1_2分数阶线性随机动力系统的非平稳响应解析解_孔凡.pdf

第4期丛云跃等:工程结构多刚度尺度分析与模态理论文章编号:1 6 7 2-6 5 5 3-2 0 2 3-2 1(4)-0 2 3-0 0 9D O I:1 0.6 0 5 2/1 6 7 2-6 5 5 3-2 0 2 3-0 4 0 2 0 2 2-1 0-1 7收到第1稿,2 0 2 3-0 3-1 8收到修改稿.*国家自然科学基金资助项目(5 2 0 7 8 3 9 9),N a t i o n a lN a t u r a lS c i e n c eF o u n d a t i o no fC h i n a(5 2 0 7 8 3 9 9).通信作者E-m a i l:h a n r e n j i e t o n g j i.e d u.c n1/2分数阶线性随机动力系统的非平稳响应解析解*孔凡1 许伊键1 韩仁杰2 徐军3 洪旭1(1.合肥工业大学 土木与水利工程学院,合肥 2 3 0 0 0 9)(2.同济大学 土木工程学院,上海 2 0 0 0 9 2)(3.湖南大学 土木工程学院,长沙 4 1 0 0 8 2)摘要 提出随机激励作用下1/2分数阶线性系统非平稳响应解析解的一种新方法.首先,利用特征向量展开得到1/2分数阶阻尼系统的脉冲响应函数解析表达;之后,基于L a p l a c e变换计算得到响应功率谱密度的解析表达式和系统均方响应.通过白噪声、调制白噪声和调制修正金井清谱三种不同随机激励类型的数值算例,利用与蒙特卡洛模拟所得结果对比证明该方法的准确性和适用性.关键词 分数阶,特征向量展开,拉普拉斯变换,功率谱密度,均方响应中图分类号:O 3 2 1;O 3 2 4文献标志码:AA n a l y t i c a l S o l u t i o nf o rN o n-S t a t i o n a r yR e s p o n s eo f1/2-O r d e rF r a c t i o n a lL i n e a rS t o c h a s t i cD y n a m i c a l S y s t e m s*K o n gF a n1 X uY i j i a n1 H a nR e n j i e2 X uJ u n3 H o n gX u1(1.C o l l e g eo fC i v i lE n g i n e e r i n g,H e f e iU n i v e r s i t yo fT e c h n o l o g y,H e f e i 2 3 0 0 0 9,C h i n a)(2.C o l l e g eo fC i v i lE n g i n e e r i n g,T o n g j iU n i v e r s i t y,S h a n g h a i 2 0 0 0 9 2,C h i n a)(3.C o l l e g eo fC i v i lE n g i n e e r i n g,H u n a nU n i v e r s i t y,C h a n g s h a 4 1 0 0 8 2,C h i n a)A b s t r a c t I n t h i sp a p e r,an o v e lm e t h o d i sp r o p o s e d t oo b t a i na na n a l y t i c a l s o l u t i o n f o r t h en o n-s t a t i o n a-r yr e s p o n s eo f 1/2o r d e rs y s t e m su n d e rs t o c h a s t i ce x c i t a t i o n.T h em e t h o df i r s tu s e st h ee i g e n v e c t o re x-p a n s i o nt oo b t a i nt h ea n a l y t i c a l e x p r e s s i o no f t h e i m p u l s e r e s p o n s e f u n c t i o n.N e x t,a na n a l y t i c a l s o l u t i o nf o r t h er e s p o n s ep o w e r s p e c t r a l d e n s i t y i so b t a i n e db a s e do nt h eL a p l a c e t r a n s f o r m.T h r o u g ht h r e e i l l u s-t r a t i v en u m e r i c a le x a m p l e s,i n c l u d i n gs y s t e m ss u b j e c t e dt ow h i t en o i s e,m o d u l a t e dw h i t en o i s e,a n dm o d u l a t e dc o l o r e dn o i s ew i t hm o d i f i e dK a n a i-T a j i m i s p e c t r u m,t h er e s p o n s e so ft h ef r a c t i o n a ls y s t e m sa r eo b t a i n e da n a l y t i c a l l ya n dc o m p a r e d t o t h ep e r t i n e n tM o n t eC a r l oe s t i m a t e s t od e m o n s t r a t e t h e a c c u r a-c ya n da p p l i c a b i l i t yo f t h ep r o p o s e dm e t h o d.K e yw o r d s f r a c t i o n a l o r d e r,e i g e n v e c t o re x p a n s i o n,L a p l a c et r a n s f o r m,p o w e rs p e c t r a ld e n s i t y,m e a ns q u a r e dr e s p o n s e32动 力 学 与 控 制 学 报2 0 2 3年第2 1卷引言分数阶导数模型在工程和科学问题中应用十分广泛,包括机械、控制、生物学、经济学等领域1.在土木工程领域中,分数阶导数常用来描述黏弹性材料的本构关系.2 0世纪初,N u t t i n g2发现一些材料的应力松弛可被模拟为分数阶幂律的时间函数.之后,G e m a n t3提出利用分数阶导数表示黏弹性材料的刚度和阻尼特性;C a p u t o4利用分数算子描述黏弹性土的力学行为;B a g l e y和T o r v i k5则给出了分数阶微积分应用的物理解释.分数阶动力系统虽然具有简洁、准确的优势,但由于方程中存在非整数微分算子,求解动力响应存在较大困难.目前有若干方法用于计算分数阶确定性动力系统响应,包括L a p l a c e变换6、傅里叶变换7、数值模拟方法8,9、特征向量展开法1 0、平均方法1 1等,但他们很少关注随机动力系统.对于分数阶随机动力系统,一些研究者通常只关注系统的平稳响应,S p a n o s和Z e l d i n1 2提出了一种随机振动分析的频域方法;孔凡等1 3利用统计线性化方法得到随机和谐和联合激励下的分数阶系统的平稳响应;P i n n o l a1 4则利用特征向量展开和随机过程的复谱矩表征得到分数阶振子的平稳响应;H u a n g等1 5利用单自由度强非线性随机动力系统的随机平均法计算系统的稳态响应并考察稳定性;马颜颜等1 6同样利用随机平均法求解得到系统的稳态响应;A r t a l e等1 7利用残差定理确定了平稳高斯白噪声作用下的分数阶振子的整数阶和分数阶谱矩.另一些研究者在关注系统的平稳响应的同时也关注非平稳响应,如A g r a w a l1 8利用特征向量展开并利用时域卷积方法得到具有1/2阶阻尼的随机动力系统解析解;Y e等1 9利用傅里叶变换技术给出了分数阶动力系统在确定性和随机输入下响应的D u h a m e l积分型表达式和脉冲响应函数.虽然上述方法能够得到系统响应,但是需要利用双重数值积分,计算时间较长.C a o等2 0虽 然利用L a p l a c e变换和P r o n y-S S(S t a t e-S p a c em o d e l)算法得到了任意有理阶阻尼的随机动力系统的数值解,但它存在两个误差来源:一是通过傅里叶逆变换得到脉冲 响 应 函 数 时 忽 视 了 系 统 初 始 条 件;二 是P r o n y-S S法得到脉响函数指数形式时的数值误差.本文提出了一种计算1/2阶分数阶线性随机动力系统非平稳响应解析解的精确高效方法.主要利用S u a r e z和S h o k o o h1 0提出的特征向量展开法以求解分数阶系统脉冲响应函数,以及基于L a-p l a c e变换 求 解 随 机 动 力 响 应.数 值 算 例 采 用 与M o n t eC a r l o模拟对比的方法验证了所建议方法的精度.1 单自由度分数阶系统的响应考虑随机激励作用下具有分数阶导数阻尼的单自由度线性系统mD2x(t)+cDx(t)+k x(t)=f(t)(1)式中:m,c,k分别为系统质量、分数阶阻尼与刚度系数;f(t)为系统外部随机激励;D表示求导数;为分数阶导数阶数,根据R i e m a n n-L i o u v i l l e定义 DLx(t)=1(1-)ddtt0 x(t-)d,01(2)将上式两边同除以m可得D2x(t)+22-nDx(t)+2nx(t)=f*(t)(3)式中:n=k/m为自振频率;f*(t)=f(t)/m;为阻尼比.1.1 特征向量展开当=1/2时,式(1)所示的系统的脉冲响应函数具有简单的解析表达1 0.为此,将式(3)所示的运动方程写为1/2阶状态空间方程的形式.令z1=D3/2x(t),z2=Dx(t),z3=D1/2x(t),z4=x(t)(4)则有B D1/2z-Az=F(5)式中B=0 0 0 10 0 1 00 1 0 01 0 0a ,A=0 0 100 1 001 0 000 0 0-b (6)F=0 0 0f*(t)T且a=23/2n,b=2n.为求解式(5),可参照整数阶导数系统状态空间方程的特征向量展开方法,实现状态空间坐标解耦.为此,式(5)对应的特征值问题为Gj=jj(7)式中:42第4期孔凡等:1/2分数阶线性随机动力系统的非平稳响应解析解G=B-1A=0 0-a-b1 0000 1000 010 (8)且j为特征值;j为对应的特征向量.求解式(7)所示特征值问题即可得到4个特征值以及对应的特征向量,具体求解过程见文献1 0 附录.引入 y=y1,y2,y3,y4T,利用z=y(9)实现对式(5)的解耦,式中=1,2,3,4.将式(9)代入式(5),可得1/2阶D1/2y-G y=F(1 0)对式(1 0)左乘 Tj并利用特征向量的正交特性可得解耦后的1/2阶状态空间方程D1/2yj(t)-jyj(t)=4jf*(t)(1 1)式中4j=143j+a(1 2)为得到系统的位移响应,对式(1 1)进行L a-p l a c e变换得Yj(s)=4jF(s)+Rjs-j,j=1,2,3,4,(1 3)且Rj=D-1/2yj(t)|t=0.对式(1 3)进行L a p l a c e逆变换并结合式(4)和式(9)可得系统位移表达式x(t)=4j=14jL-1Yj(s)(1 4)式(3)右端为f*(t)=(t)/m时,式(1 4)即为系统脉冲响应函数.此时,脉冲响应函数为h(t)=1t4j=11m24j+4jRj+4j=1jm24jgj(t)+j4jRjgj(t)(1 5)式中:gj(t)=e2jt1+E r f(jt)(1 6)观察式(1 5),根据文献1 0 附录所示关系可得4j=124j=0,4j=1j24j=0,4j=1j4jRj=0(1 7)利用式(1 7)关系并考虑零初始条件,式(1 5)可化为h(t)=1m4j=1j/223j+3/2ngj(t)(1 8)1.2 均方响应求解激励为零均值随机激励时,式(1)所示的系统响应同样为零均值随机过程.考虑随机激励为非平稳随机过程的情况,即f(t)=a(t)fs(t)(1 9)式中,a()=Nl=1levl(2 0)为调 制 函 数,fs(t)为 平 稳 随 机 过 程.根 据D u-h a m e l积分X(t)=t0h(t-)a()fs()d(2 1)求响应均方值,即 EX(t1)X(t2)=t10t20h(t1-1)h(t2-2)a(1)a(2)RF(2-1)d1d2(2 2)式中:E 表示数学期望;RF表示平稳随机过程fs(t)的自相关函数.根据W i e n e r-K h i n c h i n定理,激励的相关函数与功率谱密度具有如下傅里叶变换对关系:RF()=-SF()ei d(2 3)SF()=12-RF()e-i d(2 4)将式(2 3)代入式(2 2)可得 EX(t1)X(t2)=t10t20h(t1-1)h(t2-2)a(1)a(2)-SF()ei(2-1)dd1d2(2 5)将式(2 5)改写为 EX(t1)X(t2)=-H(t1,)H-(t2,)SF()d(2 6)式中-表示复共轭,且H(t,)=t0h(t-)a()e-i d(2 7)将式(2 0)代入式(2 7)并将求和项移到积分符号外可得H(t,)=Nl=1t0h(t-)leld(2 8)式中:l=vl-i.令式(2 6)中t1=t2=t,利用激励功率谱密度和响应功率谱密度的关系可得均方响应为EX2(t)=-SX(t,)d(2 9)式中SX(t;)=|H(t,)|2SF()(3 0)观察式(2 9)-式(3 0)可知欲计算系统均方响52动 力 学 与 控 制 学 报2 0 2 3年第2 1卷应,需先得到H(t,).为此,利用时域卷积对应L a p l a c e域乘积的性质对式(2 8)进行L a p l a c e变换并考虑到式(1 8),可得 H(s,)=Nl=1h(s)ls-l=Nl=14j=1Ajmls-l1s-2j+js(s-2j)(3 1)式中:Aj=j/223j+3/2n(3 2)且上标表示L a p l a c e域的函数.利用极点留数定理将式(3 1)展开为多项式形式H(s,)=Nl=14j=1Ajml2j-l1s-2j-1s-+Ajmljs(2j-l)1s-2j-1s-(3 3)将式(3 3)进行L a p l a c e逆变换并注意到L-1(1s1s-a)=a-1/2ea tE r f(a t)(3 4)可得到频响函数H(t,)=1mNl=14j=14r=1AjEl j r(3 5)式中:El j1=l2j-le2jt(3 6)El j2=-l2j-lelt(3 7)El j3=l2j-le2jtE r f(jt)(3 8)El j4=-l2j-ljleltE r f(lt)(3 9)利用式(3 0)可得响应功率谱密度解析解SX(t,)=SF()m2Nl=1Nq=14j=14r=14k=14n=1AjA-kEl j rE-q k n(4 0)激励项不含调制函数,即式(2 0)中l=1,vl=0,且N=1时,式(4 0)退化为SX(t,)=SF()m24j=14r=14k=14n=1AjA-kEj rE-k n(4 1)得到响应的解析功率谱密度后,利用式(2 9)和数值积分方法即可得到非平稳均方响应均方值.2 数值算例为验证所提方法的正确性,作为演示数值算例,给出随机激励为白噪声、调制白噪声和具有调制修正金井清功率谱的情形.考虑归一化的1/2阶分数阶系统D2X()+2D1/2X()+X()=f()(4 2)式中=nt(4 3)X=xx(4 4)=/n(4 5)f()=f*(/n)m x2n(4 6)SF()=SF()2x3n(4 7)且2x=-SF()1-m 2+k+2m3/2n(i)1/22d(4 8)2.1 白噪声考虑激励为白噪声时的情况.归一化后激励功率谱密度由式和式给出,此时系统参数为m=1,k=1.选择=0.1,截止频率为u=3 2,=1/3 2.若未作特殊说明,其他数值算例参数均与上述一致.图1 白噪声作用下系统响应的均方值F i g.1 R e s p o n s em e a ns q u a r ev a l u eo f t h e f r a c t i o n a l s y s t e ms u b j e c t t ow h i t en o i s e采用与蒙特卡洛模拟(M o n t eC a r l oS i m u l a-t i o n,MC S)结果对比的方式验证建议方法.文章建议方法计算得到的响应均方差与1 0 0 0 0条样本的蒙特卡洛模拟得到的结果对比如图1所示.从图中可以得知,无论瞬态还是稳态响应,建议理论方法计算的均方值能很好地符合模拟结果.图2和图362第4期孔凡等:1/2分数阶线性随机动力系统的非平稳响应解析解图2 白噪声作用下系统响应的功率谱密度F i g.2 R e s p o n s eP S Do f t h e s y s t e ms u b j e c t t ow h i t en o i s e.A n a l y t i c a l s o l u t i o no b t a i n e db y t h ep r o p o s e dm e t h o d图3 白噪声作用下由谐和小波估计的响应功率谱密度F i g.3 R e s p o n s eP S Do f t h e s y s t e ms u b j e c t e d t ow h i t en o i s e.P S Di s e s t i m a t e db yh a r m o n i cw a v e l e t o v e r 1 0,0 0 0s a m p l e r e s p o n s e s图4 白噪声作用下不同时刻的响应功率谱密度F i g.4 R e s p o n s eP S Da td i f f e r e n t t i m e i n s t a n t so f t h es y s t e ms u b j e c t t ow h i t en o i s e分别给出了由所建议方法计算和广义谐和小波(G e n e r a l i z e d H a r m o n i c W a v e l e t,GHW)估 计(1 0 0 0 0样本响应)得到的时频域中的响应功率谱密度;图4则给出了不同时刻下响应的功率谱密度.可以看出,建议方法(PM)能较好地给出功率谱密度在时间起始处的瞬态时频分布,而基于MC S的广义 谐 和 小 波 估 计(HME)则 由 于 边 缘 效 应(E n dE f f e c t)未能给出合理的瞬态时频分布.此外,由于瞬态响应逐渐耗散且系统阻尼较弱,响应功率谱密度带宽随时间推移逐渐变窄.图5表明了所提方法在不同激励强度作用下的适用性.图5 不同强度白噪声激励下系统响应的均方值F i g.5 R e s p o n s em e a ns q u a r e dv a l u eo f t h e f r a c t i o n a l s y s t e ms u b j e c t t ow h i t en o i s ew i t hd i f f e r e n tP S D2.2 调制白噪声考察激励为调制白噪声的情况.为方便计算且不失一般性,调制函数参数选为1=2=4,v1=-0.0 5,v2=-0.1,如图6所示;其他参数选取与白噪声情况相同.利用文章所建议方法和M S C所得响应均方值的对比如图7所示.可见,所建议方法能很好地符合MC S结果;响应峰值到达的时间较调制函数晚.图6 调制函数F i g.6 M o d u l a t i n gf u n c t i o n72动 力 学 与 控 制 学 报2 0 2 3年第2 1卷图7 调制白噪声作用下由建议方法得到的系统响应功率谱密度F i g.7 R e s p o n s em e a ns q u a r ev a l u eo f t h e f r a c t i o n a l s y s t e ms u b j e c t t om o d u l a t e dw h i t en o i s e图8 调制白噪声激励下响应的均方值F i g.8 P S Ds u r f a c eo f t h e s y s t e ms u b j e c t t om o d u l a t e dw h i t en o i s e.A n a l y t i c a l s o l u t i o no b t a i n e db yt h ep r o p o s e dm e t h o d图9 调制白噪声作用下由谐和小波估计的响应功率谱密度F i g.9 R e s p o n s eP S Do f t h e s y s t e ms u b j e c t e d t om o d u l a t e dw h i t en o i s e.P S D i s e s t i m a t e db yh a r m o n i cw a v e l e t o v e r 1 0,0 0 0s a m p l e r e s p o n s e s图8和图9分别给出了所建议方法计算和广义谐和小波基于1 0 0 0 0条样本响应估计的响应功率谱密度.可见,两种方法得到的结果吻合较好,但边缘效应仍造成了时间开始处响应功率谱密度失实.图1 0进一步给出了不同时刻处系统响应瞬时功率谱密度对比,其中标志线为MC S结果.由图可见,两种方法得到的结果吻合较好,功率谱密度幅值随时间和频率均呈现先升后降的趋势;不同时刻处,响应功率谱密度峰值对应的频率位置均处于自振频率附近;响应功率谱密度带宽随着时间推移而变窄.图1 0 调制白噪声作用下不同时刻的响应功率谱密度F i g.1 0 R e s p o n s eP S Da td i f f e r e n t t i m e i n s t a n t so f t h es y s t e ms u b j e c t t om o d u l a t e dw h i t en o i s e图1 1 调制白噪声作用下不同阻尼比的系统响应均方值F i g.1 1 R e s p o n s em e a ns q u a r e dv a l u e f o r s y s t e m sw i t hd i f f e r e n td a m p i n gr a t i o ss u b j e c t t om o d u l a t e dw h i t en o i s e研究具分数阶阻尼比不同时,所建议方法在计算响应均方值时的适用性.分别取=0.0 5,0.1,0.2,对应的响应均方值如图1 1所示.由图可见,阻尼比越大,系统响应达到峰值的速度越快.注意到,阻尼越大,系统响应均方值越大,这是由阻尼比不同导致的归一化系统激励大小不同造成的.2.3 调制修正金井清谱隔震结构隔震层中采用的橡胶是一种黏弹性82第4期孔凡等:1/2分数阶线性随机动力系统的非平稳响应解析解材料,它的力学性能可很好地利用分数阶导数模型描述.在地震工程中应用该方法时,需考察激励为调制色噪声的情况.地震工程中常见的金井清(K a-n a i-T a j i m i)谱在低频范围内存在较大误差,因而采用激励功率谱密度为修正金井清谱2 1的情况,即SF=2g2(2g-2)2+42g2g2S0(4 9)式中:S0为基岩白噪声的谱密度;g和g分别是覆土层的特征频率和特征阻尼比.根据鹿磊等2 2所提参数取法,假设场地为二类二组,设防烈度为7度,取g=1 5.7 1 r a d/s,g=0.7 2,S0=1 6.0 5.如式所示的非正归化系统参数为n=1 5.7 1 r a d/s,=0.1;调 制 函 数 选 择 的 参 数 为1=2=4,v1=-0.4,v2=-0.8.系统模型频率参数的选择直接采用最不利情况,即系统自然频率与场地卓越频率相同的情况.修正金井清谱如图1 2所示,可见该地震地面运动加速度谱改进了金井清谱零频处幅值不为零的缺点.图1 2 修正金井清谱F i g.1 2 M o d i f i e dK a n a i-T a j i m i s p e c t r u m文章所建议方法计算与MC S估计所得响应均方差对比如图1 3所示,可见,二者之间几乎完全吻合.图1 4和图1 5分别给出了时频域内响应时变功率谱密度的理论和模拟结果,二者在峰值水平、峰值出现时间和频率、上升和下降趋势等方面均定性吻合.此外,图1 6给出了不同时刻处瞬时功率谱密度的理论和模拟结果对比.与前两例相同,除时间点始处由于小波变换边缘效应吻合不好以外,两种方法给出的结果能在其他时间点吻合较好.此外,瞬时功率谱密度体现出随时间推移而频带变宽的特点.图1 7给出了阻尼比不同时由所建议方法计算和MC S估计得到的响应均方值对比.可见,阻尼比越大,峰值越小且峰会时间越提前.所建议方法在阻尼比具有不同值时均具体较好的精度.图1 3 调制修正金井清谱激励作用下响应的均方值F i g.1 3 R e s p o n s em e a ns q u a r ev a l u eo f t h es y s t e ms u b j e c t t om o d u l a t e dc o l o r e dn o i s ew i t hm o d i f i e dK Ts p e c t r u m图1 4 调制修正金井清谱随机激励作用下系统响应的功率谱密度F i g.1 4 P S Do f r e s p o n s es u b j e c t t om o d u l a t e dm o d u l a t e dm o d i f i e dK a n a i-T a j i m i s p e c t r u m图1 5 调制色噪声(修正金井清谱)作用下由谐和小波估计的响应功率谱密度F i g.1 5 R e s p o n s eP S Do f t h es y s t e ms u b j e c t e dt om o d u l a t e dc o l o r e dn o i s ew i t hm o d i f i e dK Ts p e c t r u m.P S Di se s t i m a t e db yh a r m o n i cw a v e l e to v e r1 0,0 0 0s a m p l er e s p o n s e s92动 力 学 与 控 制 学 报2 0 2 3年第2 1卷图1 6 调制修正金井清谱作用下不同时刻的响应功率谱密度F i g.1 6 R e s p o n s eP S Da td i f f e r e n t t i m e i n s t a n t so f t h es y s t e ms u b j e c t t om o d u l a t e dc o l o r e dn o i s ew i t hm o d i f i e dK Ts p e c t r u m图1 7 调制色噪声(修正金井清谱)作用下不同阻尼比系统响应均方值F i g.1 7 R e s p o n s em e a ns q u a r ev a l u e f o r s y s t e m sw i t hd i f f e r e n td a m p i n gr a t i o ss u b j e c t t om o d u l a t e dc o l o r e dn o i s ew i t hm o d i f i e dK Ts p e c t r u m3 结论文章提出了一种计算非平稳随机激励作用下线性分数阶系统非平稳响应功率谱密度和均方值的解析方法.方法的关键之处是利用分数阶动力方程的状态空间特征向量展开法得到1/2分数阶系统脉冲响应函数,并基于L a p l a c e变换计算得到了系统在随机动力系统分别在白噪声、调制白噪声、调制修正金井清谱等不同激励作用下的非平稳响应.考察了不同时刻下响应功率谱密度特征以及阻尼比对随机动力系统响应的影响.与蒙特卡洛模拟的对比证明了文章所建议方法的准确性.该方法的意义在于,只要知道随机激励的功率谱密度表达式,就能够立即得到分数阶系统响应功率谱密度的精确表达式,通过常规数值积分便可方便地得到系统的非平稳均方响应.因此,其计算高效性可进一步为分数阶动力系统参数优化服务.文章所建议方法关注1/2阶阻尼的线性随机动力系统,对于其他有理数阶导数同样适用;但此时会由于脉冲响应函数为无穷级数而导致截断误差.该方法有待进一步推广到完全非平稳随机动力激励下单/多自由度非线性和/或任意分类阶动力系统.参考文献1S UN H G,YON GZ,B A L E ANUD,e ta l.An e wc o l l e c t i o no f r e a lw o r l da p p l i c a t i o n so f f r a c t i o n a l c a l-c u l u si ns c i e n c ea n de n g i n e e r i n gJ.C o mm u n i c a-t i o n si n N o n l i n e a rS c i e n c ea n d N u m e r i c a lS i m u l a-t i o n,2 0 1 8,6 4.2NUT T I N GPG.An e wg e n e r a l l a wo fd e f o r m a t i o nJ.J o u r n a lo ft h eF r a n k l i nI n s t i t u t e,1 9 2 1,1 9 1(5):6 7 9-6 8 5.3G EMAN T A.A m e t h o do fa n a l y z i n ge x p e r i m e n t a lr e s u l t so b t a i n e d f r o m e l a s t o-v i s c o u s b o d i e sJ.P h y s i c s,1 9 3 6,7(8):3 1 1-3 1 7.4C A P UT O M.L i n e a rm o d e l so fd i s s i p a t i o nw h o s eQi sa l m o s t f r e q u e n c y i n d e p e n d e n t-J.G e o p h y s i c a lJ o u r n a l I n t e r n a t i o n a l,1 9 6 7,1 3(5):5 2 9-5 3 9.5B A G L E YRL,TO R V I KPJ.O nt h e f r a c t i o n a l c a l-c u l u sm o d e lo fv i s c o e l a s t i cb e h a v i o rJ.J o u r n a lo fR h e o l o g y,1 9 8 6,3 0(1):1 3 3-1 5 5.6B A G L E YRL,TO R V I KPJ.F r a c t i o n a l c a l c u l u s i nt h et r a n s i e n t a n a l y s i s o f v i s c o e l a s t i c a l l y d a m p e ds t r u c t u r e sJ.A I AAJ o u r n a l,1 9 8 5,2 3(6):9 1 8-9 2 5.7GAU L L,K L E I N P,K EMP F L E S.I m p u l s er e-s p o n s e f u n c t i o no f a no s c i l l a t o rw i t h f r a c t i o n a l d e r i v-a t i v ei nd a m p i n gd e s c r i p t i o nJ.M e c h a n i c s R e-s e a r c hC o mm u n i c a t i o n s,1 9 8 9,1 6(5):2 9 7-3 0 5.8KOH CG,K E L L YJM.A p p l i c a t i o no ff r a c t i o n a ld e r i v a t i v e s t os e i s m i ca n a l y s i so fb a s e-i s o l a t e dm o d-e l sJ.E a r t h q u a k eE n g i n e e r i n g&S t r u c t u r a lD y-n a m i c s,1 9 9 0,1 9(2):2 2 9-2 4 1.9S HOKOOH A,S U R E ZL.Ac o m p a r i s o no fn u-m e r i c a l m e t h o d sa p p l i e dt oaf r a c t i o n a l m o d e lo fd a m p i n g m a t e r i a l sJ.J o u r n a lo f V i b r a t i o na n dC o n t r o l,1 9 9 9,5(3):3 3 1-3 5 4.1 0S UA R E ZLE,S HOKOOH A.A ne i g e n v e c t o re x-p a n s i o nm e t h o d f o r t h e s o l u t i o no fm o t i o nc o n t a i n i n gf r a c t i o n a ld e r i v a t i v e sJ.J o u r n a lo fA p p l i e d M e-03第4期孔凡等:1/2分数阶线性随机动力系统的非平稳响应解析解c h a n i c s,1 9 9 7,6 4(3):6 2 9-6 3 5.1 1WAH IP,CHA T T E R J E EA.A v e r a g i n go s c i l l a t i o n sw i t hs m a l lf r a c t i o n a ld a m p i n ga n d d e l a y e dt e r m sJ.N o n l i n e a rD y n a m i c s,2 0 0 4,3 8(1):3-2 2.1 2S P ANO SPD,Z E L D I NBA.R a n d o mv i b r a t i o no fs y s t e m s w i