数学分析册答案十九含参变量的积分.doc

第十九章 含参变量的积分
§1 含参变量的正常积分
1．求下列极限：
（1）；
（2）；
（3）．
解（1）由于在上连续，故在连续，所以，
．
（2）由于在上连续，故在连续，所以，
．
（3），
由于在上连续，故在连续，所以，
．
而对，有，，，因此
，，
因而，

2．求，其中：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
解（1）．
（2）
．
（3）
=．
（4）．
3．设为连续函数，
，
求．
解 由于，所以，

，
．
注记 该题的函数应为（这从该教材第二版亦可得到印证），则
，
所以，

，
．
4．研究函数的连续性，其中是上连续且为正的函数．
解 当时，被积函数在相应的闭矩形上是连续的，因此在连续．当时，．
而时，设为在上的最小值，则．由于
，而，
故有若存在，必然或不存在，因而在时间断．
5．应用积分号下求导法求下列积分：
（1）（）；
（2）；
（3）；
（4）．
解（1）设，则有

，
即
．
的确定较为困难，可如下进行．

，
令，，又，所以，
，
，
，即．
（2）设，则

，
所以，．
（3）将看作参变量，认为是常数，记．可先设，，则
．
若，则，若作代换，得

，
所以，，而，于是
．
若或，则可以或代替或，因而总有．
（4）记，令，当时，无定义，但，，故补充定义，，则在连续（），从而在连续．

显然在点不连续，但分别在和连续，故有
，或．
令，

，或．
积分之
，；
，．
因为在连续，故，得，从而得
，．
6．应用积分交换次序求下列积分：
（1）；
（2）．
解（1）
．
（2）．
记，则

，
所以，，因此，
．
7．设为可微函数，试求下列函数的二阶导数：
（1）；
（2）．
解（1），．
（2）

8．证明：．
证明
，

，
所以，．
9．设，问是否成立
．
解 ，所以，

，
即，同样，因此不存在，而
，
因此，不成立．
10．设
，
求证．
证明 ，函数在矩形域连续，

亦在矩形域连续，故由积分号下求导数可得

（）

，
当时，显然．
由的任意性，，因此，，而，所以，
．
11．设为两次可微函数，为可微函数，证明函数

满足弦振动方程

及初始条件
，．
证明 ，
，

，

所以，

，
即满足弦振动方程．又
，
，
即满足初始条件．
§2 含参变量的广义积分
1．证明下列积分在指定的区间内一致收敛：
（1）（）；
（2）；
（3）；
（4）（，）；
（5）．
证明（1）因为当时，，有
，
而收敛，由M判别法，在是一致收敛的．
（2）因为，，成立
，
而收敛，由M判别法，在一致收敛．
（3）因为，，成立
，
其中， 而收敛，所以在一致收敛．
（4）用Abel判别法．已知 收敛（见第十一章§3习题3（3）），又对每一个，函数关于是单调函数，且，，有，由Abel判别法知

在一致收敛．
（5）由于收敛（见p56-§11.1-例10），又对每一个，函数是单调减函数，且，，有，由Abel判别法，在一致收敛．
2．讨论下列积分在指定区间上的一致收敛性：
（1）；
（2），
（i）， （ii）；
（3），
（i）， （ii）；
（4）．
解（1），当时积分为．
，由于，故：，，使得有，因此积分非一致收敛．
（2）积分对于每一个定值是收敛的．
当时，；当时．
（i），由于，故，使当时，就有，于是，在区间上积分一致收敛．
（ii）由于时，，故，对于足够小的值，，故在上，积分不一致收敛．
（3）对任意固定的，积分都收敛，且（作代换）
．
（i）取正数充分大，使得，显然，当时，对一切，有
，
而积分收敛，由M判别法，积分在一致收敛．
（ii），有，故当充分大时，
，
由此可知在非一致收敛，因而在更非一致收敛．
（4），有
，
因此，积分在非一致收敛．
3．设在连续，当，时皆收敛，且．求证：关于在一致收敛．
证明 ．
由于收敛，因而，对一致收敛，当固定时，对在单调，且，因此，由Abel判别法，积分在一致收敛．
又因为收敛，故对亦一致收敛，当固定时，对在单调递减，且，由Abel判别法，积分在一致收敛．
因此，在上一致收敛．
4．讨论下列函数在指定区间上的连续性：
（1），；
（2），；
（3），．
解（1）当时，

而，因此，在连续，在间断（第一类间断点）．
（2）因为
，
而当时，无穷积分收敛，在是常义积分，因而在有意义．
，，当时， ，有
，
而收敛，因而在一致收敛，因此，在连续，由的任意性可知，在连续．
（3），
所以，，，使得，当时，有
，，
，，
及均收敛，所以及均在一致收敛，因而在一致收敛．
因此，在连续，因而在连续，由的任意性，知在连续．
5．若在上连续，含参变量广义积分

在收敛，在时发散，证明在不一致收敛．
证明 目的在于证明：，，及，使得
． （1）
因为

，
因此，若能证明，，及，
，， （2）
则（1）式即可得到．剩下的问题在于证明（2）．
因发散，故，，，使得
．
但在连续，从而在有界闭区域，上一致连续，于是对上述中，，当，且，时，有
，
从而时，有，由此推得
．
6．含参变量的广义积分在一致收敛的充要条件是：对任一趋于的递增数列（其中），函数项级数

在上一致收敛．
证明 必要性．在一致收敛，故，，当时，有
，
对一致地成立．
对任意递增数列：，首先，

，成立．
其次，由于单调递减趋于，故对上述，满足，因此当时，，因此，有
，
一致地成立，因此级数在上一致收敛于．
充分性．采用反证法．若不然，设对任一趋于的递增数列（其中），函数项级数在上一致收敛，但广义积分在不一致收敛，因此，，，，使得．
取，，，使得；
取，，，使得；
取，，，使得；
如此一直下去．得到一列单调递增序列（令），且和一列，使得
，
即函数项级数在非一致收敛，矛盾！
因此，在一致收敛．
7．用上题的结论证明含参变量广义积分在的积分交换次序定理（定理19．12）和积分号下求导数定理（定理19．13）．
证明 积分交换次序定理 设在上连续，且含参变量的广义积分

在上一致收敛，则
，
即 ．
由于在一致收敛对任意递增趋于的数列（），函数项级数在一致收敛于，由已知条件，在上连续，因而亦在上连续，故在连续，因此利用函数项级数和函数的逐项积分定理，有

．
积分号下求导数定理 设和都在上连续，若在上收敛，在上一致收敛，则在可导，且
，
即 ．
由于在上收敛，故对任意趋于的递增函数列（），级数在上收敛于，又在上一致收敛，故函数项级数在上一致收敛，用函数项级数和函数的逐项求导定理，知
．
8．利用微分交换次序计算下列积分：
（1） （为正整数，）；
（2）（，）；
（3） ()．
解（1）由于积分对一切在上一致收敛，得
，
由的任意性，知上式对一切成立．同理对积分逐次求导，得
，
但
，
，
用数学归纳法，可得
，
所以，
．
（2）当时，，下设．
由于，因此不是瑕点，从而当，时，被积函数在内连续（的函数值理解为极限值0），又由于
，
而积分收敛，由比较判别法，积分收敛．
当时，积分是一致收敛的．事实上，由立即得到此结论．于是在时可以在积分号下求导数，得
，
由的任意性知，上式对一切均成立，从而
，
其中为待定常数，令，则得．所以，
．
（3）

设，由于与都是，上的连续函数，且此时
，，
而积分与都收敛，因此积分与均在上一致收敛，从而可以在积分号下求导数．所以，
，
解得，，其中是待定常数．但，得
．
9．利用对参数的积分法计算下列积分：
（1）（，）；
（2）（，）．
解（1）

．
（2）
（，
而时，，这也可以归结到前面最终答案中的情形，所以，
．
10．利用计算Laplace积分

和 ．
解 先计算．
若，则，故下设．

，
其中第四个等号应用了8（3）中的结果．下面计算
．
设，则时，，，
从而有，代入得

（前者作负代换）
，
所以，．
再计算．显然

．
11．利用计算Fresnel积分
，
和 ．
解 在积分的两端乘以，再在上积分，则得
.
由于，而收敛，故积分对一致收敛，从而可以进行积分顺序的交换，得

，
上述等式右端的诸积分分别对，都是一致收敛的(，，且及均收敛)．于是，它们分别是(，)的连续函数，从而令，可在积分号下取极限，得
，
且由于上式右端后两个积分均不超过积分．故
，，
令取极限，
，
所以，．
同理可得，．
12．利用已知积分
，
计算下列积分：
（1）；
（2）；
（3）（）；
（4）（）；
（5）（）．
解（1）

．
（2）

（3）由于，所以，
．
（4）

．
（5），
设，令，则时，．，，，代入，得

（前者作负代换）
，
所以，．
13．求下列积分：
（1）；
（2）．
解（1）引入参变量，考虑含参变量的积分，则要求的积分为.
由于，：，函数及均在上连续，且在一致收敛，(M判别法.，)，故在点，有
，
由的任意性，上式对一切成立．所以，，再由，即知
，
因此，
．
（2）引入参变量：，考虑含参变量的积分，则要求的积分为．由于在连续，且当(为任何有限正数)时一致收敛．事实上，当时，
，
而收敛()，于是是上的连续函数．由的任意性知，当时连续．而
，
由于当时，有
，
而积分收敛，于是在时是一致收敛的．从而
，
由及的任意性知，上式对一切均成立．所以，
()，
令取极限，注意到在连续，可得，所以，．因此，
．
14．证明：
（1）在（）上一致收敛；
（2）在（）上一致收敛．
证明（1）显然，，瑕积分是收敛的，且，时，，而积分收敛，由M判别法，知在上一致收敛．
（2），积分收敛(时是常义积分，时是瑕点为的积分)．且时，，而收敛，由M判别法知在 一致收敛．
§3 Euler积分
1．利用Euler积分计算下列积分：
（1）；
（2）；
（3）；
（4） ；
（5）；
（6）；
（7）（为正整数）；
（8）；
（9）（为正整数）；
（10） （为正整数，）．
解（1）令，则，，

．
（2）．
（3）令，则，，

．
（4）令，则，，所以，

．
（5）令，则时，；时，，
．
（6）先作代换，，．
再令，，，因此，

．
（这里用到了函数的余元公式，参见陈纪修等《数学分析》（下册）P377-379，高等教育出版社2000年4月）．
（7）令 则，，有
．
（8）

．
（9）
．
（10）
．
2．将下列积分用Euler积分表示，并求出积分的存在域：
（1）；
（2）（）；
（3）；
（4）；
（5） ．
解（1）当时，则有

，
要求且，即，也即．
当时，则积分为对一切的发散．
当时，，则时；时，所以
，
同样要求且，即．
积分的收敛域为：或．
（2），
存在域为，即或．
（3）
存在域为且，即．
（4），即为存在域．
（5）由对函数分析性质的证明，可知：，积分在一致收敛．故当时，
，
但，故
，，
由的任意性，知上式对一切均成立．
3．证明：
（1） ；
（2）．.
证明（1）令，则，所以，．
（2）．
4．证明：
；
．
证明 ，令，则时，；时，，
，，
所以，

，
在后一积分中作倒代换，则时，；时，．
，，
所以，
，
因此，

．
．
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