第3章《整式的乘除》单元培优测试题.doc

浙教版七下数学第3章《整式的乘除》单元培优测试题
班级_________ 姓名_____________ 得分_____________
注意事项：本卷共有三大题23小题，满分120分，考试时间120分钟.
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1﹒已知xa＝2，xb＝3，则x3a+2b等于（ ）
A﹒17 B﹒72 C﹒24 D﹒36
2﹒下列计算正确的是（ ）
A﹒(a2)3＝a5 B﹒(－2a)2＝－4a2 C﹒m3·m2＝m6 D﹒a6÷a2＝a4
3﹒科学家在实验中测出某微生物约为0.0000035米，将0.0000035用科学记数法表示为（ ）
A﹒3.5×10－6 B﹒3.5×106 C﹒3.5×10－5 D﹒35×10－5
4﹒下列计算不正确的是（ ）
A﹒(－2)3÷(－25)＝ B﹒(－2×102)(－8×10－3)＝1.6
C﹒23×()－3＝1 D﹒()2×(－)－2＝1
5﹒下列计算正确的是（ ）
A﹒5x6·(－x3)2＝－5x12 B﹒(x2+3y)(3y－x2)＝9y2－x4
C﹒8x5÷2x5＝4x5 D﹒(x－2y)2＝x2－4y2
6﹒已知M＝20162，N＝2015×2017，则M与N的大小是（ ）
A﹒M＞N B﹒M＜N C﹒M＝N D﹒不能确定
7﹒当x取任意实数时，等式(x+2)(x－1)＝x2+mx+n恒成立，则m+n的值为（ ）
A﹒1 B﹒2 C﹒－1 D﹒－2
8﹒已知x2－4x－1＝0，则代数式2x(x－3)－(x－1)2+3的值为（ ）
A﹒3 B﹒2 C﹒1 D﹒－1
9﹒若÷＝a2，＝b3，则(x+y)2的平方根是（ ）
A﹒4 B﹒±4 C﹒±6 D﹒16
10.若代数式[2x3(2x+1)－x2]÷2x2与x(1－2x)的值互为相反数，则x的值是（ ）
A﹒0 B﹒ C﹒4 D﹒
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11.计算：(－2ab2)3＝_________.
12.若ax3my12÷3x3y2n＝4x6y8，则(2m+n－a)n＝____________﹒
13.若(2x+3y)(mx－ny)＝4x2－9y2，则mn＝___________.
14.如图，在长为2a+3，宽为a+1的长方形铁片上剪去两个边长均
为a－1(a＞1)的正方形，则剩余部分的面积是______________
（用含a的代数式表示）.
15. 已知a+b＝8，a2b2＝4，则(a2+b2)－ab＝____________.
16.若2x3－ax2－5x+5＝(2x2+ax－1)(x－b)+3，其中a，b为整数，则＝_________.
三、解答题（本题有7小题，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17.（8分）计算：
（1）+×(－2)0－+﹒

（2）(4ab3+8a2b2)÷4ab+ (a－b)(3a+b)﹒

18.（10分）先化简，再求值：
（1）[2x(x2y－xy2)+xy(xy－x2)]÷x2y，其中x＝2017，y＝2016﹒

（2）(2m－n)2+(2m－n)(－2m－n)，其中m，n满足方程组﹒

19.（8分）小明与小亮在做游戏，两人各报一个整式，小明报的整式作被除式，小亮报的整式作除式，要求商式必须为2xy﹒若小明报的是x3y－2xy2，小亮应报什么整式？若小亮也报x3y－2xy2，那么小明能报一个整式吗？说说你的理由﹒

20.（8分）观察下列关于自然数的等式：
22﹣9×12＝－5 ①
52﹣9×22＝－11 ②
82﹣9×32＝－17 ③
…
根据上述规律，解决下列问题：
（1）完成第四个等式：112﹣9×_______＝___________.
（2）根据上面的规律，写出你猜想的第n个等式（等含n的等式表示），并验证其正确性．

21.（10分）阅读下列材料，解答问题：
在(x2+ax+b)(2x2－3x－1)的积中，x3项的系数为－5，x2的系数为－6，求a，b的值.
解：(x2+ax+b)(2x2－3x－1)
＝2x4－3x3+2ax3－3ax2+2bx2－3bx6……①
＝2x4－(3－2a)x3－(3a－2b)x2－3bx……②
根据对应项系数相等有，解得，……③
（1）上述解答过程是否正确？
（2）若不正确，从第几步开始出现错误？其它步骤是否还有错误？
（3）请你写出正确的解答过程.

22.（10分）一张如图1的长方形铁皮，四个角都剪去边长为30cm的正方形，再将四周折起，做成一个有底无盖的铁盒如图2，铁盒底面长方形的长为4a(cm)，宽为3a(cm)，这个无盖铁盒的各个面的面积之和称为铁盒的全面积.
（1）请用含a的代数式表示图1中原长方形铁皮的面积.
（2）若要在铁盒的各个面漆上某种油漆，每元钱可漆的面积为(cm2)，则油漆这个铁盒需要多少钱（用含a的代数式表示）？
（3）是否存在一个正整数a，使得铁盒的全面积是底面积的正整数倍？若存在，请求出这个a的值；若不存在，请说明理由.

23.（12分）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”﹒如：4＝22－02；12＝42－22；20＝62－42，因此4，12，20这三个数都是神秘数.
（1）28和2016这两个数是神秘数吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？
（3）两个连续奇数的平方差（k取正数）是神秘数吗？为什么？
浙教版七下数学第3章《整式的乘除》单元培优测试题
参考答案
Ⅰ﹒答案部分：
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
A
C
B
A
C
A
B
D
二、填空题
11﹒－8a3b6﹒ 12﹒ 16﹒ 13﹒ 6﹒
14﹒9a+1﹒ 15﹒ 0或8﹒ 16﹒﹒
三、解答题
17.解答：（1）+×(－2)0－+
＝2+(－3)×1－3+(－1)
＝2－3－3－1
＝－5﹒
（2）(4ab3+8a2b2)÷4ab+ (a－b)(3a+b)
＝b2+2ab+3a2+ab－3ab－b2
＝3a2﹒
18.解答：（1）[2x(x2y－xy2)+xy(xy－x2)]÷x2y
＝[2x3y－2x2y2+x2y2－x3y] ÷x2y
＝[x3y－x2y2] ÷x2y
＝x－y
当x＝2017，y＝2016时，原式＝2017－2016＝1﹒
（2）解方程组，得，
(2m－n)2+(2m－n)(－2m－n)
＝4m2－2mn+n2－(2m－n)(2m+n)
＝4m2－2mn+n2－4m2+n2
＝－2mn+n2
当m＝3，n＝－1时，原式＝－2×3×(－1)+ ×(－1)2＝－5﹒
19.解答：当小明报x3y－2xy2时，(x3y－2xy2)÷2xy＝x3y÷2xy－2xy2÷2xy＝x2－y，
所以小亮报的整式是x2－y；
小明也能报一个整式，理由如下：
∵(x3y－2xy2)·2xy＝x3y·2xy－2xy2·2xy＝2x4y2－4x2y3，
∴小明报的整式是2x4y2－4x2y3.
20.解答：（1）由①②③三个等式的规律，可得出第四个等式：112﹣9×42＝－23，
故答案为：42，－23.
（2）猜想：第n个等式为(3n－1)2－9n2＝－6n+1；
验证：∵左边＝(3n－1)2－9n2＝9n2－6n+1－9n2＝－6n+1，右边＝－6n+1，
∴左边＝右边，
即(3n－1)2－9n2＝－6n+1﹒
21.解答：（1）不正确，
（2）从第①步开始出现错误，还有第③步也出现错误，
（3）正确的解答过程如下：
∵(x2+ax+b)(2x2－3x－1)
＝2x4－3x3－x2+2ax3－3ax2－ax+2bx2－3bx－b
＝2x4+(2a－3)x3+(－3a+2b－1)x2+(－a－3b)x－b，
∴展开式中含x3的项为(2a－3)x3，含x2的项为(－3a+2b－1)x2，
由题意，得，解得﹒
22.解答：（1）原长方形铁皮的面积为(4a+60)(3a+60)＝12a2+420a+3600（cm2）；
（2）油漆这个铁盒的全面积是：12a2+2×30×4a+2×30×3a＝12a2+420a（cm2），
则油漆这个铁盒需要的钱数是：(12a2+420a)÷＝(12a2+420a)×＝600a+21000（元）；
（3）铁盒的全面积是：4a×3a+4a×30×2+3a×30×2＝12a2+420a（cm2），
底面积是：4a×3a＝12a（cm2），
假设存在正整数n，使12a2+420a＝n(12a2)，
∵a是正整数，∴(n－1)a＝35，
则a＝35，n＝2或a＝7，n＝6或a＝1，n＝36，
所以存在铁盒的全面积是底面积的正整数倍，这时a＝35或7或1.
23. 解答：（1）∵28＝4×7＝82－62，2016＝4×504＝5052－5032，
∴28和2016这两个数是神秘数；
（2）是4的倍数，理由如下：
∵(2k+2)2－(2k)2＝4k2+8k+4－4k2＝8k+4＝4(2k+1)，
又k是非负整数，
∴由这两个连续偶数2k+2和2k构造的神秘数是4的倍数；
（3）两个连续奇数的平方差不是神秘数，理由如下：
设这两个连续奇数为2k+1，2k－1，
则(2k+1)2－(2k－1)2＝4k2+4k+1－(4k2－4k+1)＝4k2+4k+1－4k2+4k－1＝8k＝4×2k，
由（2）知神秘数应为4的奇数倍，故两个连续奇数的平方差不是神秘数﹒

Ⅱ﹒解答部分：
一、选择题
1﹒已知xa＝2，xb＝3，则x3a+2b等于（ ）
A﹒17 B﹒72 C﹒24 D﹒36
解答：∵xa＝2，xb＝3，
∴x3a+2b＝(xa)3·(xb)2＝8×9＝72.
故选：B.
2﹒下列计算正确的是（ ）
A﹒(a2)3＝a5 B﹒(－2a)2＝－4a2 C﹒m3·m2＝m6 D﹒a6÷a2＝a4
解答：A﹒(a2)3＝a6，故此项错误；B﹒(－2a)2＝4a2，故此项错误；C﹒m3·m2＝m5，故此项错误；D﹒a6÷a2＝a4，故此项正确.
故选：D.
3﹒科学家在实验中测出某微生物约为0.0000035米，将0.0000035用科学记数法表示为（ ）
A﹒3.5×10－6 B﹒3.5×106 C﹒3.5×10－5 D﹒35×10－5
解答：0.0000035＝3.5×10－6.
故选：A.
4﹒下列计算不正确的是（ ）
A﹒(－2)3÷(－25)＝ B﹒(－2×102)(－8×10－3)＝1.6
C﹒23×()－3＝1 D﹒()2×(－)－2＝1
解答：A﹒(－2)3÷(－25)＝(－2)3÷(－2)5＝(－2)－2＝，故此项正确；
B﹒(－2×102)(－8×10－3)＝[(－2)×(－8)]×(102×10－3)＝16×＝1.6，故此项正确；
C﹒23×()－3＝23×23＝8×8＝64，故此项错误；
D﹒()2×(－)－2＝()2×()－2＝()0＝1，故此项正确.
故选：C.
5﹒下列计算正确的是（ ）
A﹒5x6·(－x3)2＝－5x12 B﹒(x2+3y)(3y－x2)＝9y2－x4
C﹒8x5÷2x5＝4x5 D﹒(x－2y)2＝x2－4y2
解答：A﹒5x6·(－x3)2＝5x6·x6＝5x12，故此项错误；B﹒(x2+3y)(3y－x2)＝9y2－x4，故此项正确；C﹒8x5÷2x5＝4，故此项错误；D﹒(x－2y)2＝x2－4xy+4y2，故此项错误.
故选：B.
6﹒已知M＝20162，N＝2015×2017，则M与N的大小是（ ）
A﹒M＞N B﹒M＜N C﹒M＝N D﹒不能确定
解答：∵N＝2015×2017＝(2016－1)(2016+1)＝20162－1，M＝20162，
∴M＞N﹒
故选：A.
7﹒当x取任意实数时，等式(x+2)(x－1)＝x2+mx+n恒成立，则m+n的值为（ ）
A﹒1 B﹒2 C﹒－1 D﹒－2
解答：∵(x+2)(x－1)＝x2+x－2，
又等式(x+2)(x－1)＝x2+mx+n恒成立，
∴m＝1，n＝－2，
∴m+n＝－1.
故选：C.
8﹒已知x2－4x－1＝0，则代数式2x(x－3)－(x－1)2+3的值为（ ）
A﹒3 B﹒2 C﹒1 D﹒－1
解答：∵x2－4x－1＝0，∴x2－4x＝1，
∴2x(x－3)－(x－1)2+3＝2x2－6x－(x2－2x+1)+3＝2x2－6x－x2+2x－1+3＝x2－4x+2＝3﹒
故选：A﹒
9﹒若÷＝a2，＝b3，则(x+y)2的平方根是（ ）
A﹒4 B﹒±4 C﹒±6 D﹒16
解答：由÷＝a2，得x－y＝2，由＝b3，得xy＝3，
把x－y＝2两边平方，得x2－2xy+y2＝4，则x2+y2＝4+2xy＝10，
∴(x+y)2＝x2+y2+2xy＝10+6＝16﹒
∴(x+y)2的平方根是±4﹒
故选：B.
10.若代数式[2x3(2x+1)－x2]÷2x2与x(1－2x)的值互为相反数，则x的值是（ ）
A﹒0 B﹒ C﹒4 D﹒
解答：∵代数式[2x3(2x+1)－x2]÷2x2与x(1－2x)的值互为相反数，
∴[2x3(2x+1)－x2]÷2x2+x(1－2x)＝0，
(4x4+2x3－x2)÷2x2+x－2x2＝0
2x2+x－+x－2x2＝0
2x－＝0，
x＝，
故选：D.
二、填空题
11.计算：(－2ab2)3＝_________.
解答：原式＝－8a3b6·
故答案为：－8a3b6﹒
12.若ax3my12÷3x3y2n＝4x6y8，则(2m+n－a)n＝____________﹒
解答：∵ax3my12÷3x3y2n＝(a÷3)x3m－3y12－2n＝4x6y8，
∴a÷3＝4，3m－3＝6，12－2n＝8，
∴a＝12，m＝3，n＝2，
∴(2m+n－a)n＝(6+2－12)2＝16﹒
故答案为：16﹒
13.若(2x+3y)(mx－ny)＝4x2－9y2，则mn＝___________.
解答：∵(2x+3y)(2x－3y)＝4x2－9y2，
∴m＝2，n＝3，
∴mn＝6﹒
故答案为：6﹒
14.如图，在长为2a+3，宽为a+1的长方形铁片上剪去两
个边长均为a－1(a＞1)的正方形，则剩余部分的面积
是______________（用含a的代数式表示）.
解答：由题意，知：剩余部分的面积是(2a+3)(a+1)－2(a－1)2＝2a2+2a+3a+3－2(a2－2a+1)＝2a2+5a+3－2a2+4a－2＝9a+1﹒
故答案为：9a+1﹒
15. 已知a+b＝8，a2b2＝4，则(a2+b2)－ab＝____________.
解答：∵a2b2＝4，∴ab＝±2，
当ab＝2时，a2+b2＝(a+b)2－2ab＝8－4＝4，
则(a2+b2)－ab＝×4－2＝0，
当ab＝－2时，a2+b2＝(a+b)2－2ab＝8+4＝12，
则(a2+b2)－ab＝×12+2＝8﹒
故答案为：0或8﹒
16.若2x3－ax2－5x+5＝(2x2+ax－1)(x－b)+3，其中a，b为整数，则＝_________.
解答：∵(2x2+ax－1)(x－b)+3
＝2x3+ax2－x－2bx2－abx+b+3
＝2x3－(2b－a)x2－(ab+1)x+b+3，
∴，解得，
∴＝＝，
故答案为：﹒
三、解答题
17.（8分）计算：
（1）+×(－2)0－+﹒
解答：+×(－2)0－+
＝2+(－3)×1－3+(－1)
＝2－3－3－1
＝－5﹒
（2）(4ab3+8a2b2)÷4ab+ (a－b)(3a+b)
解答：(4ab3+8a2b2)÷4ab+ (a－b)(3a+b)
＝b2+2ab+3a2+ab－3ab－b2
＝3a2﹒
18.（10分）先化简，再求值：
（1）[2x(x2y－xy2)+xy(xy－x2)]÷x2y，其中x＝2017，y＝2016.
解答：[2x(x2y－xy2)+xy(xy－x2)]÷x2y
＝[2x3y－2x2y2+x2y2－x3y] ÷x2y
＝[x3y－x2y2] ÷x2y
＝x－y
当x＝2017，y＝2016时，原式＝2017－2016＝1﹒
（2）(2m－n)2+(2m－n)(－2m－n)，其中m，n满足方程组﹒
解答：解方程组，得，
(2m－n)2+(2m－n)(－2m－n)
＝4m2－2mn+n2－(2m－n)(2m+n)
＝4m2－2mn+n2－4m2+n2
＝－2mn+n2
当m＝3，n＝－1时，原式＝－2×3×(－1)+ ×(－1)2＝－5﹒
19.（8分）小明与小亮在做游戏，两人各报一个整式，小明报的整式作被除式，小亮报的整式作除式，要求商式必须为2xy﹒若小明报的是x3y－2xy2，小亮应报什么整式？若小亮也报x3y－2xy2，那么小明能报一个整式吗？说说你的理由﹒
解答：当小明报x3y－2xy2时，(x3y－2xy2)÷2xy＝x3y÷2xy－2xy2÷2xy＝x2－y，
所以小亮报的整式是x2－y；
小明也能报一个整式，理由如下：
∵(x3y－2xy2)·2xy＝x3y·2xy－2xy2·2xy＝2x4y2－4x2y3，
∴小明报的整式是2x4y2－4x2y3.
20.（8分）观察下列关于自然数的等式：
22﹣9×12＝－5 ①
52﹣9×22＝－11 ②
82﹣9×32＝－17 ③
…
根据上述规律，解决下列问题：
（1）完成第四个等式：112﹣9×_______＝___________.
（2）根据上面的规律，写出你猜想的第n个等式（等含n的等式表示），并验证其正确性．
解答：（1）由①②③三个等式的规律，可得出第四个等式：112﹣9×42＝－23，
故答案为：42，－23.
（2）猜想：第n个等式为(3n－1)2－9n2＝－6n+1；
验证：∵左边＝(3n－1)2－9n2＝9n2－6n+1－9n2＝－6n+1，右边＝－6n+1，
∴左边＝右边，
即(3n－1)2－9n2＝－6n+1﹒
21.（10分）阅读下列材料，解答问题：
在(x2+ax+b)(2x2－3x－1)的积中，x3项的系数为－5，x2的系数为－6，求a，b的值.
解：(x2+ax+b)(2x2－3x－1)
＝2x4－3x3+2ax3－3ax2+2bx2－3bx6……①
＝2x4－(3－2a)x3－(3a－2b)x2－3bx……②
根据对应项系数相等有，解得，……③
（1）上述解答过程是否正确？
（2）若不正确，从第几步开始出现错误？其它步骤是否还有错误？
（3）请你写出正确的解答过程.
解答：（1）不正确，
（2）从第①步开始出现错误，还有第③步也出现错误，
（3）正确的解答过程如下：
∵(x2+ax+b)(2x2－3x－1)
＝2x4－3x3－x2+2ax3－3ax2－ax+2bx2－3bx－b
＝2x4+(2a－3)x3+(－3a+2b－1)x2+(－a－3b)x－b，
∴展开式中含x3的项为(2a－3)x3，含x2的项为(－3a+2b－1)x2，
由题意，得，解得﹒
22.（10分）一张如图1的长方形铁皮，四个角都剪去边长为30cm的正方形，再将四周折起，做成一个有底无盖的铁盒如图2，铁盒底面长方形的长为4a(cm)，宽为3a(cm)，这个无盖铁盒的各个面的面积之和称为铁盒的全面积.
（1）请用含a的代数式表示图1中原长方形铁皮的面积.
（2）若要在铁盒的各个面漆上某种油漆，每元钱可漆的面积为(cm2)，则油漆这个铁盒需要多少钱（用含a的代数式表示）？
（3）是否存在一个正整数a，使得铁盒的全面积是底面积的正整数倍？若存在，请求出这个a的值；若不存在，请说明理由.

解答：（1）原长方形铁皮的面积为(4a+60)(3a+60)＝12a2+420a+3600（cm2）；
（2）油漆这个铁盒的全面积是：12a2+2×30×4a+2×30×3a＝12a2+420a（cm2），
则油漆这个铁盒需要的钱数是：(12a2+420a)÷＝(12a2+420a)×＝600a+21000（元）；
（3）铁盒的全面积是：4a×3a+4a×30×2+3a×30×2＝12a2+420a（cm2），
底面积是：4a×3a＝12a（cm2），
假设存在正整数n，使12a2+420a＝n(12a2)，
∵a是正整数，∴(n－1)a＝35，
则a＝35，n＝2或a＝7，n＝6或a＝1，n＝36，
所以存在铁盒的全面积是底面积的正整数倍，这时a＝35或7或1.
23.（12分）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”.如：4＝22－02；12＝42－22；20＝62－42，因此4，12，20这三个数都是神秘数.
（1）28和2016这两个数是神秘数吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？
（3）两个连续奇数的平方差（k取正数）是神秘数吗？为什么？
解答：（1）∵28＝4×7＝82－62，2016＝4×504＝5052－5032，
∴28和2016这两个数是神秘数；
（2）是4的倍数，理由如下：
∵(2k+2)2－(2k)2＝4k2+8k+4－4k2＝8k+4＝4(2k+1)，
又k是非负整数，
∴由这两个连续偶数2k+2和2k构造的神秘数是4的倍数；
（3）两个连续奇数的平方差不是神秘数，理由如下：
设这两个连续奇数为2k+1，2k－1，
则(2k+1)2－(2k－1)2＝4k2+4k+1－(4k2－4k+1)＝4k2+4k+1－4k2+4k－1＝8k＝4×2k，
由（2）知神秘数应为4的奇数倍，故两个连续奇数的平方差不是神秘数.