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勾股定理分类练习题
勾股定理的验证与证明
1.如图，每个小正方形的边长是1，图中三个正方形的面积分别是S1、S2、S3，则它们的面积关系是　　　　　　　　，直角△ABC的三边的关系是　　　　　　　　　　　　.

2.如图，是由四个全等的Rt△拼成的图形，你能用它证明勾股定理吗？

3.如图，是由四个全等的Rt△拼成的图形，你能用它证明勾股定理吗？

4.如图，已知∠A＝∠B＝90°且△AED≌△BCE，A、E、B在同一直线上.根据此图证明勾股定理.

以勾股定理为基础的有趣结论
1.如图， 根据所标数据，确定正方形的面积A＝　　　　，B＝　　　　，C＝　　　.

2. 如图1中,64、400分别为所在正方形的面积，则图中A 字母所代表的正方形面积是

3.以某直角三角形三边分别作三个正方形，其中两个正方形的面积分别为25和12，则第三个正方形的面积为___________________.

4. 如图，以Rt△ABC的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．

4、 如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S1、S2、S3，则它们之间的关系是（ ）
5.如图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若正方形A、B、C、D的面积分别为2,5,1,2,则最大的正方形E的面积_______.

6.如图，所有的四边形都是正方形所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为6cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2。

7、在直线上依次摆放着七个正方形（如图所示）。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是、=_____________。

8. 求阴影部分面积：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆．

“知二求一”的题，可以直接利用勾股定理
1.在Rt△ABC中，∠C=90°
①若a=5，b=12，则c=___________；
②若a=15，c=25，则b=___________；
③若c=61，b=60，则a=__________；

2.在中，．
⑴已知，．求的长
⑵已知，，求的长

3、斜边的边长为，一条直角边长为的直角三角形的面积是______________．
5.已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（　　）
A．25 B．14 C．7 D．7或25
6.在中，斜边长=5，则的值为（ ）
A.18 B.9 C.25 D.无法计算
7.一个直角三角形的三边长的平方和为200，则斜边长为___________;
8.在中，， ，则点到的距离是（ ）
A.8 B.9 C.10 D.11
9.在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是(3,4)，则OP的长为（ ）
A.3 B.4 C.5 D.
10. 若直角三角形的两直角边长为，且满足，则该直角三角形的斜边长为___________。
11.△ABC中，AB=AC=17cm，BC=16cm，AD⊥BC于D，则AD=＿＿＿。
12.如图AB=BC=CD=DE=1,AB⊥BC,AC⊥CD,AD⊥DE,则AE的长为________

13.如图，在四边形ABCD中，∠BAD =，∠DBC =，AD = 3，AB = 4，BC = 12，求CD；

14.已知直角三角形中角所对的直角边长是，则另一条直角边的长是（ ）
A、4 B、 C、 D、

16. 已知△ABC，∠A=90 °， ∠B=30°,AB=5，求AC,BC的值.

15.把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的__________.

16.如图从电线杆离地面3米处向地面拉一条长为5米的拉线，这条拉线在地面的固定点距离电线杆底部有 米.
图2

17. 如图，从电线杆离地面6 m处向地面拉一条长10 m的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有多远？

18..如下左图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需________米．

19..种盛饮料的圆柱形杯（如上右图），测得内部底面半径为2.5㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6㎝，问吸管要做 ㎝。

20..如下左图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了__________步路（假设2步为1m），却踩伤了花草。

21..如上右图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树

22. 在一次台风的袭击中，小明家房前的一棵大树在离地面6米处断裂，树的顶部落在离树根底部8米处，你能告诉小明这棵树折断之前有　____ 　m。

23.如图，小红欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达B点200m，结果他在水中实际游了520m，则该河流的宽度AB为 。

24.一架梯子AB的长度为25米，如图斜靠在墙上，梯子底端离墙底端BC为7米。
（1）这个梯子顶端离地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向滑动了几米？

25、一架长2.5的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7（如图），如果梯子的顶端沿墙下滑0.4，那么梯子底端将向左滑动多少米？

26. 如图，一架梯子AB靠在墙上，梯子的底端到墙根的距离为，梯子的顶端到地面的距离为，现将梯子的底端向外移动到到墙根的距离等于，同时梯子的顶端下降到，那么梯子的顶部在竖直方向上向下滑动了多少米?

27.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是（ ）

等面积法求高
1.如图，△ABC中，∠ACB=900，AC=7，BC=24，CD⊥AB于D。
（1）求AB的长；
（2）求CD的长。

2.直角三角形的两直角边分别为5、12，则斜边为_________，三角形的面积为_______，斜边上的高为 ＿＿＿.
3.在中，，，，于，＝　　　　
4.直角三角形的两直角边分别为5厘米、12厘米，则斜边上的高是（ ）
A. 6厘米 B. 8厘米 C. 厘米 D. 厘米
5.直角三角形两直角边长分别为3和4，则它斜边上的高为__________.
6.直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_________．

应用勾股定理建立方程（“知一求二”的题，应设未知数）
1.在△ABC中，∠C＝90°，若c＝10，a∶ b＝3∶4，则这个三角形的两直角边长分别是_______，_______，这个三角形的周长是_______，面积是_________.
2.已知在Rt△ABC中，∠C=，若 ， ．
3.直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为______________
4.已知直角三角形的周长为，斜边长为，则这个三角形的面积为　　　　　.
5.等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积是_____________.
6.已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是________________.

7.如图,小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端,绳子末端刚好接触到地面,然后将绳子末端拉到距离旗杆8 m处,发现此时绳子末端距离地面2 m.则旗杆的高度(滑轮上方的部分忽略不计)为______________________________.

8.小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他算出来吗？

9.如图，有两只猴子在一棵树CD高5m的点B处，它们都要到A处的池塘去喝水，其中一只猴子沿树爬下走到离树10m处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直线越向池塘的A处．如果两只猴子所经过的路程相等，这棵树高有多少米？

10.如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA垂直AB于A，CB垂直AB于B，已知AD=15km，BC=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站建在距A站多少千米处？

11.如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC于M，交AB于N，若AC=4，MB=2MC，求AB的长．

折叠问题
1.如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？

2.如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使AC恰好落在斜边AB上，且点C与点E重合，求CD的长。

3.如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD等于多少？

4.如图,矩形纸片ABCD中,已知AD=4,折叠纸片使AB边与对角线AC重合,点B落在点F处,折痕为AE,且EF=.则AB的长为( )

5.如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF的长。

6.已知，如图，长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（　　）
A． 6cm2 B． 8cm2 C． 10cm2 D． 12cm2

7.如图,在长方形纸片ABCD中,已知AB=4,AD=3,折叠纸片使AD边与对角线BD重合,折痕为DG,则AG的长为______

9.如图将长方形ABCD沿直线AE折叠,顶点D恰好落在BC边上点F上,已知CE=3,AB=8,求图中阴影部分的面积

10.如图,长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠,设点D落在D'处,BC交AD'于点E,AB=6 cm,BC=8 cm,求阴影部分的面积.

11.如图2-3，把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在C′的位置上，已知AB=3，BC=7，重合部分△EBD的面积为________．

勾股定理在非直角三角形中的应用
1.若△ABC中，，高AD=12,则BC的长为（ ）
A、14 B、4 C、14或4 D、以上都不对
2．等腰三角形ABC的面积为12㎝2，底上的高AD＝3㎝，则它的周长为 ㎝.
3.已知，在△ABC中，∠A= 45°，AC= ，AB= +1，则边BC的长为 ．

4.某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要__________元．

5.如图，ΔABC中，AC＝12，∠B＝45°，∠A＝60°.求ΔABC的面积.

6.在直角三角形ABC中，角C=90度，AC=4，BC=3，在直角三角形ABC的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形，求出等腰三角形的底边长。

利用勾股定理求不规则图形的面积
1.如图，每个小正方形的边长都是1，求图中格点四边形ABCD的面积.

2.如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个得到，可得△ABC，则边AC上的高为（ ）

3..如图，∠B＝∠D＝90°，∠A＝60°，AB＝4，CD＝2. 求四边形ABCD的面积.

4.已知：如图，四边形ABCD中，∠B，∠D是直角，∠A=45°，若DC=2cm, AB=5cm, 求AD和BC的长.

5.如图，四边形ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm，CD＝12cm，DA＝13cm，且，求四边形ABCD的面积。

6.如图，四边形ABCD中，AD＝1cm，BC＝2cm，AB＝2cm，CD＝3cm，且
∠ABC＝90度，求四边形ABCD的面积

7.如图是一块地，已知AD=8m，CD=6m，∠D=90°，AB=26m，BC=24m，求这块地的面积。

8.三角形ABC中，AB=5，AC=3，BC边上的中线AD=2，求三角形ABC的面积？

利用勾股定理求最值
A
B
1.一只蚂蚁从长为4cm、宽为3 cm，高是5 cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是____________cm.

B
C
A
20
15
10
2.如图，边长为1的立方体中，一只蚂蚁从A顶点出发沿着立方体的外表面爬到B顶点的最短路程是（　　）
A、3 B、 C、 D、1

3.如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高 为20cm，点B到点C的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从A点爬到B点，需要爬行的最短距离是多少？

4．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点离点的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是（　　　）
5
20
15
10
C
A
B

A． B．25 C． D．

6.如图一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行_________.

7. 如图所示，无盖玻璃容器，高18，底面周长为60，在外侧距下底1的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口1的F处有一苍蝇，试求急于扑货苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度.

8.如图,圆柱形容器高为18 cm,底面周长为24 cm,在杯内壁离杯底4 cm的点B处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿2 cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为________cm.

（第4题）
9.圆柱的底面周长为24,高为10,一只蚂蚁从A点出发,沿着圆柱的侧面爬行到BC的中点S的最短路程为______
10. 如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．

旋转问题
1.如图所示，P为正方形ABCD内一点，将ABP绕B顺时针旋转到CBE的位置，若BP=，求：以PE为边长的正方形的面积

2.如图2-9，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内一点，满足PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC的度数．

3.如图，点P是正△ABC内的点，且PA=6，PB=8，PC=10，若将△PAC绕点A旋转后，得到△，则点P与点P’之间的距离为 ，∠APB=

4. 如图，ABC为等腰直角三角形，BAC=，将ABH绕点A逆时针旋转到AC处，若AH=3㎝，试求出H、两点之间的距离。

勾股数的应用、利用勾股定理逆定理判断三角形的形状
1、下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（ ）
A. 4，5，6 B. 2，3，4 C. 11，12，13 D. 8，15，17
2、若线段a，b，c组成直角三角形，则它们的比为（　　）
A、2∶3∶4 B、3∶4∶6 C、5∶12∶13 D、4∶6∶7
3、下面的三角形中：
①△ABC中，∠C=∠A－∠B；
②△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3；
③△ABC中，a：b：c=3：4：5；
④△ABC中，三边长分别为8，15，17．
其中是直角三角形的个数有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4、已知 与互为相反数，试判断以、、为三边的三角形的形状。
若△ABC的三边长a,b,c满足试判断△ABC的形状。

6、五根小木棒,其长度(单位:cm)分别为7,15,20,24,25,现将它们摆成两个直角三角形,其中正确的是(　　)

将勾股数3,4,5扩大到原来的2倍,3倍,4倍,…,可以得到勾股数6,8,10;9,12,15;12,16,20;…,则我们把3,4,5这样的勾股数称为基本勾股数,请你写出另外两组基本勾股数:________,________.
如图，在平面直角坐标系中,点A、B的坐标分别为A(3,1),B(2,4),三角形OAB是直角三角形吗?

7、远航号海天号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，远航号每小时航行16海里，海天号每小时航行12海里，他们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道远航沿东北方向航行，你知道海天沿哪个方向航行吗？

九、航海问题
1、一轮船以16海里/时的速度从A港向东北方向航行，另一艘船同时以12海里/时的速度从A港向西北方向航行，经过1.5小时后，它们相距________海里．

2、一轮船在大海中航行，它先向正北方向航行8 km，接着，它又掉头向正东方向航行15千米．
(1) 此时轮船离开出发点多少km?
(2）若轮船每航行1km，需耗油0.4升，那么在此过程中轮船共耗油多少升?

3、如图，某货船以24海里／时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向上。该货船航行30分钟到达B处，此时又测得该岛在北偏东30°的方向上，已知在C岛周围9海里的区域内有暗礁，若继续向正东方向航行，该货船有无暗礁危险？试说明理由。

3、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？

4、如图，某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向260km的B处有一台风中心，沿BC方向以15km/h的速度向D移动，已知城市A到BC的距离AD=100km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？

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