圆的内接三角形和四边形.习题集(2014-2015)-教师版.doc

圆的内接三角形和四边形

课堂练习

一、三角形
【例1】 如图所示，内接于，若，则的大小是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】本题是利用圆周角定理解题的典型题目，题目难度不大，正确添加辅助线是解题关键，在解题和圆有关的题目是往往要添加圆的半径．

解：如图，连接，
∵，∴是等腰三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【例2】 如图所示，点、、在上，且．若点是上的动点，要使为等腰三角形，则所有符合条件的点有（ ）
A．1 个 B．2 个
C．2 个 D．4个

【答案】D
【解析】,弦不是直径，不是等边三角形．
（1）当时，是等腰三角形，这时点是弦的垂直平分线与圆的交点，有两个；
（2）当时，这样的点只有一个．
（3）当时，这样的点只有一个．综上可得符合条件的点有4个．
【例3】 如图，已知的半径，弦的长为，点的弦所对优弧上任意一点（、两点除外）．
（1）求的度数；
（2）求面积的最大值．

【答案】（1） （2）
【解析】考查学生的应用能力，圆中求角（线段）常转化为直角三角形解决．利用垂径定理的构造直角三角形，把已知条件结合在一块．（可以利用特殊角用勾股定理直接求）
（1） 连结、，过作与点．解,求的度数，
或连结并延长，交于，连结，解,求．
（2） （是边上的高），不变，当最大时，最大，此时
点应落在优弧的中点处，然后再求．
解：（1）方法一：如图，连结、，过作交于点．
,．在中，，
,

方法二：如图，连结并延长，交于点，连结
是直径，．在中，
．

（2）因为的边的长不变，所以当边上的高最大时，的面积最大，此时点应落在优弧的中点处．
如图，过作于点，延长交于点，则为优弧的中点．连结，，则，．在中，

．

【例4】 已知，如图，在中，,以为直径的分别交、于点、,连结交于点．
（1） 求证：；
（2） 若,,求的长．

【答案】（1）略 （2）3
【解析】（1）联结
∵是的直径，,．
,．
（2）方法一：，．
．在、中，，
设，则有，
解得：，
方法二：． 设，在、　中，．．∵，，
，解得：．
方法三：，，．．

【例5】 如图，已知是的外接圆，为劣弧的中点，为劣弧的中点．连接，交于点，连接，交于点，延长到点，使，延长到点，使，的延长线交于点．
求证：（1）；
（2）．

【答案】连接
∵，，
∴，
∴，
∵是劣弧的中点，是劣弧的中点，
∴，，
∴，，
∴．
∵，∴，
∴，
∴，即．
【例6】 如图，的两个顶点在圆上，顶点在圆外，分别交圆于两点，连结．若与的面积相等，试判定的形状．
（山东潍坊中考）

【答案】方法一：连接
∵，∴，
∴，∴四边形是等腰梯形，
∴，∴，∴是等腰三角形．
方法二：∵，∴，
可知和的相似比为1，
∴，∴是等腰三角形．
【例7】 如图，是的两条弦，它们相交于点，连结，已知，，求的长．

【答案】连结
∵，∴，
∴，
∴，∴，即，
∴，
又，∴，
∴，解得（舍负）．
【例8】 如图，半径为的内有互相垂直的两条弦相交于点．
（1）设的中点为，连结并延长交于，求证：；
（2）若，求的长．
（湖北荆门中考）

【答案】（1）∵，∴，
∵是中点，∴，
∴，
∵，∴
∵，∴，
∴，即．
（2）过点作，垂足分别为
由垂径定理得，
∴，
易证得四边形是矩形，
∴．

二、四边形
【例9】 如图，四边形是圆内接四边形，是延长线上一点，若，则的大小是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了邻补角的定义以及等角的补角相等．
解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴，而，
∴，而，
∴．
【例10】 已知：四边形是的内接四边形，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了邻补角的定义以及等角的补角相等．
解：∵四边形是的内接四边形∴∵
∴．
【例11】 已知是的直经，是弦，若，求由四点构成的四边形的周长．
【答案】（1）如图1，弦在直径的异侧，连结．
∵是直径，∴，
在中，，
则，
在中，，
则，
∴四边形周长为．

（2）如图2，弦在直径的同侧，连结，
过点作于．
∵是直径，∴
在中，，
则，
在中，，
则，
∴，∴，∴，
∵，∴，∴，∴．
设，则，
在中，，
即，整理得，解得，
∵，∴，
∴，
∴四边形周长．

【例12】 如图，的内接四边形中，，点是弧的中点，于点．求证：．

【答案】在上截取，连接，
∵，，∴，
∴，
∵是的中点，∴，∴，，
∴，∴，
∴，即．

【例13】 如图所示，圆是的外接圆，与的平分线相交于点，延长交圆于点，连结．
（1）求证：；
（2）若圆的半径为，，求的面积．

【答案】（1）∵平分，∴，
∴，∴．
∵，∴，
∵平分，∴，
∴，
∵，∴，
∴，∴．
（2）连结
∵，∴，
∴，∴，
∵，∴是等边三角形 ，
∵，∴，
∴．

【例14】 已知四边形内接于，对角线，为线段的中点．求证：．

【答案】证法一：如图，设四边形内接于圆，且，为之弦心距．
作的弦心距，连接、．
显然的度数．
∵，
∴，
∴．
又，
∴．
∵，
∴．
∴，即．

证法二：如图，作直径，连接、．
∵、为中点，∴．
∵，，∴，
∴，∴．
即，∴．

证法三：如图，设、交于，为之中点．连接延长垂直于．
连接延长必垂直于．连接．
∵，，∴，
同理．∴为平行四边形，∴．
而（∵是斜边上的中线），
∴．

【例15】 已知圆内接四边形中，如图，，则__________．

【答案】连接，，
由，
知，，
因而，．
【例16】 已知：如图，正方形中，为对角线，将绕顶点逆时针旋转°（），旋转后角的两边分别交于点、点，交于点、点，联结．在的旋转过程中，的大小是否改变，若不变写出它的度数，若改变，写出它的变化范围（不必证明）；

【答案】不变．， 四点共圆

（选讲）
【例17】 已知：如图，的内接中，，，并交的延长线于，交于．
（1）求的度数；
（2）求证：；
（3）求的值．
（西城初三上期末）

【答案】（1）连结，
∵的内接中，，
∴，
∵，∴，
∵，∴．

（2）∵，∴，
∵，∴，
∴，∴，
∴．
（3）解法一：延长交延长线于，连结．
∵，∴，
∵，∴．
∵，∴，
∴，
∵，∴，∴，
∴，即的值为．

解法二：作于，设的半径为，
易得，，且，
，
则，，
∵，∴．
【例18】 在中，，是它的外接圆上包含点的的中点，上的点使得，求证：．

【答案】解法一：过点作交于，过点作于．
∴，，
∵，∴
∴，∴，∴

解法二：如图，在上取一点，使得，
连接，，，
由，，∴
又∵是圆上包含点的弧的中点
∴
又，，
∴，
∴，∴
∵，∴

解法三：如图，过点作交延长线于，
连结，
∵是圆上包含点的弧的中点，
∴，
∵，
∴，
又∵，∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
（类似此方法还可以“延长到，使，连结”）

解法四：如图，延长到，使，连结，
∵是圆上包含点的弧的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵，∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，∴，
∴．
此法还可以连接，利用等腰三角形的性质可以证得结论．

【例19】 如图，内接于，，的平分线与交于点，与交于点，延长与的延长线交于点，连结，是的中点，连结．
（1）判断与的位置关系，写出你的结论并证明；
（2）求证：；
（3）若，求的面积．
（四川成都中考）

【答案】（1）
连结
∵，是的中点，
∴．
（2）∵是直角三角形，且，
∴
∵，∴，
∴．
（3）由（1）可知，，
∵，∴，
∵，∴，
∴，即，
∵是的平分线，∴，
∴，
∵，∴，∴
设的半径为，
∵是的直径，∴，
∵，∴，
∵，∴是等腰三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵，∴，
∴，解得，
∴的面积为．

课后作业

【练1】 如图，是等边的外接圆，的半径为2，则等边的边长为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】此题主要考查等边三角形外接圆半径的求法．

解：连接，并作于，则，，∴，
∴．
【练2】 如图半径为2，弦，为弧的中点，为弦的中点，且在上．求：四边形的面积．

【答案】
【解析】连结，交于．
∵为弧的中点，∴,∴,∴,
∴,,∴，
∴．

【练3】 四边形为的内接四边形，若，则为（ ）
A． B． C． D．

【答案】D
【解析】考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．

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