课时跟踪检测(十三)球.doc

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课时跟踪检测（十三） 球
层级一　学业水平达标
1．直径为6的球的表面积和体积分别是(　　)
A．36π，144π　　　　　　　　　　 B．36π，36π
C．144π，36π D．144π，144π
解析：选B　球的半径为3，表面积S＝4π·32＝36π，体积V＝π·33＝36π.
2．两个半径为1的铁球，熔化成一个大球，这个大球的半径为(　　)
A．2 B.
C. D.
解析：选C　设熔化后的球的半径为R，则其体积是原来小球的体积的2倍，即V＝πR3＝2×π×13，得R＝.
3．若一个圆锥的底面半径和一个半球的半径相等，体积也相等，则它们的高度之比为(　　)
A．2∶1 B．2∶3
C．2∶π D．2∶5
解析：选A　设半球的半径为r，圆锥的高为h，
则πr2h＝πr3×，
所以h＝2r，故选A.
4．棱长为2的正方体的外接球的表面积是(　　)
A．8π B．4π
C．12π D．16π
解析：选C　正方体的体对角线长为2，即2R＝2，∴R＝，S＝4πR2＝12π.
5．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是(　　)

A．9π B．10π
C．11π D．12π
解析：选D　由主视图可知，该几何体的上部分是半径为1的球，下部分是底面半径为1，高为3的圆柱．由面积公式可得该几何体的表面积S＝4π×12＋2π×12＋2π×1×3＝12π.
6．若一个球的表面积与其体积在数值上相等，则此球的半径为________．
解析：设此球的半径为R，则4πR2＝πR3，R＝3.
答案：3
7．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________．

解析：由三视图，易知原几何体是个半球，其半径为1，S＝π×12＋×4×π×12＝3π.
答案：3π
8．两个球的半径相差1，表面积之差为28π，则它们的体积和为________．
解析：设大、小两球半径分别为R，r，
则
所以
所以体积和为πR3＋πr3＝.
答案：
9．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积．

解：该组合体的表面积
S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π，该组合体的体积V＝πr3＋πr2l＝π×13＋π×12×3＝.
10．若一个底面边长为，侧棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，求该球的体积和表面积．
解：在底面正六边形ABCDEF中，如图，连接BE，AD交于点O，连接BE1，则BE＝2OE＝2DE，所以BE＝，
在Rt△BEE1中，
BE1＝＝2，
所以2R＝2，则R＝，
所以球的体积V球＝πR3＝4π，
球的表面积S球＝4πR2＝12π.
层级二　应试能力达标
1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于(　　)

A．4π　　　　　　　　　　 B．8π
C．12π D．20π
解析：选D　由三视图可知，该几何体为底面半径是2，高为2的圆柱体和半径为1的球体的组合体，则该几何体的表面积为4π×12＋2π×22＋4π×2＝20π.
2．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为(　　)
A. B．16π
C．9π D.
解析：选A　如图所示，设球半径为R，底面中心为O′且球心为O，
∵正四棱锥P­ABCD中AB＝2，
∴AO′＝.
∵PO′＝4，
∴在Rt△AOO′中，AO2＝AO′2＋OO′2，
∴R2＝()2＋(4－R)2，解得R＝，
∴该球的表面积为4πR2＝4π×2＝，故选A.
3．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为(　　)
A. B.
C．8π D.
解析：选C　设球的半径为R，则截面圆的半径为，
∴截面圆的面积为S＝π()2＝(R2－1)π＝π，
∴R2＝2，
∴球的表面积S＝4πR2＝8π.
4．一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)

A．200＋9π　　　　　　　　 B．200＋18π
C．140＋9π D．140＋18π
解析：选A　这个几何体由上、下两部分组成，下半部分是一个长方体，其中长、宽、高分别为6＋2＋2＝10,1＋2＋1＝4,5；上半部分是一个横放的半圆柱，其中底面半径为＝3，母线长为2，
故V＝10×4×5＋π×32×2＝200＋9π.
5．(天津高考)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为，则正方体的棱长为________．
解析：设球半径为R，正方体棱长为a，则V球＝πR3＝π，得到R＝，正方体体对角线的长为a＝2R，则a＝，所以正方体棱长为.
答案：

6．(全国卷Ⅰ)已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为________．
解析：如图，设球O半径为R，则BH＝R，OH＝，截面圆半径设为r，则πr2＝π，r＝1，即HC＝1，由勾股定理得R2－2＝1，R2＝，S球＝4πR2＝π.
答案：π
7．如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积．(其中∠BAC＝30°)
解：如图所示，
过C作CO1⊥AB于O1.
在半圆中可得∠BCA＝90°， ∠BAC＝30°，AB＝2R，
∴AC＝R，BC＝R，CO1＝R，
∴S球＝4πR2，
S圆锥AO1侧＝π×R×R＝πR2，
S圆锥B O1侧＝π×R×R＝πR2，
∴S几何体表＝S球＋S圆锥AO1侧＋S圆锥B O1侧
＝πR2＋πR2＝πR2.
故旋转所得几何体的表面积为πR2.

8．求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥(轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥)的体积之比．
解：如图，等边△SAB为圆锥的轴截面，此截面截圆柱得正方形C1CDD1，截球面得球的大圆O1.
设球的半径O1O＝R，则它的外切圆柱的高为2R，底面半径为R；
OB＝O1O·cot 30°＝R，
SO＝OB·tan 60°＝R·＝3R，
∴V球＝πR3，V柱＝πR2·2R＝2πR3，
V锥＝π·(R)2·3R＝3πR3，
∴V球∶V柱∶V锥＝4∶6∶9.