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(完整版)向量四心问题
向量中的三角形“四心"问题

学习向量的加减法离不开三角形,三角形的重心、垂心、内心、外心是三角形性质的重要组成部分，你知道它们的向量表示吗？你能证明吗?下面的几个结论也许能给同学们一点帮助。
结论1：若点O为△ABC所在的平面内一点，满足，则点O为△ABC的垂心.
证明：由,得，即，所以。同理可证。故O为△ABC的垂心.
结论2：若点O为△ABC所在的平面内一点，满足 ，则点O为△ABC的垂心。
证明：由,得，所以。同理可证。容易得到由结论1知O为△ABC的垂心。
结论3：若点G为△ABC所在的平面内一点,满足,则点G为△ABC的重心。
证明：由，得。设BC边中点为M，则 ，所以，即点G在中线AM上。设AB边中点为N，同理可证G在中线CN上,故点G为△ABC的重心。
结论4:若点G为△ABC所在的平面内一点，满足，则点G为△ABC的重心.
证明：由，得,得。由结论3知点G为△ABC的重心。
结论5:若点P为△ABC所在的平面内一点，并且满足 ，则点P为△ABC的内心。
证明：由于,可得。设与同方向的单位向量为，与同方向的单位向量为，则。因为为单位向量，所以向量在∠A的平分线上。由，知点P在∠A的平分线上。
同理可证点P在∠B的平分线上.
故点G为△ABC的内心。
结论6：若点O为△ABC所在的平面内一点,满足 ，则点O为△ABC的外心。
证明：因为，所以
同理得由题意得，所以，得。故点O为△ABC的外心.
说明:以上几个结论不仅给大家展示了三角形的“四心”的向量表示，而且是向量加减法应用的很好典例，值得大家关注。