q92n+4)=2aq+a3q3+%.i/)，所以(1 q)S2“(l+q)T2=(S2七)一4(52+成)=2d(q+/+.+q 2i)2dq(1-q2n)=-；-，n C N*.1一 q题型三 利用裂项相消法求和【例2】(2008江西)等差数列/的各项均为正数,a】=3,前n 项和Sn，2的X为等比数歹Lbi=1,且62$2=64,b3s3=960 求a n与t n1 1 1求丁丁+1分析由条件易求得Sn=n(n+2),而工=-=()1；1 Sn n(n+2)2 n n+2应用裂项法求出1+二+“的值.解设0的公差为d/J的公比为q,则d为正数，an=3+(n-l)d9bn=qn l.依题意有42b2=(6+珈=64,(S3b3=(9+3d)q 2=960解得d=2或V去an=3+2(n-l)=2n+l,bn=8n 4l q=8 I q=一.(2)Sn=3+5+(2n+1)=n(n+2),1 1 1-1-F.H-S S2 sn1 1 1 1=-1-1-卜.H-1 x 3 2x 4 3x 5 n(n+2)2 2 n+1 n+2 4 2(n+l)(n+2)学后反思如果数列的通项公式可转化为f(n+1)-f(n)的形式，常采用裂项求和的方法,特别地，当数列形如一，其中是等差数列时，可.anan+l J1 1(1 1 尝试采用此法.常用裂项技巧如:-；1 1)-l n(n+k)k1n n+kj/=(Vn+k-，n)等.v n+k+V n k使用裂项法，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项；要 注意由于数列中每一项心均裂成一正一负两项，所以互为相反数的 项合并为零后，所剩正数项与负数项的项数必是一样多的，切不可漏写 未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点.实质上，正负项相消是 此法的根源和目的.举一反三2n+1 乙-十HPr _-t的刖几项矛口 Snn2(n+l)23.求数列，.Ix 22 22 x 32 32 x 42解析:.2n+1=1 1n2(n+I)2 n2(n+1)2/i A 1 1I 22 JH-1-1-H-o 2 o 2 人 2 2,1、22 3 3 4 n(n+1)n 2+2n(n+1)2 5+1)2题型四 倒序相加法求和【伤|3】设函数f(x)P是P1P2的中点，且p点的横坐标为-.1)莱证p点的纵坐标为定值，并求K这个值;q X-六图象上有两点Pi(x-y J P2(x2,y2)3X+V3 一1若(1 求f-(2、+f+.+f分析（1）由已知函数图象上两点P-P2可得,O X1 Q x2“3巧+百2-32+(2)根据(1)的结论：若X1/1 1 口 T)到 f+f=(n J k J解(1)证明：TP为PR的中点 x+x=1 y=八丁八2 1 P 2 3X1又+力=366+a/3(3x,+326+向3+3叼)设P(x,y),根据中点坐标公式去求y-+X2=1,则由f(X)+f(X2)=l 可以得 1,利用倒序相加进行求解.卜 3叼 _ C+1 C3X2+7?3X1 3X2+a/1y,+y0 12-1=1,y=.22(2)由 X+X21,得Yi+y2f(X】)+f(X2)=l,f(l)设Snf(2、+f+.+f_ 3-p 2(n-l A+f又Snfn 1 A(n J(n-2 A+f+.+fyr i ann+f n)5)、ynn、y.2Sn即Sn:l 441144!4#feH44444h粗+2f(1)=n+2-Si)个 in+*2学后反思本题在求和时，运用第(1)问所得等式f(x)+f(1-x)=l得 到通项的特征，即fg +fT=i(i=i2-，n)由于距首末 两项等距的两项相加和为定值，所以可以用倒序相加法求和.举一反三4.如果函数f(x)满足:对任意的实数m、n都有f(m)+f(n)=f(m+n)且 f(1 005)=2,f(2)+f(4)+f(6).+f(2 008)=.解析：由已知f(x)对任意实数m、n都有f(m)+f(n)=f(m+n),得f(1 005)+f(1 005)=f(2 010)=2+2=4;f(0)+f(2010)=f(2010)=4;f(2)+f(2 008)=f(2 010)=4;f(1 004)+f(1 006)=4.令S=f(0)+f(2)+f(4)+f(6)+.+f(2 008)+f(2010),则$=f(201