图形变换相似三角形综合应用.doc

相似三角形综合应用2014年中考怎么考内容基本要求略高要求相似三角形了解两个三角形相似的概念会利用相似三角形的性质与判定进行简单的推理和计算；会利用三角形的相似解决一些实际问题自检自查必考点模型一 角分线模型1、内角平分线是的角平分线，则【证明】过作交直线于.，又平分，由可得：，2、外角平分线的外角平分线交对边的延长线于，则【证明】过作交直线于.，又平分，由可得：，模型二 梯形模型若，则中考满分必做题考点一 与公共边有关的相似问题【例1】 如图，在矩形中，对角线、相交于点，为的中点，连接交于，连接，若，则下列四对三角形：与；与；与；与，其中相似的为（ ）A B C D【答案】D【解析】，故【例2】 如图，矩形中，于，恰是的中点，下列式子成立的是（ ）A B C D【答案】A【例3】 如图，中，于，于，于，交于，、的延长线交于点，求证：.【解析】可通过射影定理转化成证明，证明即可.【例4】 如图，中，于为的中点，的延长线交于求证：【答案】，为中点，又，又，又，【巩固】在中，过直角顶点作斜边的垂线，取的中点，连接并延长交的延长于点，求证：【解析】，【例5】 如图，在中，平分，的垂直平分线交于，交的延长线于，求证：【答案】连接垂直平分，即，又，平分，又，又，【巩固】如上图，在中，的垂直平分线交于，交的延长线于，求证：平分【答案】连接，垂直平分，又，即平分【例6】 已知，如图，为等边三角形，且的两边交直线于两点，求证：【解析】，又，即，考点二 与旋转有关的相似问题【例7】 如图，直角梯形中，为梯形内一点，且，将绕点旋转使与重合，得到，连交于已知，则的值为（ ）A B C D 【答案】C【例8】 如图，四边形和均为正方形，求_.【答案】连接。，【例9】 （1）如图1，等边中，为边上的动点，以为一边，向上作等边，连接，求证：（2）如图2，将（1）中的等边改为以为底边的等腰三角形，所作的改成相似于，请问：是否有？证明你的结论【答案】（1）由，得，故（2）由，得，故考点三 与三角形有关的相似综合题【例10】 如图，内有一点，过作各边的平行线，把分成三个三角形和三个平行四边形若三个三角形的面积分别为，则的面积是_【解析】设的面积为，则，故【答案】【例11】 如图所示，是一个凸六边形，、分别是直线与、与、 与的交点，、分别是与、与、与的交点，如果，求证：【答案】本题的条件和结论都是三个线段之比的连等式，且、构成一个与相似的三角形的三边，因而可以考虑通过平移变换将、集中到一起构成一个与相似的三角形如图所示，将平移至位置，则，且，所以，且，因此，从而，且这说明，且，进而，且又因为，于是，所以，注意到，故【例12】 已知：的高所在直线与高所在直线相交于点（1）如图l，若为锐角三角形，且，过点作，交直线于点，求证：；（2）如图 2，若，过点作，交直线于点，则之间满足的数量关系是_；（3）在（2）的条件下，若，将一个角的顶点与点重合并绕点旋转，这个角的两边分别交线段于两点（如图3），连接，线段分别与线段、线段相交于两点，若，求线段的长【答案】（1）证明：，（2）（3）如图，由（2）知，为等腰直角三角形分别过，作于点 于点四边形为矩形， ，考点四 与相似有关的动点问题【例13】 如图，中，点从出发，沿方向以的速度移动，点从出发，沿方向也以的速度移动，若分别从出发，经过多少时间与相似？【答案】，设，即，解得（负值已舍去）设经过后与相似此时本题需分两种情况：（1）当时，即，解得（2）当时，即，解得综上，当秒或秒时，与相似【例14】 如图，在矩形中，点沿边从点开始向点以秒的速度移动，点沿边以秒的速度从点开始移动，如果同时出发，用（秒）表示移动的时间（1）当为何值时，为等腰直角三角形？（2）求四边形面积，提出一个与计算结果相关的正确结论（3）当为何值时，以点为顶点的三角形与相似【答案】（1）当为等腰直角三角形时，（2），即四边形的面积为定值（3）分2种情况当时，即，解得 当时，即，解得综上当或时，以点为顶点的三角形与相似中考满分必做题【例1】 如图，已知在等腰ABC中，AB30，过点C作CDAC交AB于点D若过A，D，C三点的圆的半径为，则线段BC上是否存在一点P，使得以P，D，B为顶点的三角形与BCO相似，若存在，则DP的长为_BACDBACDOP1P2（09年浙江丽江中考试题）【解析】BCDACBACD1209030BCDB，DBDC又在RtACD中，DCADsin30，DB过点D作DP1OC，交BC于点P1，则P1DBCOB，OBODDBDP1OC过点D作DP2AB，交BC于点P2，则BDP2BCO，BC3DP2OC1【例2】 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，2），点P是线段OA上的一个动点（不与O，A重合），过点P作PQx轴于Q，以PQ为边向右作正方形PQMN连接AN并延长交x轴于点B，连接ON设OQt，BMN与MON相似时，则BMN的面积为_BMQOPNAyxBMQOPNAyxH图2（09年甘肃中考试题）【答案】或【解析】当0 t 1时，如图1若BMNMON，则即，tNM，BMSBMN BMNM当1 t 2时，如图2若BMNMON，则即，tNM，BMSBMN BMNM【例3】 如图，ACB90，CD是ACB的平分线，点P在CD上，CP将三角板的直角顶点放置在点P处，绕着点P旋转，三角板的一条直角边与射线CB交于点E，另一条直角边与直线CA、直线CB分别交于点F、点G（1）当点F在射线CA上时求证：PFPE设CFx，EGy，求y与x的函数解析式并写出函数的定义域（2）连接EF，当CEF与EGP相似时，求EG的长ACBPD备用图ACBFPDGE（12年中考模拟试题）【解析】（1）证明：过点P作PMAC，PNBC，垂足分别为M、NCD是ACB的平分线，PMPNACBFPDEMN21G由PMCMCNCNP90，得MPN901FPN902FPN90，12PMFPNE，PFPE解：CP，CNCM1CFx，PMFPNE，NEMF1xCE2xCFPN， ，即 ACBFPGE1DCG y 2x（0 x1）（2）当CEF与EGP相似时，点F的位置有两种情况：当点F在射线CA上时GPEFCE90，1PEGG1，FGFE，CGCECP在RtEGP中，EG2CP2ACBMPFGNE15234D当点F在AC延长线上时GPEFCE90，12，32145+5，145+2，52易证34，可得54CFCP，FM1易证PMFPNE，ENFM1CFPN， ，即 GN1EG1 12【例4】 如图，在RtABC中，ACB90，CE是斜边AB上的中线，AB10，tanA 点P是CE延长线上的一动点，过点P作PQCB，交CB延长线于点Q设EPx，BQy（1）求y关于x的函数关系式及定义域；（2）连接PB，当PB平分CPQ时，求PE的长；（3）过点B作BFAB交PQ于F，当BEF和QBF相似时，求x的值APCQEBABCE备用图ABCE备用图（2012年上海模拟试题）【解析】（1）在RtABC中，ACB90，AB10，tanA AC6，BC8CE是斜边AB上的中线，CEBE AB5ABPCQEHPCQABC又PQCACB90，PCQABC ，即 y x4（x 5）（2）过点B作BHPC于HPB平分CPQ，BQPQ，BHBQyBH BC ， x4 ABPCQEFx11（3）BQFACB90，QBFABFQABC当BEF和QBF相似时，则BEF和ABC也相似有两种情况：当BEFA时在RtEBF中，EBF90，BE5，BF yABPCQEF（ x4） 5，解得x10当BEFABC时在RtEBF中，EBF90，BE5，BF y（ x4） 5，解得x 当BEF和QBF相似时，求x的值为10或 【例5】 如图1，在RtAOC中，AOOC，点B在OC边上，OB6，BC12，ABOC90，动点M和N分别在线段AB和AC边上（1）求证：AOBCOA，并求cosC的值；（2）当AM4时，AMN与ABC相似，求AMN与ABC的面积之比；（3）如图2，当MNBC时，以MN所在直线为对称轴将AMN作轴对称变换得EMN设MNx，EMN与四边形BCNM重叠部分的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围AONECBM图2AONCBM图1（2012年上海模拟试题）【解析】（1）AOOC，ABOBAO90ABOC90，BAOCAOBCOA，AOBCOAOB : OAOA : OCOB6，BC12，6 : OAOA : 18AONBC图1MOA6AC12cosC （2）cosC ，C30tanABO ，ABO60BAC30，ABBC12AONBC图2M当AMNABC时（如图1），AMNABCAM4，SAMN : SABC AM 2 : AB 24 2 : 12 21 : 9当AMNC时（如图2），AMNACBAM4，SAMN : SABC AM 2 : AC 24 2 :（12）21 : 27（3）易得SABC BCOA 12636MN/BC，AMNABCSAMN : SABC MN 2 : BC 2，SAMN : 36x 2 : 12 2SAMN x 2AONECBM图3F当EN与线段AB相交时，设EN与AB交于点F（如图3）MN/BC，ANMC30ANMBAC，AMMNx以MN所在直线为对称轴将AMN作轴对称变换得EMNENMANM30，AFN90MF MN AM xSFMN : SAMN MF : AMy : x 2 x : x1 : 2AONECBM图4Gy x 2（0x 8）当EN与线段AB不相交时，设EN与BC交于点G（如图4）MN/BC，CN : ACBM : ABCN : 12（12x ）: 12，CN12 xCNGCBA，SCNG : SABC CN 2 : BC 2SCNG : 36（12 x ）2 : 12 2SCNG （12 x ）2S阴影SABC SAMN SCNG 36 x 2 （12 x ）2即y x 218x72（8x 12）【例6】 如图，ABC中，ABC90，ABBC4，点O为AB边的中点，点M是BC边上一动点（不与点B、C重合），ADAB，垂足为点A连接MO，将BOM沿直线MO翻折，点B落在点B1处，直线MB1与AC、AD分别交于点F、N（1）当CMF120 时，求BM的长；（2）设BMx，y ，求y关于x的函数关系式。并写出自变量x的取值范围；（3）连接NO，与AC边交于点E，当FMCAEO时，求BM的长DACBNOFMB1（2012年上海模拟试题）【解析】（1）CMF120 ，BMN60 DACBNOFMB1BMO30RtMOB中，BMOBcot302 （2）连接ON，OAOBOB1，ONONRtANORtB1NO，AONB1ON，ANB1N又MOB1MOB，MON90OB1MB90，MB1OOB1N，DACBNOMB1(F)EOB12B1MB1N又B1MBMx，OB1OB22 2xB1N，B1N ，AN ADAB，DAB90又B90，ADBC，CMFANFy x 2x即y x 2x（0x 4）（3）由题意知：EAOC45若FMCAEO，则有两种情况：FMCAEO或FMCAOEDACBNOFMB1E当FMCAEO时，有CFMAOE由（2）知AOEB1OEOMFCFMOMF，OMACOMBC45RtMOB中，BMOBcot452当FMCAOE时，AOEOMFFMCOMFOMB60MOB中，BMOBcot60 综上所述，当FMCAEO时，求BM的长为2或 【例7】 在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），A（t，0）是x轴上一动点，M是线段AC的中点把线段AM绕点A按顺时针方向旋转90，得到线段AB，过点B作x轴的垂线，过点C作y轴的垂线，两直线交于点D，直线DB交x轴于点E（1）若t3，则点B的坐标为_，若t3，则点B的坐标为_；（2）若t 0，当t为何值时，BCD的面积等于6 ？OCyx备用图BEAOMDCyx（3）是否存在t，使得以B、C、D为顶点的三角形与AOC相似？若存在，求此时t的值；若不存在，请说明理由（2012年江苏模拟试题）【解析】（1）（5，），（1， ）BEAOMDCyx图1（2）当0t 8时，如图1CAB90，CAOBAE90CAOACO90，BAEACO又BEAAOC90，BEAAOC ，即 AE2，BE t，B（t2， t）SBCD CDBD （ t2）（ 4 t ）6解得t2或t4当t 8时，如图2BEAOMDCyx图2SBCD CDBD （ t2）（ t4 ）6解得t10或t4（舍去）当t2或t4或t10时，BCD的面积等于6（3）当0t 8时，如图1若CDBAOC，则 即 ，t无实数解BEAOMDCyx图3若BDCAOC，同理，解得t2 2（舍去）或t2 2当t 8时，如图2若CDBAOC，则 即 ，解得t4 8（舍去）或t4 8若BDCAOC，同理，t无实数解当2t 0时，如图3若CDBAOC，则 BEAOMDCyx图4即 ，t4 8或t4 8（舍去）若BDCAOC，同理，t无实数解当t 2时，如图4CDBAOC，则 即 ，t无实数解若BDCAOC，同理，解得t4或t4（舍去）存在t2 2或4 8或4 8或4，使得以B、C、D为顶点的三角形与AOC相似【例8】 如图1，在平面直角坐标系中，直线l与坐标轴相交于A（2，0），B（0，）两点，将RtAOB绕原点O逆时针旋转得到RtAOB（1）求直线l的解析式；（2）若OAAB，垂足为D，求点D的坐标；yBFlAxOBA图2yBDlAxOBA图1（3）如图2，若将RtAOB绕原点O逆时针旋转90，AB 与直线l相交于点F，点E为x轴上一动点试探究：是否存在点E，使得以点A，E，F为顶点的三角形和ABB 相似若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由（2012年山西中考试题）yBDlAxOBA图1H【解析】（1）设直线l的解析式为ykxb点A（2，0），B（0，）在直线l上 解得：直线l的解析式为y x （2）A（2，0），B（0，），OA2，OBAB 5OAAB即ODAB， OAOB ABOD2 5OD，OD2过点D作DHx轴于点H（如图1）yBFlAxOBA图2E则DAHADHODHADH90DAHODH在RtAOB中，tanBAO tanODH ，DH2OH在RtODH中，设OHa，则DH2aOH 2DH 2OD 2，a 24a 22 2a 0，a ，OH ，DH 点D的坐标为（ ，）yBFlAxOBA图3E（3）存在点E，使得以点A，E，F为顶点的三角形和ABB 相似理由：AOB 由AOB逆时针旋转90所得AOBAOB，BAOBAO又FBAOBA，BFABOA ，即 ，BF1，AFABBF6如图2，当AFEABB 时，有 ，AE6，OEAEAO624E1（4，0）如图3，当AEFABB 时，有 ，AE ，OEAOAE2 E2（，0）综上所述，存在点E1（4，0），E2（，0），使得以点A，E，F为顶点的三角形和ABB 相似课后作业1. 如图1，甲、乙两人分别从AB两点同时出发，点O为坐标原点，点，甲沿AO方向、乙沿BO方向均以每小时4千米的速度行走，t小时后，甲到达M点，乙到达N点（1）请说明甲、乙两人到达点O前，MN与AB不可能平行；（2）当t为何值时，OMNOBA？（3）甲、乙两人之间的距离为MN的长设sMN2，求s与t之间的函数关系式，并求甲、乙两人之间距离的最小值 图1（2012年连云港市中考第26题）【答案】（1）当MN都在O右侧时，所以因此MN与AB不平行（2）如图2，当MN都在O右侧时，OMNB，不可能OMNOBA如图3，当M在O左侧、N在O右侧时，MONBOA，不可能OMNOBA如图4，当MN都在O左侧时，如果OMNOBA，那么所以解得t2图2 图3 图4（3）如图2，如图3，如图4，综合、，s所以当t1时，甲、乙两人的最小距离为12千米2. 如图，等腰中，于，延长交于，交于，求证：【答案】连接，由，再证明可得（也可以由，于是，等量减等量便可得）又，又，【例15】 如图，在直角梯形中，对角线，垂足为，过 的直线交于（1），（2）【答案】（1），又，（2），3. 中，长为的线段在的边上沿方向以的速度向点运动（运动前点与点重合）过分别作的垂线交直角边于，两点，线段运动的时间为（1）若的面积为，写出与的函数关系式（写出自变量的取值范围）；（2）线段运动过程中，四边形有可能成为矩形吗？若有可能，求出此时的值；若不可能，说明理由；（3）为何值时，以，为顶点的三角形与相似？【解析】（1）当点在上时，当点在上时，（2），由条件知，若四边形为矩形，需，即，当时，四边形为矩形（3）由（2）知，当时，四边形为矩形，此时，除此之外，当时，此时，又， 当或时，以为顶点的三角形与相似【答案】（1）（2）当时，四边形为矩形（3）当或时，以为顶点的三角形与相似毕业班解决方案初三数学.相似三角形综合应用.教师版Page 21 of 21